人教版九年级数学一元二次方程根与系数的关系韦达定理 讲义 无答案

1、 解一元二次方程一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0， 0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值此时，常常涉及代数式的一些重要变形；

2、如：(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则当0且时，两根同号当0且，时，两根同为正数；当0且，时，两根同为负数当0且时，两根异号 当0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当0且，时，两根异号且负根的绝对值较大要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）例1.设 ，是一元

3、二次方程的两个根。求（1） （2）例2.已知一个是一元二次方程二次项系数是3.它的两个根分别是和1。请写出这个方程例3.若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，求m的值 若两根互为倒数，m的值是多少？例4.设 ，是一元二次方程的两根，且8 -2=7，求m的值例5.（拓展）设a、b是方程的两个实数根，求代数式的值例6.（拓展） 已知实数a、b满足等式，求的值。例7.已知关于的方程两根的平方和比两根的积大21，求的值练习1、说出下列各方程的两根之和与两根之积：2、已知方程的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（ ） A.1B.-1 C. 2 D. -23、方程的两根和为4，积为 -3，则a= ，b

4、= 。4、设x1，x2是方程2x29x60的两个根，求下列各式的值：5.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.巩固练习一、填空题1.如果x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则x1+x2=_.2.一元二次方程两根的倒数和等于_.3.关于x的方程的根为，则p=_，q=_.4.若x1、x2是方程的两根，那么，5.已知方程的两根之比为2，则k的值为_.6.已知为方程的两实根，则7.方程与方程的所有实数根的和为_.8.关于x的方程的两个实数根同号，则a的取值范围是_.二、选择题9.已知a、b是关于x的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（ ） A. B. C. D

5、.10.以3和2为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D.11.设方程的两根分别为，且，那么m的值等于（ ） A. B.2 C. D. 12.点P （a,b）是直线y=x+5与双曲的一个交点，则以a,b两数为根的一元二次方程是（ ）A. B. C. D. 13.已知两根之和等于两根之积，则m的值为（ ）A.1 B.1 C.2 D.214.设、是方程的两个实数根，则的值为（ ）A2009 B. 2019 C. 2019 D. 2019三、解答题15. 不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积。（1） （2）16. 已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1、x2满足不等式，求实

6、数m的取值范围。19. 已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长。（1）k为何值时，方程有两个实数根；（2）呈矩形的对角线长为时，求k.20. 已知关于x的一元二次方程有两个非零实数根。（1）求m的取值范围；（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由。课后作业：一元二次方程根与系数的关系班级：_姓名：_得分：_一 选择题（每小题5分，20分）1设是方程的两根，则的值是（ ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）32 一元二次方程x25x60的两根分别是x1、x2，则x1x2等于()A5B6C5D63一元二次方程x2x20的两根之积是()A

7、1 B2 C1 D24以方程x22x30的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A） y2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y25y6=0 （D）y25y6=02、 填空题（每小题5分，20分）1、已知关于的方程，若有一个根为0，则=_，这时方程的另一个根是_；若两根之和为，则=_，这时方程的 两个根为_.2、 阅读材料：设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1x2，x1·x2.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x26x30的两实数根，则的值为_3、如果是两个不相等实数，且满足，那么等于_4、若关于的方程的两个根互

8、为倒数，则_。三、解答题（每小题15分，60分）1、不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) (2) (3) 2、若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 3、阅读下面的例题：解方程解：当x0时，原方程化为x2 x 2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）当x0时，原方程化为x2 + x 2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2原方程的根是x1=2, x2= - 2 请参照例题解方程4、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) ； (2) 参考答案一 选择题、1、 C【解析】 2.A【解析】x1x25.3.

9、 B【解析】x1·x22.4.B【解析】 y2+5y6=0 2、 填空题1、;【解析】 由，得： ，得： 2、10【解析】x1、x2是x26x30的两实数根，x1x26，x1x23，10.3、-1【解析】4、【解析】 3、 解答题1. 解：(1) ， 原方程有两个不相等的实数根(2) 原方程可化为： ， 原方程有两个相等的实数根(3) 原方程可化为： ， 原方程没有实数根2、解：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 3、阅读下面的例题：解方程解：当x0时，原方程化为x2 x 2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）当x0时，原方程化为x2 + x 2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2原方程的根是x1=