二导数与微分部分

1、第二章 导数与微分1、利用导数定义求函数极限如果存在注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同例1 设在点可导，求下列极限（1）（2）设，其中有二阶导数，求2、利用定义求函数的导数例2 (1) 设，求注意：函数仅在处存在二阶导数，故求时不能直接利用求导公式。（2）设周期函数的周期为5，可导，且，求曲线在点处的切线方程。（3）设，求3、求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析: 含有绝对值的函数可转化为分段函数 ，（1）当x>a 当x<a （2）当x=a （3）如 则存在,且=B.否则不存在（4）写出的解析式例3 （1）已知 ,求的导数（2）设在点可导，且，求在点可导的充

2、要条件（3）已知 ,则是否存在（4）设，其中，求4、分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数已知 在处可导,求中的待定系数分析：（1）在处可导,则在处连续,即（2）求,而（3）由和,求待定系数例4 已知 在处可导, 求a,b5、求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性函数 ,求,并讨论的连续性分析:（1）先求； （2）然后讨论在定义域内的连续性例5 设 问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导数，但在x=0处却不存在二阶导数。6、利用导数求函数例6 （1）设f(x)在（0，+）内有定义，且，又对，有，求注意：有乘积的，一般令、互为倒数（2）设函数满足等式，且存在，求注意：有

3、和的，一般令、互为相反数；有差的，一般令、相等7 求导例7 已知 =,求f（）。8 复合函数的求导例8 求导（1） ；(2) 设， ，求.9 求反函数的导数例9 设，求10 隐函数的求导例10求导（1） (2) 设y=y(x)是由方程x y+ ey=1所确定的隐函数，求。11 由参数方程所确定的函数的导数例11 求导数（1） （2）12 对数求导法求函数的导数<1> (1)对幂指函数两边取对数(2)两边对x求导得: (3)则例12 求导(1) ；(2)<2> 多重函数的连乘除,多重根式内商的函数求导例13 求导(1) ； (2)13 抽象函数的求导例14 求导（1） ；

4、（2）设，求14 求高阶导数常见函数的高阶导数（1）（2） （3）（4） （5）（6） （7）两个函数乘积的阶导数公式例15 求高阶导数（1） （2）(3) 求在x=0的。练 习1设在点可导，求下列极限（1） （2） 2（1）设在上有定义，在处可导，且，其中，求(2)设f(x)在内有定义，若有，求。(3)设在处可导，且，求3 （1）已知 ,求的导数 (2) 设 求。(3)设 讨论在x=0处的连续性与可导性。(4) 已知g(x)在x=a连续，讨论f(x)=| x-a|×g(x)在该点的可导性。(5)设f(x)=|x3-1|，其中在x=1处连续，则f(x)在x=1处可导的条件是什么(6)

5、设，定义域为（0，2），其中，试在其定义域内求。4已知 为可导函数, 求a,b5（1）已知 ,求并讨论的连续性（2） 其中g(x)有二阶连续导数,且g(0)=1,g(0)=1, 求(x)； 讨论(x)在内的连续性。6（1）设为连续函数，且存在，对和y有 证明对一切x，f(x)可微； 若，求f(x)。（2），且，证明7已知f(t)=(tan(tan(tan,求f（）。8求导（1） （2） （3）9求导（1） （2）(3)设f(x)为可微函数，且y2 f (x)+ x f (y)=x2，求10 已知 求11求导(1) 设可导，且，求（2）设，求12求阶导数（1） （2）(3)设有任意阶导数，且，求

6、 （n>2） 。历届高等数学竞赛真题1、求的阶导数 2、，求3、，求4、设，当时，求5. （1）设函数可导，并且，则当时，该函数在点处微分是的（A ） A 等价无穷小 B 同阶但不等价的无穷小 C 高阶无穷小 D 低阶无穷小（2）设函数在点处可导，则在点处不可导的充要条件是（ C ） A 且 B 且 C 且 D 且（3）设函数与在开区间内可导，考虑如下的两个命题：（1）若，则；（2）若，则。则（B ）A 两个命题均正确 B 两个命题均不正确 C 命题（1）正确，命题（2）不正确 D命题（1）不正确，命题（2）正确（4）设函数在的一个领域内有定义，则在点处存在连续函数使是在点处可导的（C ） A 充分而非必要条件 B 必要而非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分，也非必要（5）设函数对任意都满足，且，其中均为非零常数，则在处（ ）A 不可导 B 可导，且 C可导，且 D可导，且6、设，求7、设，求8、（1）设函数由参数方程所确定，求 （2）曲线，在点处的法线方程为 （3）设函数由参数方程所确定，其中可导，且，求 （5）设摆线方程为，则此曲线在处的法线方程为 （6）设函数由方程所确定，则 9、（1）设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且。求。（2）设函数，其中具有连续二阶导函数，且。确定的值，使在点处可导，并求。讨论在点