856高等代数考研真题答案09

1、、2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码：856科目名称：高等代数(20分)证明下列命题：(1).( 10分)设d(x), f (x), g(x)都是数域P上的多项式。如果d(x)|f(x)， d(x)|g(x)，且d(x)为f (x)与g(x)的一个组合，证明：d(x)是f (x)与g(x)的一个最 大公因式。(2).( 10分)f(x)是数域F上次数大于零的多项式，厂F,c = 0则f (x c)尸 f (x).证明：(1).由题意，存在多项式 u(x), v(x),使 d(x)二 u(x)f (x) v(x)g(x) . (4 分)如 果 h(x) | f (x)

2、，h(x)|g(x),那么 h(x)|d(x).( 8 分)又由于 d(x)| f(x)，d(x) | g(x),所 以d(x)是f (x)与g(x)的一个最大公因式。(10分)(2).如果 f(x -cH f (x),那么 f(0) = f (c)二 f(2c)二.(3 分)考虑 g(x) = f(x) - f (0). ( 6 分)显然，：g(x)二.:f (x),并且 g(nc) =0, n = 1,2厂.2-534二.(15分)已知行列式D =987615734703g(x)有无限多个根，这是不可能的。(10分)的代数余子式求 A21A22A23 A24，其中 Aj 是元素 aij解：

3、考虑行列式C -2114-5 31 15 77 04133按它的第二行展开(5分)由于C和D除了第二行外均相同，故a21 a,2 a23 a,4，( 10分)而计算可得21 C =14 72.所以 A、 A2 A23 他=72 .（15 分）abab三.（20 分）证明n阶行列式abn + 1 n+ 1 a - ba - b解：当n二1结论显然成立。假设结论对-b加n-1列乘-b加到第n列。然后用归纳a abb ab1 a + b ab0 a + b ab1a + b O+1a + b OO O abO O ab1 a + b1 a + b（10 分）Dnn- 1阶行

4、列式成立。（2分）对n阶行列式，将第一列拆成两项。第二项按第一行展开。第一项的第一列乘 到第二列，第2列乘-b加到第3列，第 假设a0a +b ab1a01a + bO1aO+ bOOabOO01a + b1an a+bDn 4n=a+ bna -bnn十 n十 a -b（20 分）a -ba -b（15 分）（15分）已知V1是花，X2 ，xn=0的解空间,四.V2 是 二 x2-二禺的解空间,证明：Pn=V,二 V2。 1证：一（印82，an） V,令 a= （a1 *2an）.n我们有 182, ,an）二-a,a2 - a, ,an - a） （a,a, ,a）. （5 分）而且 -a

5、m-a,务-a） M,（a,a, ,a） V2.因此 Pn=y V?. （7 分）如果（R,b2, b） M 一 V2,那么 D bbn=O,且h=b2 二二 bn. （10 分）从而 biubM，=bn=0. （12 分）因此 V1 V2 -0.总之，Pn 二M 二 V2 （15 分）五. （10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为=（1,2,3）.解：考虑以r =（1,2,3）为解的方程k1x1 k2x2 k3x3 = 0，那么 K 1 k2，2 k3-0. （ 3分）把它看成k1 ,k2,k3的方程。得到基础解系（-2,1,0）,（-3,0,1）. （ 7分）由此得到方程组=

6、0=0它以=（1,2,3）为基础解系。（10分）六. （20分）设实二次型f（X） x； - 2xf - 2x1X3 2tX2X3，求当t是何整数时二次型f（X）是正定的，并求一个线性替换丫二TX将二次型f（X）化为标准形解：此二次型的矩阵为：式都大于零，（5分）即q 0A= 0 1 t ，若要f为正定的，则要求其各级顺序主子J t 21 0 120 1 t = PtA 0 , （t A 0）1 t 2（8 分）因t为整数，故t=0（ 10分）； 当t=0时f （X） = x： x| 2xf 2x1x32 2 2'=X1X3 X2X3（12 分）作线性替换:yi = Xi X3工为=力

7、 一 y3yX2 ，即X2，则其为非退化的线性替换，（16分）Iy3 = X3X3 = y3则经过此线性替换后可得到二次型的标准型：f =y2 y； y2。（20分）七. （20分）设V是数域P上的n维线性空间。 （10分）设V =V|二V2，已知二*，二“是V中的线性无关向量组；,，：s是V2中的线性无关向量组。证明i,i,r,-：1,i , -s是V的线性无关向量组。（2）（ 10分）设A 是V的线性变换。证明：A是单射的充分必要条件是它是满射。证明：（1）由于 V=Vi 二 V2，Vi V2 -0 . （2 分）设印：i亠 亠ar d r亠亠bs ：s =0那么 a"ar： r

8、 =- -bs 一 V2 二0 （4分）因此a"ar =0,0 1bjs =0。（6分）由已知二,，亠是V中的线性无关 向量组；,:s是V2中的线性无关向量组，得印二二耳=0,3 =bs = 0 . （8分） 所以:f r J,：s是V的线性无关向量组。（10分）（2）已知 dim kerA +dim Im A 二 n，（4 分）所以A 是单射当且仅当 kerA 二0 = dimker A =0= dimlm A=n= Im A =V 当且仅当A是满射所以A是单射的充分必要条件是它是满射。（10分）八. （10分） 设数域p上的3维空间V的线性变换s在基a1,a2,a3下的矩阵为G

9、-1 1'6-11.求线性变换s2 - 5s + s'1在基a1,a2,a3下的矩阵2 b解：线性变换s2- 5s + s'1在基a1,a2,a3下的矩阵为九.(15分)7-1rJ7-1 1、7-1 1、6-11-56-11+6 -1 15 -2 b<5 -2 b<5 -2 1(4 分)48-841708-5"4-410014阵a =2、0-2唯一，试求：（1） a的值;转置（求q和qt aq ）。解: （1）对线性方程组AX-A-135-55、r 1-10 '30-55+-12-1丿<25-1059-b(8 分)764(10 分)11a、1 '1 a 11la11<-2>,已知线性方程组AX因为线性方程组(2)现在A= 1 正交矩阵Q，使QtAQ为对角矩阵，其中二1的增广矩阵作初等行变换(a- 1)(a + 2)AX二1有解但不唯一，所以秩1-211 =3, 2 - -3, 3 =0.qt表示q的r(A) = r(A) < 3 , 故a = - 2.1的特征方程为kE - A