二重积分的计算12

1、第二节 二重积分的计算(一)内容要点 一、在直角坐标系下二重积分的计算对型区域：，有 (2.2)对型区域：，有 (2.3) 二、交换二次积分次序的步骤（1）对于给定的二重积分 先根据其积分限画出积分区域D（图9-2-13）；（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限（3）写出结果 三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面.例题选讲在直角

2、坐标系下二重积分的计算例1（E01）计算其中D是由直线及所围成的闭区域.解一 如图，将积分区域视为型,解二 将积分区域视为型,例2 计算, 其中是由直线和所围成的闭区域.解 如图,既是型,又是型.若视为型,则原积分若视为型，则其中关于的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要.例3（E02）计算二重积分其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.解 如图,既是型，也是型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.例4（E03）计算 其中D由及y轴所围.解 画出区域的图形.将表成型区域,得因的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将表成型区域

3、,得例5（E04）计算其中D为.解 例6 计算二重积分 其中区域是由, 所围成的矩形.解 如图，因为是矩形区域,且所以例7（E05）求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解 成的立体的体积. 及利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为它的顶是柱面于是,故所求体积为 交换二次积分次序的步骤例8 交换二次积分的积分次序.解 题设二次积分的积分限: 可改写为:所以 例9（E06）交换二次积分的积分次序.解 题设二次积分的积分限: 可改写为:所以 例10（E07）证明其中a、b均为常

4、数, 且.证 等式左端二次积分的积分限:可改写为所以例11（E08）交换二次积分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限:可改写为 所以 原式例12 交换二次积分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限:由 原式例13 计算积分 解 不能用初等函数表示,先改变积分次序. 题设二次积分的积分限:可改写为，所以利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算例14（E09） 计算其中积分区域由曲线与所围成.解 令因为关于轴对称,且故 例15 计算 其中解法一 先对积分,积分区域故解法二 先对积分，积分区域故解法三 利用对称性,因为积分域关于轴对称，且函数关于是奇函数,所以又 故第三节 二重积分的计算(2)内容要点

5、 一、在极坐标系下二重积分的计算极坐标系下的面积微元 ，直角坐标与极坐标之间的转换关系为 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式 (3.1) 二、二重积分的应用 平面薄片的重心 平面薄片的转动惯量 三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算 二重积分的一般换元分式.例题选讲在极坐标系下二重积分的计算例1 (E01) 计算其中是由圆所围成的区域.解 如图，在极坐标系下，积分区域的积分限为于是例2 计算二重积分 其中是由所确定的圆域. 解 如图(见系统演示)，区域在极坐标下可表示为故例3 (E02) 计算, 其中积分区域是由所确定的圆环域.解 由对称性，可只考虑第一象限部分,注意到被积函数也

6、有对称性,则有例4 (E03) 计算, 其中D是由曲线所围成的平面区域.解 积分区域是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为 于是区域的积分限为 所以 例6 计算, 其中为由圆 及直线 所围成的平面闭区域.解 所以例8 (E05) 求曲线和所围成区域的面积.解 根据对称性有在极坐标系下 由得交点故所求面积例9 (E06) 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.解 如图，由对称性，有其中为半圆周及轴所围成的闭区域.在极坐标中，积分区域二重积分的应用例11 (E08) 求位于两圆和之间的均匀薄片的重心（图9-3-13）.解 如图，因为闭区域对称于轴，故重心必位于轴上，于是,易见积分区域的面积等于这两个圆的面积之差,即再利用极坐标计算积分:因此所求重