备战2017高考数学(精讲+精练+精析)专题12.2推理与证明试题(江苏版)(含解析)

1、专题2推理与证明【三年高考】1.12016山东文12】观察下列等式:冗22冗24(sin)(sin) 一1 2;333/_ 冗、2/ _ - 22/_3 几、2(sin -)(sin)(sin)555Tt 227t 237t 2(sin -)(sin-)(sin-)Tt 227t 237t 2(sin )(sin-)(sin)999“一 4 %24(sin )一536冗2(sin -y)8冗2(sin ) 92 3;43433 4；4 5;照此规律，Tt 227t 237t 22 n 冗 2(sin) (sin) (sin) (sin )2n 12n 12n 12n 1【答案】4 n n 1

2、3【解析】通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是 积，经归纳推理可知是 n n 1 ,所以第n个等式右边是4 n n34 一4 ,接下来是和项数有关的两项的乘31 .2.12016四川文18 (1)】在4ABC中，角A, B , C所对的边分别是a,b,c,且COsA os-B snC a b c证明： sin AsinB sinC ；【答案】证明见解析.【解析】根据正弓流理,可谡一一二一.=广=网止 0)，则e=&5iiid , fe = A：5in5、c = ksm C . sin A Siti Ji sin L.cos A cos 5 sin C .代人=中，cos

3、 A cos 3A:sin J ksiii Bsin CAr sin C可变形得sin,疝n2=sinAcos5+sin£M=siH-玲,在口43C中r由M+3+C=;ijsin|.4+5I=sin(?rCI=sinC,所以sinsin5=sinC.3.12016浙江文16(1)】在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bc2acosB.证明：A2B;【答案】证明见解析.【解析】(1)由正弦定理得sinB+sinC2sinAcosB,故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB,于是 sin B sin( A B).又 A, B

4、0,冗，故0AB兀，所以B冗（AB）或BAB,因此A兀（舍去）或A2B,所以A2B.4.12016全国甲文16】有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是.【答案】（1,3）【解析】由题意得：丙不拿2,3,若丙12,则乙2，3,甲13满足；若丙13,则乙2，3,甲上2不满足，故甲13.5.12016上海文22】对于无穷数列an与bn,记Axxan,nN*,Bxxbn

5、,nN*,若同时满足条件：an,bn均单调递增；AIB且AUBN,则称为与bn是无穷互补数列.（1）若an2n1,bn4n2,判断为与bn是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若an=2n且an与bn是无穷互补数列，求数列bn的前16项的和；（3）若为与bn是无穷互补数列，an为等差数列且a1636,求为与bn的通项公式.n,n,5【答案】（1）an与bn不是无穷互补数列；（2）180；（3）an2n4,bn.2n5,n5【解析】CD易知与一口38二26&12.1而4£.九4通所以1三从而&与不是无穷互补数列.由题意且=2,4q16:弘:卜因为q二16,所以=16”=

6、工。.蓟列也的前16项的弄肪（1+1".+“|一（2卜/?+二|二匕340一（/一川=13口.3设4的公差为AeNZ则%=为十15dM36.由q二38-15心L得d=l或.若d=L则巧二21口""2。，与父吗与位J是无穷互补额列”矛盾,因为此时4不是无穷数列宁HL鞭5若d=2,则口1二6/小二2打十2二；L.".，打一包k5综上所述？=2n-4T,一%二.26.12015高考山东，理11】观察下列各式：C040c30c341C；c5C；42;C0c7C；C343照此规律，当nN时，C0C1C2LCn1C2n1C2n1C2n1LC2n1.【答案】4n1【解

7、析】因为第一个等式右端为：40411;第二个等式右端为：41421;第三个等式右端为：42431由归纳推理得：第n个等式为：C2n1C2n1C2n1LC,nL4n1所以答案应填：4n17.12014高考北京版理第8题改编】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有人.【答案】3【解析】用A、B、C分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A、B、C中都最多只

8、有一个元素，所以只有AC,BB,CA满足条件，故最多只有3人.8.12014高考福建卷第15题若集合a,b,c,d1,2,3,4,且下列四个关系：a1;b1;c2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a,b,c,d）的个数是.【答案】6【解析】由于题意是只有一个是正确的所以不成立，否则成立.即可得二H1.由匕句即占=2口工.可得占=2匚=LH=4r=三力=?/=Ld=1叮=2.两种情况.由二=IV=1口=殳&=1.所以有一种情况.由6工4即"二L2R.可得=3用七=2；&=13=1:亡=3二工.=二上=1=，.照种面兄.综上共6种.9.12014全国1高考

9、理第14题】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为【答案】A【解析】3由丙说可知，乙至少去过A,B,C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市.10.12014山东高考理第4题改编】用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x2 ax b 0至少有一个实根”时，要做的假设是.【答案】方程x2axb0没有实根【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程x2axb0至少有一实根”的反面是“方

10、程x2axb0没有实根”11.12014陕西高考理第14题】观察分析下表中的数据:多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，F,V,E所满足的等式是.【答案】FVE2【解析】三棱锥；/=5.=6,正=9,得尸+一七二5十69二n五棱锥：F=6J='E二LQ,得F+-E=6+6-10=2立方体二F=6./二&2=1工，得产+r-E=6+g-l2=2m所以归纳猜想一般凸多面体中,F,匕石所足的等式是:F+P-E=2故答案为尸十尸一E=?【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演

11、绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；预计2017年高考将会有题目用到推理证明的方法。推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根

12、据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用.推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现.复习建议：推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理的解题思路；【2017年高

13、考考点定位】高考的考查：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；【考点1】合情推理与演绎推理【备考知识梳理】1.合情推理(1) 定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2) 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全

14、部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类a. 数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；b. 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的分类:类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法a. 类比定义：在求解由某种熟

15、悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；b. 类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；c. 类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2.演绎推理1 1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真.2 2)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.3 3)特点：演绎推理是由一般到特殊的

16、推理【规律方法技巧】4 .归纳推理与类比推理之区别：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.5 .演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理.数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的.三段论由大前提

17、、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小丁前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果.6 .应用合情推理应注意的问题：(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性.7 .归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；检验猜想.实验、观察|概括、推广猜测一般性结论(2)

18、类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；检验猜想.观察、比较I-1联想、类推|>|猜想新结论一8 .演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了.一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论.(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提.一般地，若大前提不明

19、确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.9 .归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论，归纳推理所得的结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发现一般规律的重要方法.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具r有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比,对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误.演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的

20、证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性【考点针对训练】1 .定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数.我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：11111112461211111112561220|236111111111111112 6 12 m n 30 42 56 72 90 110 132 156依此类推可得:,其中|m nm, n N .设的最小值为【解析】因为1111112(11111 一2 4 6 122 41111111 -一2 5 6 12依此类推可得:11 1-

21、()(| 22 3-11 1所以-,1m 13 n1_21 1)3 41120 2 511116111111112 m n 30 42 56 72 90 110 132 15611、11、1111、11(56)(67(78)(89)(910( 1 -111 12,11、()12 134 5 201- r-,m 13,n 20,即 1 x 13,1y 20 .又，把一，、)匚:m一、，一*一;一1看成点(x,y),(1,1)连线的斜率，结合|mn|,m,nN.在满足条件的整点中，(13,1),(1,1)连线的斜率最小为111gxy2日一士4一,故取小值为1317x12 .我们把平面内与直线垂直的

22、非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(3,4),且法向量为n(1,2)的直线(点法式)方程为1(x3)(2)(y4)0,化简得|x2y11可.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)|,且法向量为尼(1,2,1)的平面(点法式)方程为.答案x2yz2-0解析类比可得：1(x1)(2)(y2)1(z3)0卜即|x2yz20【考点2】直接证明与间接证明【备考知识梳理】1 .直接证明综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.综合法的思维特点是：由因导果

23、，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.框图表示：|P?Q|fQ?"QfQ?|Q?Q(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题Q为真，只需要证明命题P为真，从而有，这只需要证明命题为真，从而又有这只需要证明命题P为真，而已知P为真，故命题Q必为真框图表示：回可一叵?p一叵?同一一|得到一个明显成立的条件.2 .间接证明反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接

24、证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.【规律方法技巧】1 .明晰三种证题的一般规律（1）综合法证题的一般规律:用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论.（2）分析法证题的一般规律：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件.（3）反证法证题的一般

25、规律：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A,或者是非A即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现.2 .综合法证题的思路:分析嫄目的已知条件及己知与格论之向的管，选押相关的定理、公式等,确定恰当的解遨方法把已知条件忖化成制蹭所用量的消片,上要是文字、符号、图拶三料晒台之间的转化圆原解踵过砰,可对部分步事进行调-我儿”些语彳进力避当的惨饰,反思总结解题方法的选取3 .分析法证题的技巧:（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.

26、（2）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证.4 .反证法证明问题的一般步骤：（1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立.（命题成立）注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理

27、矛盾在证明过程中，推出自相矛盾的结论.5 .反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）否定性命题；（3）唯一性命题；（4）至少至多型命题；（5）一些基本定理；（6）必然性命题等.【考点针对训练】1 .用反证法证明命题：“若（a力（b1）（c1）0,则a,b,c中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的B.假设a,b,c都不大于1C.假设a, b, c中至多有一个大于1D .假设a, b,c中至多有两个大于1a,b,c都不大于1.【解析】a,b,c中至少有一个大于1的否定为a,b,c都不大于1.，一112 .求证：是等比数列，并求an的通项公式an

28、；an2（2）数列bn满足bn（3n1）2小,数列bn的前n项和为，若不等式（1）n*.切nN恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由a11,an 1anan 3(n N)知,an 13 - an1131是以士为首项，3为公比的等比数歹U,an23n 1an2211_3On13n=3an222(2)门TT-，=1，-r-4.-；3"l+"+1)X-T-4库M-一,一一1.1”11-VX+2X4(打-1)，-+网X-)q日7L11111、u2两式相叔得：彳二力+5T+-十一二发”二-一下一，若已为偶数，则二尢<4-白又43若n为奇数，»/-X<4_之二_j

29、M2X>-23-2【两年模拟详解析】1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：兀是无理数；结论：兀 是无限不循环小数B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：兀是无限不循环小数；结论：兀 是无理数C.大前提：兀是无限不循环小数；小前提:无限不循环小数是无理数；结论：兀是无理数D.大前提：兀是无限不循环小数；小前提:兀 是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【解析】对于A,小前提与结论互换，错误;对于B,符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D,均为大前提错误；故选 B.2 .某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4

30、天.甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班;丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是【解析】这12天的日期之和，12& 1 12782【答案】6日和11日2天日期之和22,因此这两天是10日和12,甲、乙、丙的各自的日期之和是 国，对于甲，剩余日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余 2天日期之和是9,可能是2日，7日，可能是4日,5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为 C.3 .观察下列不等式:1 J 3,22|d 1151 F 工一，22333 |(11171 2232 424照此规律，第五个不等式为 A11111

31、111-2-2,2_2-2234566【解析】观察已知的三个不等式：左边都是1111, , A 八 一 八一，加上.-17,2, 2中的一个，两个或三个，可猜测第五个不等式的22 32 42左边肯定是:1加上11111八2，八2，,2， 2，-22 3 4 5 6；右边是一个分数分子依次为：3,5,7,可猜测第五个不等式的右边分子应为:11；右边是一个分数分母依次为：2,3,4,可猜测第五个不等式的右边分母应为:6;A11111111-2-2,2_2-2234566故知第五个不等式应为A11111111-2-2,2_2-2234566,故答案为:4.已知：X 0,14XX4X2,x-2-23L

32、XX22X，观察下列式子:3X-nXn1 nN类比有则回的值为【解析】根据题意，对给出的等式变形可得:川，由下往上的六个点：刊，回，闾，回，罔，回的横、纵类比有xn1(nN),.annx坐标分别对应数列5 .如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为按如此规律下去，则 a20i33201422015的*%th孙力力r3Xiran(|n|)的前回项，如下表所示:【答案】1007【解析】ai1,a21,a31,a42,352,a63,372,a84,这个数列的规律是奇数项为1,1,2,2,3,3,L偶数项为1,2,3,L,故32013320150,320141007,故a20133201432015

33、10076 .把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列13nl.若|3n902,则丁.2LTTn一一2【解析】首先由n902n30,30900,因此902在甲图中的第31行第二个数，前30行共去年的数的个数为|123L30465,还剩下|900465435个数，第31行的第一个数为91去掉，因此902是第436个数，即在乙图中，902对应的|n436.7 .记集合T=0,1,2,3,4,5,6,号争寺会出i1，2,3,4,将M中的元素按从.大到小的顺序排成数列bi,并将b

34、i按如下规则标在平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）处:点（1,0）处标b1,点（1,口）处标b2,点（0,处标b3,点1（1,1）处标b4,点（口1，0）标b5,点（口,1）处标b6,点（0,1）处标b7,，以此类推.（I）标b50处的格点坐标为 （或填幽) 2401(n)b50=.【答案】(1)(4,2)(2)【解析】（1）观察已知中点（1,0）处标b1,即b1”点（2,1）处标b9,即b3x3,点（3,2）处标b25,即b5x5,，由此推断，点（n,n-1）处标b（2n-1）x（2n-1）,=49=7X7时，n=4,故b49处的格点的坐标为（4,3）,从而b50处的格点的坐标为

35、（4,2）;（2）由已知,6666b1T,7727374,6665b27下矛三,6664b37”三，66608一二三下，777746656b8，777746655b9一三三F，777746600b497尸手了所以6566b50 7 7T 7y 产故答案为由此推断(4, 2),656677273748 .有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是【解析】若甲是获奖歌手,则四句全是话，不合题意S若乙是褒英歌手，则甲、乙、丁都是真话，丙说假

36、话，不含题意；若丁是获奖歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不合题意j当丙是获奖歌手时,甲、丙说了直话J乙、丁说了假话，符合题意.故答案为丙.9 .在矩形ABCD4对角线AC与相邻两边所成的角为“，3,则有cos2”+cos23=1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD-ABQD中，对角线AC与相邻三个面所成的角为“，3,丫，则cos2a+cos23+cos2丫=【答案】2;【解析】设长方体的棱长分别为b,c,如图所示，所以 AC与下底面所成角为/ C1AC,记为2cos aAC2a2 b2AC； a2 b2 c22cos22a c2. 22a b c2 cos2,2c b2. 2

37、2a b c,所以cos2 a+ cos 3 +cos2丫=2.10 .对于函数yf(x),部分x与y的对应关系如下表:X1X3X4 LX2013x2014 的值为X-123456789y375961824数列Xn满足X11,且对任意nN*,点(Xn,Xn1)都在函数yfx的图象上，则【答案】7549VA CDEVB CDEVA CDEVB CDESVACDSVBCD【解析】由已知条件得图（1）中:中：点E到平面ACD和平面点E到边AC和边BC的距离相等，因此SVAEJSVBECBCD的距离相等，所以"里VB CDE二 SVACD h Q3°VACD1SVBCDS SVBC

38、D h3AC；类比知在图（2）BC12.将2n按如表的规律填在5列的数表中，设22014排在数表的第n行，第m列，则第m列中的前n个数的和2122232827262529210211216215214213Sn =242122 2018 415由于2014=4X 503+2,故22014位于表格的第504行第3歹U,所以n=504, m=3.所以Sn22 1(24)5041 2422018 415【解析】由已知表格列出点(4,41),(1,3),(3,5),(5,6),(6,1),(1,3),L,即为1泾3m5,X46,X51,L，数列Xn是周期数列，周期为4,201445032,所以xX2LX2014503(1356)137549.SVAECAC,11 .在平面中，ABC勺角C的内角平分线CE分ABCW积所成的比-一而.将这个结论类比到空间:在三B隹ABC计，平面DE评分二面角ACD-B且与AB交于E,则类比的结论为13.在平面几何中，有这样一个定理：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比.请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质:【答案】过四面体的内切球的球心作截面交三条棱于三点，则分成的两部分体积之比等于表面积之比.【解析】设四面