正难则反解题

1、正难则反，事半功倍学生在解题时总是习惯正向思维，一般总是从问题的正面入手，但是高中数学中有很多问题从正面着手是不易解决的，面对这样的问题如果能试着采用“正难则反”的解题策略往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目难度。所谓“正难则反”归根结底是一种“转换”的数学思想，其中的“正”和“反”也会依据不同的题目而发生转化，这是一种打破常规思维，反向思考的解题策略。一、集合补集“集合”和“补集”是一个相对的概念，若“集合”“正”，则“补集”“反”。在高中数学的很多问题中都运用到了由求解“集合”本身转换为先求解其“补集”再求“集合”，反向思维的解题技巧。这也就是我们所谓的“补集思想”解题。【例1】解不等式

2、：。【解析】设全集U=，若原不等式的解集为A，则不等式的解集即为CUA。解不等式即解不等式组原不等式的解集。【点评】这道题目如果直接求解则需要将此不等式等价转化成两个不等式组，求解过程复杂，计算较大，但是如果运用“正难则反”的解题策略，先求解CUA再求A则只需解一个不等式组即可。【例2】小明家中有甲、乙、丙三个闹钟，他每天准时起床必须靠闹钟叫醒自己，假设任一闹钟响就能起床，甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，丙闹钟准时响的概率是0.75，求小明能准时起床的概率。【解析】由题意可知，小明能准时起床意味着三个闹钟中至少有一个准时响起，故可设A“三闹钟至少有一个准时响”则“三

3、只闹钟均未准时响”,即小明能准时起床的概率为。【点评】此题若从正面求解则可分析出满足题意的情况的有三种：仅有一个闹钟响；有两个闹钟准时响；三个闹钟均准时响，而这每种情况下又分好几种具体的情形，因此正面求解纷繁冗长，不值得提倡。但如果能考虑到“正难则反”的解题策略，先求解事件A的对立事件的概率然后再考虑事件A的概率就显得轻松多了，其亦可理解为“补集思想”的一种体现。二、原函数反函数在求解函数值域的问题中，存在一些函数可以通过利用自身的反函数来求解其值域，这种求解方法称为“反函数法”。这种方法也是“正难则反”解题策略的一种体现，即 “原函数”“正”，而 “反函数”“反”。【例3】求函数的值域。【解

4、析】由求其反函数，解得，函数的值域为【点评】该题可直接求解，将式子变形为后考察式子的取值范围从而得到所求函数的值域。然而利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域则使问题解决更加简洁、明快，这也不失为一种“正难则反”的好方法。三、变量常量在一些数学题中我们会涉及到多个量，其中既有常量也有变量，学生常会思维定势，固定地去看待这些量。而常量和变量其实是相对的 ，若我们认为“变量”“正”，则“常量”“反”。当某些量作为“变量”而无法解决时，那不如转化眼光，把这些“变量”看成“常量”，把原本的“常量”看成“变量”，这种从反面思考的处理方法往往会巧妙地解决问题。

5、【例4】设为正整数，且关于x的一元二次方程至少有一个整数根，试确定参数的值。【解析】假设视为变量，则求解易得：（*）。为正整数，即，解得：且。从而只可能取，将其逐个代入到（*）式中，得的值可取为。故满足条件的所有整数的值共四个：。【点评】此题若按习惯思维，把看成变量，针对的一元二次方程用求根公式，再对判别式讨论，亦可求解但过程极其复杂。然而运用“正难则反”的解题策略，反向思维，把看成常量，把看成变量来处理确实起到了事半功倍的效果。【例5】设不等式对满足的一切实数都成立，求实数的取值范围。【解析】令则原不等式等价恒成立()由于是关于的一次函数或常数函数,故有即解之得.从而实数的取值范围是.【点评

6、】此题与上题一样，把习惯思维中的“常量”m看做“变量”，大大简化了求解过程。像例4、例5这样的实例还有很多，这种常量与变量之间的转化也是 “正难则反”解题策略的一种重要体现。四、命题命题的否定 “命题”与“命题的否定”是两个相对的概念，从逻辑上讲，它们两者间的真假性必然相反。如果我们认为“命题”“正”，则“命题的否定”“反”。对于高中数学的某些证明题，我们直接从正面证明它往往是有困难的，这时我们可以考虑从其反面着手。所谓从反面着手就是先假设结论的否定成立，从此假设出发，通过推理证明得到与已知条件或公理、定理相矛盾的结果，而判断出结论的否定错误，从而可知待证命题正确。这就是我们非常熟悉的“反证法

7、”，“反证法”是“正难则反”解题策略的一种典型体现形式。【例6】如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.【解析】已知: 平面，. 求证：. 证明:如图，假设. ，且，. 同理：. 这与题设与是相交直线矛盾. .【点评】“反证法”其实就是从问题的反面思考问题,若问题的反面是不成立的,那么它的正面必然就是正确的。在运用“反证法”证明时有两个关键点：准确作出反设即判断命题的否定是什么；推导出矛盾。【例7】若均为实数,且,.求证: 中至少有一个大于0.【解析】假设都不大于0，即，则.而： . 又，且取任何实数，都有. ,这与相矛盾. 因此中至少有一个大于0.【点评】当数学命

8、题中含有“至多(少)”、“唯一”、“不存在”、“任意”、“不可能”等词语时可考虑用反证法加以证明，同时对于含有上述词语的命题的反设也需引起注意。“反证法”选用的前提就是当直接证明结论有困难时我们可以尝试使用它，这正是“正难则反”解题策略的一种体现。当然，在解题时我们还需结合题目本身进行分析，也不能一概而论。五、条件结论“条件”和“结论”是一个命题的两个组成部分，如果我们认为从“条件”出发证明“正”，则从“结论”出发证明“反”。在做数学证明题时，我们习惯于从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为“综合法”，这是我们最常用的一种证明方法。

9、在高中数学的某些问题中，综合法并不能很好的解决问题，然而运用“正难则反”的解题策略，从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法就是我们所说的“分析法”。【例8】已知，证明: .【解析】要证只要证.，只要证，即，只要证.，成立，要证的不等式成立。【点评】此题的“条件”单一，若紧抓“”不放，试图从正面突破，那么问题将很难得到解决。若能反向思维，及时改变解题策略，紧抓证题目标即“结论”，从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，这样执果索因则解题时方向明确，利于找到解题思路。 需要指出的是，“正难则反”的解题策略在解题实践中不仅仅体现在以上归纳的五个方面。“正难则反”充分反映了“正与逆”的