链式法则的一般形式

1、链式法则的一般形式若U = f(Xi,Xn), x i = i (tl ,，tm), (i = 1,n),则utju(Xi)tj ,即U U学(j = 1,m).总之，复合函数对自变量的偏导数i二忍j i次忍j等于所有对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积的和特例:护(t) = f (tx) = f (txi,tx n),护'(t) = X1 Di f (tx) + + Xn Dn f (tx).* (齐次函数的Euler公式)对三元函数)若存在k使f : R R满足f (tx) = t k f (x) (t > 0, x Rn.书上的定义中k > 0, t R)

2、,则称f为k次齐次函数.证明：可微函数f是k次齐 次函数:二 X1D1 f + + Xn Dn f ( = (grad f , x) = kf .(*)证=f (tx) = t f (x).两端对 t 求导，得 X1D1 f (tx) + + Xn Dn f (tx) = k t - f (x).令 t = 1 得(*). U 设® (t) = f (tx) / t k ,(即证毋(t ) = f (X).由护(1) = f (X),只要证申(t)=毋(1),即 证® 常值),则可微，申'(t)=存(t k (X1 D1 f (t X) + + Xn Dn f (t

3、 X) -k t f (x) ) = £ (t X1 D1f (tx) + + txn Dn f (tx) -k f (tx)(以 tXi 代条件(*)中的为)=0,故常值,：(t)=k(1) = f (X), f (tx) = t f (X).*Euler 公式的应用.(1)证明 u = x f ( ) + y g ()满足 x 2 u xx + 2 xy u xy + y 2 u yy = 0.XX p.143.3(2).解(1) (u是一次齐次函数)用两次Euler公式.(2) u 是 1 + 2 + + (n - 1) = ? n (n + 1)次齐次函数.、33岔6 u补充

4、练习 u = x sin y + y sin x, 求 一 3 _ 3 . ( - 6 (cos x + cos y) .x _ y u = e ,求 uxyz . ( e (1 + 3xyz + x y z )戸u u = (x - a) p(y - b) q,求y(p ! q !)u =3x yqu.:xp ；:yq2(-1)p(p q -1)!(qx py)(x_y)p -q 1证明 z = x n f ( 2 )满足方程 x zx + 2 y zy = nz. x2证明 z = y f (x2 -y 2)满足方程 y2 Zx + xy Zy = xz .ddA已知 u = 12X4 一

5、 6X3 (y + z) + 2x2 yz + f (y - x, z -x),化简ux + uy + u z . (xyz)证明 u =申(x - at) + 即(x + at)满足 u 社=a2 u xx .证明 u = X 申(x + y) + y 屮(x + y)满足 u 心-2 u xy + u yy = 0.设 u = In x, v = In (y + .Jy2 ),以 u, v 为自变量变换方程x zx +V y2 zy = xy.u(zu + zv = e sh v)设 X = r cos : , y = r sin ,变换(1) x uy - y ux ; x ux = y

6、 u y ; x2 u xx + 2 xy u xy + y2 u yy .( (1) u ； r ur ； r 2 u rr .)设 x = r si nO cos ® , y = r si n 日 si nW , z = r cos6i,变换 ux2 + uy2 + uz2 . (ur2 + r u6 + (r sin ° u$ )七.方向导数与梯度偏导数是函数沿坐标轴方向的变化率，方向导数是函数沿任意方向的变化率.设f : D ( Rn尸R, a D ° , I为方向(| I | = 1)若极限lim f (a白)一 f(a)存在，则称 0t之为f在a沿方向

7、I的方向导数，记为D| f (a), fi (a), (a), 等.a a若记 g (t) = f (a + t I ),则 D I f (a) = g ' (0).设 I = (I1，,I n), a = (a1,a n),则 g (t)= f (a + t I ) = f + th,an + tI n).由链式法则(u = f (x), x = a + t I ),当 f 在 a 可微时,g ' (t)=lifx!(a +t I) + + lnfxn(a + tl ), fl (a) = If (a) + + In fxn (a).因此,若设 grad f (a)Di f

8、(0,0) = limf (tcosi,tsin 日)一 f (0,0) =cos?日sin8ttim)t2 cos4 日 +sin 罚0,=丿cos2日sin nsin v - 0,sinv =0.=(fxg,fxn (a) ( = ( D i f (a),Dn f (a),则 fi (a) = grad f (a) I < |grad f (a)|,等号=grad f (a) = cl ,即 1 :=i十/ i.称grad f (a)为f在a处的梯度(向量).这证明了下列1 gradf (a) 1命题 若f在a可微，则f沿任何方向的导数都存在，且fl=grad f (a) I .方向

9、导数沿梯度方向达到最大值|grad f (a)|,沿梯度相反方向达到最小值 | grad f (a)|.(换言之,沿梯度方向，函数的变化率最大.)特例：偏导数.取 I = ei = (0,0, 1,0,0),有 grad f (a) I = f (a).二元:I(cost, sin v).三元:I=(COS : , COS :, COS ). n 元:I = (COS (I, X1),COS(I, Xn).注1所有方向导数存在(称为弱可微)？连续.例 f(x, y) = *x2y亠x4 +y2 ,(x, y"(0,0),前已证明(xylim00)f (x, y)不存在，故在(0, 0

10、)不连 0,(x,y)=(0,0).'续.(因而不可微，不能用上述命题求方向导数 .)但对I = (cost, sinv),注2所有偏导数存在？所有方向导数存在.I广例 f(X, y)=彳+*誤；0°, fx (0,0) = 1 = fy (0,0).当 COS日丰 0, sin日丰 0 时，方向导 数帆竺O空平2辺=问屮不存在. P.125例1.方向向量伶-暑)，务(E)=2y, 3z2厂 WJh)冷. (p.127.6(3) 证明：grad (u v) = u grad v + v grad u . ( (UV)u )cxicxicxi '求 Dv f (0,0)

11、,若 f (x, y) = . |x2 - y2 | , v = (cost, sin ), 0w v w 2二.解 g (t) = f (t cos- , t sin -) = | t |. |cos2r|.当 2二=专青青奇时 g (t) = 0,故v = (± -22,± -2)时 Dv f (0,0)= g ' (0) = 0.在其它方向,gl (0) = -、. |cos2d | , g+' (0)= .|cos2r|,方向导数不存在.(注.书上定义的是单侧方向导数，=g+' (0),是存在的.) (p.127.10)设f可微,h,品R2线

12、性无关.若仏 #2 = 0,则f常值.八.中值定理与Taylor公式前已接触过 f (x, y) - f (a, b) = fx ( , y) (x - a) + fy (a, ) (y - b),在 a, x 之间， 在 b, y 之 间，条件是f在点(a, b)附近有偏导数.在求方向导数时已经知道,在连接点(a, b)与(a+h , b+k)的线段(x, y) = ( a + th, b+tk) (0< t w 1)上f是一元函数 甲(t) = f (a+th, b+tk) (0 wtw 1).对它用一元函数中值定理，有(为使®可 微，需条件 f 可微)申(1) ®

13、; (0)=甲'(日)(0 < 9 < 1),即(注意® ' (t) = fx (a+th , b+tk) h + fy (a+th , b+tk) k)f (a+h, b+k) - f (a, b) = fx (a+ 巧,b+ 旳h + fy (a+ 巧，b+ 永)k(*)为保证连接任何(a+h , b+k)与(a, b)的线段在f的定义域内，要求f的定义域是凸的.这样, 有中值定理设D为R2的凸开域，f在D内可微，则对D内任意两点(a, b), (a+h , b+k)有二 (0, 1)使(*)式成立.证设® (t) = f (a + th,

14、b + t k),则张0,1上可微,.注1 若记xo =(a, b), x = (a+h , b+k),连接xo , x的线段为丨，.=(a+ nh, b+咏)，则结论成 为 使f (x) f (xo) = grad f ( ) - (x 一xo).这对n元函数当然也成立.注2凸域可减弱为 星形域.推论 设 D, f 同上(可以是 n 元函数).(1)若-M >0 -x D | grad f (x)|< M,贝U -x, x0 D, | f (x) -f (X0)|w M | b - a |;(2)若 grad f = 0,则 f 常值.用同样的思想可以求多元函数的Taylor公式

15、.为使符号简单，下面只对二元函数讨论.a设半(t) = f (a+th, b+tk) (0 w t< 1),则申=(h£ + k-) f (a +th,b +tk)dxcy(t)=h(与 h寻 k)k(氓 h) = (h : + k)2f (a + th, b + tk),次2<xcycycx矽2dxcy一般地，用数学归纳法可得_m m(t) =(h 吕 + k吕)"f (a + th , b + tk)=Cmhm*器丄j f (a + th,b +tk).x :yi =0x y由一元函数的公式 申(1) = ®(0) + ® (0) +n!

16、f (a+h,b+k) = f (a,b)+、丄(h ' + k亠)k f (a,b) +1''dxcy严(n)(0)(p(f但)得+(TmR,得aa.k=j k!(h£+ k£)n+ f (a+Th, b + 6k).(n 1)!；:x为为使混合偏导数相等，要求所有n + 1阶偏导数都是连续的，即f C (n+1). Pea no余项是o (h2 + k2) n/2,这时只要 f C (n).*注 对n元函数，上面公式中，(h, k)以h = (h1,h n)代替,h ' + k -即(h, k) gradx ：y现在是h - grad ,

17、即hQ1 + h n Dn ,由多项式展开定理，有m(h1D1 + + h n Dn ) m = V hi1hikDir iki1：" ；ik =1m 1 k 1 m+1Taylor 公式是 f (a + h) = f (a) +( h - grad) f(a) +( h - grad ) f (a + 北).(*)kk!(m+1)!mf (a + h) = f (a) +如果把一元函数f的导数f(k) (a)用另一种记号 Dk f (a),则f的Taylor公式是(hD)k f(a) +1( hD)m+1 f (a + 力).k 壬 k!(m+1)!容易看出(*)与它的相似性.1.

18、02计算(1.1).法一.用微分：f (a+h, b+k)f (a, b) + h fx (a, b) + k fy (a, b), f (x, y) = x y, a = b = 1, h = 0.1, k = 0.02, (1.1)1.02 11 + 0.1 x y xyJ|(1,1) + 0.02 x x y In x|(1,1)= 1.1.法二.用二阶 Taylor 公式：f (a+h, b+k) f (a, b) + h fx (a, b) + k fy (a, b) + ? ( h fxx + 2hk fxy + k 2 fyy ) (a, b), fxx (x, y) = y (

19、y - 1) x y fxy (x, y) = x y + y In x, fyy (x, y) = x y ln 2 x, (1.1)1.02 1 + 0.1 + 0 + ? (0.1 2x 0 + 2X 0.1 x 0.02 x 1 + (0.02) 2x 0) = 1.102.1 + x + y 设| x |, | y |充分小，求f (x, y) = arctan的到二次项的近似公式.1 -x + y1解 f (x, y) f (0,0) + x fx (0,0) + y fy (0,0) + - (x2 fxx (0,0) + 2xy fxy (0,0) + y2 fyy (0,0)

20、=+ x - xy .4 y九.(局部)极值与最大最小值极大、极小、严格极大、严格极小、最大、最小值.极值点只限于定义域的内点 极值必要条件若f在a处有极值,且各个偏导数都存在，则grad f (a) = 0.证f在a =(ai,a n)处有极值 =gi(t) = f (ai,at , ai+i,a n)在ai处有极值 =gi' (ai) = 0 =' fxi (a) = 0 (i = 1,n).驻点=稳定点=梯度为0的点鞍点=非极值点的驻点如(0,0)是z = xy的鞍点(图 见 p.91).例f (x, y) = . x2y2在(0,0)极小,偏导数不存在.对多元函数，不能

21、从偏导数的符号变化判断极值，如z = xy.以下对二元函数考虑极值充分条件设有二元函数z = f (x, y), (a, b)是其驻点.显然，f (a, b)是否极值，由厶z = f (a+h , b+k) _f (a, b)当| h |, | k |充分小时的符号确定.设在(a, b)的某邻域内f C(这是为了用Pea no余项)，则有 z = ? ( h2 fxx (a, b) + 2hkfxy (a, b) + k2 fyy (a, b) + o(乎)(' = . h2 k2 ),当厶z> 0时f (a, b)极小，w 0时极大，不定时不是极值.为记号简单，设A = fxx

22、 (a, b), B = fxy2 2(a, b), C = fyy (a, b), Q (h, k) = Ah + 2Bhk + Ck ,则 z = ? ( Ah 2 + 2Bhk + Ck 2) + o( P2 ) = ? Q (h, k) + o( 2 ).1°若_h, k, Q (h, k) > 0(即二次型Q正定),则f (a, b)极小.事实上, z =1 Y (Q (h,k) + ：(；),其中：(；)=2 竺/ t 0(： 0). Q (上)关 于h, k连续且(2)2 + (4)2 =1,故在单位圆周上达到最小值，设为m,贝片h, k, Q (-. ,4) &

23、gt;m > 0.因为:(:7)0(：10),故:7充分小时| :- (。| < m,从而充分小时 z>0,即在(a, b)附 近厶z> 0.2°若-h, k, Q (h, k) < 0(即二次型Q负定),则f (a, b)极大.3°在其它情形(即Q不定时),f (a, b)不是极值.仮证法)设f (a,b)极小,则Q (h, k)> 0.事实上，设(h 0 , k 0)使Q(h 0 , k 0) < 0.(下面证明 f (a,b)不是极小值，即在(a, b)的任何邻域内有点，其对应的函数值< f(a,b).这样的点在由(a,

24、 b)和(a+h 0, b+ k 0)确定的直线上就有.)记订2 =h°2+ k。2,则对f (a+ th 0, b+ t k 0) -f (a, b) = * t2 ：-02 (Q( ： , k：)+ :. (t ：()有 Q( h： , k：)皐 q 。,k。)< 0.因为 tt0 时 t；o 0,故 t 充分小时 Q(4L,4°) + : (t-0) < 0,从而 f (a+th 0, b+ tk 0)< f (a, b),与 f (a, b)P0 P0极小矛盾.类似地，f (a, b)极大时 Q (h, k)w 0.注以上证明了 f (a, b)是

25、极值=Q半定.fxy (a,极值充分条件 设在(a, b)的某邻域内f C且(a, b)是f的驻点，A = fxx (a, b), B =b), C = fyy (a, b),则当二次型 Ah2 + 2Bhk + Ck2 (h, k R)(等价地，矩阵 AB VB C丿Hessia矩阵)正定时f (a, b)极小，负定时极大，不定时不是极值.(又,f (a, b)极小时上述二次型 正半定，极大时负半定.)A b推论 设山口 q .若人>0, A > 0,贝U f (a, b)极小；若也> 0, A < 0,贝U f (a,b)极大;B C>0,A>0, A&

26、gt;0,卫0, A>0, Ac0.>0, A>0,"兰0, Ac0,不能确定.例如设若厶< 0,贝U f (a, b)是鞍点；若厶=0,则不能确定证 Q (h, k) = A (h + 旦k) 2 + AC 2B2 k 2 厂A.A.B若二 < 0,则 Q (h, k)不定.若.匸 0,则 Q (h, k) = A (h + k) 2 (x, y) = x 2 -y 4 ,则(0,0)是驻点,:=0,但(0,0)是鞍点:护 0 时 f (0, y) < 0, xm 0 时 f (x, 0) > 0;设 g (x, y) = (x 2 + y

27、 2)5/ 2,则(0,0)是驻点,= 0,但 f (0,0)极小.注1.对一元函数，.:=A,成为一元函数极值的二阶导数判别法:Diif(a)Dmf(a)：2. 对n元函数，类似的结论成立.Hessia矩阵为 ,二次型ni f (a)"八 D nn f (a);nQ现在是Q(hi,h n) =7 Dij f (a)hi h j . Hessia矩阵的n个顺序主子式均> 0时极小,负i, j4正相间时极大.3. 当只有一个驻点(设为a)时，如果能从所论函数本身判明它确有极值 ，则a就是极值点.这时只要计算D11 f (a), > 0时极小，< 0时极大. p.138

28、 例 6. (p.138例8)讨论f (x, y) = (yx 2) (y - 2x 2)在原点是否取得极值.解 f (x, y) = y 2 <x2 y+2x 4 由 fx (x, y) = _6xy + 8x 3 = 0, fy (x, y) = 2y 3x 2 =0 得驻点(0, 0). (fxx (0,0) = fxy (0,0) = 0, = 0,不能用推论.)因为 x 2 < y < 2x 2 时 f (x, y)< 0, y < x 2 或 y >2x 2时f(x, y) > 0,故在(0,0)的邻域内f总能取得正值与负值(如心,討)&l

29、t; 0, f (xgx2) > 0),从而f (0,0) = 0不是极值.2 2 2*注 但在通过原点的任一直线上 f (0,0)极小.事实上，设g (x) = f (x, kx) = k x - 3kx + 2x 4 ,则 g ' (0) = 0, g " (0) = 2 k 2 > 0 (k 丰 0),故 g (0)极小.当 k = 0 时 g (x) = 2x 4 , g (0)也极小. 因此本例说明函数沿直线极小时它不一定极小332332 f (x, y) = xy x y一 xy .由fx(x, y) = y 3x y- y = 0, fy(x, y)

30、= x- x 3xy = 0 得 9个驻点:p1 (0,0), P2 (1,0),P3 (-1,0),P4(0,1), P5 (0, -1), P6 (? , ?), P7 (-?,-?), P8 (?,-?), P92222 2(-?,?). fxx (x, y) = -6xy, fxx (x, y) fyy (x, y) - fxy (x, y) = (一6xy) -(1 -3x -3y ).对卩1厶=-1 < 0；对 P2, P3, P4, P5, = -4 < 0,都是鞍点.对 P6, P7, P8, P9, = 2 > 0, P6, P7 极大(1/8),卩8, P

31、9 极小(-1/8).考察函数f (x, y) =(1 + e y ) cos x - ye y的极值.解fx (x, y) = - sin x (1 + e y ), fy (x, y) = (cos x - 1 -y) e y ,驻点 P n (n二,(-1)n - 1) (n Z).yyy ,fxx (x, y) = - cos x (1 + e ), fxy (x, y) = - e sin x, fyy (x, y) = (cos x - 2 -y) e .对 P 2n , A = -2 < 0,2_2_2 = -2X (-1) - 0 = 2 > 0,极大(2);对 P

32、 2nd, A = 1 + e > 0, B = 0, C = Y , < 0,不是极 值点.2 2 2*考察函数 f (x, y, z) = x 一 2xy + 2y + z yz + x + 3y - z 的极值.1772解驻点(飞二二),Hessia矩阵'2-2<0-24-10-1 ,极小.2求函数的最大最小值.步骤：1.确定是否有最大、最小值(从连续函数性质或问题的实际意义确定);2. 求驻点及定义域内部有一个偏导数不存在的点(即梯度不存在的点)；3. 比较函数在这些点及在边界上的值，最大(小)者即为最大(小 )值.求函数f (x, y) = xy - x 3

33、 y - xy 3在正方形0,1 2 上的最大、最小值.解 驻点为(? , ?).在驻点处的函数值为1/8,在边界上的函数值为 f (0, y) = f (x, 0) = 0,33f (1, y) = -y (0 w yw 1), f (x, 1) = -x (0< x< 1),故最大值为 1/8,最小值为 T.求函数 f (x, y) = ax 2 + 2bxy + ay 2 (b > a > 0)在 x 2 + y 2 w 1 上的最大、最小值.解 驻点(0,0).在边界上，f (x, ± 一 1 x2 )= a ± 2bx . 1 x2 = g

34、 (x) (| x |w 1).由 g ' (x) = 0 得 x = ± .2/ 2.因为 g (1) = g (-1) = a, g ( ,2 / 2) = a± b, g (一、2/ 2) = a 二 b, f (0,0) = 0,故有最大值a+b,最小值a 一 b.注1.因为以乂弓代x, y时f及区域不变,故考察边界时可只考虑f(x,、. 1二x2).2.本题也可用初等方法解决：-(x 2 + y 2)< 2xy < x2 + y 2,两个等号依次当且仅当 x = _y 和 x = y 时成立，故 a bw (a - b) (x 2 + y 2)

35、w f (x, y) = a (x 2 + y 2) + 2 bxy< (a + b )( x 2 + y 2)< a+b且x = y时右边两不等式成立，x = -y时左边两不等式成立.用初等方法有时会更简便， 但它通常依赖于技巧，而高等数学方法有普适性.证明：圆内接三角形中，正三角形的面积最大.证 设圆内接三角形三边所对的圆心角为x, y, 2二_x 一 y,圆半径为r,则三角形面积为？2r (sin x + sin y -sin (x + y) (x> 0, y>0, x + y w 2 ). 设 f (x, y) = sin x + sin y sin (x +

36、y), D2 2=(x, y) | x> 0, y> 0, x + y w 2 .令 f x (x, y) = f y (x, y) = 0 ,得 D 内有唯一的驻点 二二云二).3 3在D的边界上，f (0, y) = f (x,0) = f (x, 2二-x) =0,故面积最大值为 Ur2，此时三角形三内角4为二/ 3,即为正三角形. 证明：xyw x In x - x + e y (x> 1, y> 0).证 即证 f(x, y) = x In x - x + e y _xy 在 D = ( x, y) | x> 1, y> 0上有最小值 0由 fx (x, y)