不等式选讲复习建议华师附中

1、不等式选讲复习建议：华师附中 叶巧卡 一、不等式证明选讲考试说明具体要求如下：()理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式|a+b| |a|+|b| |ab| |ac| +|cb| （2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|c、|ax+b|c、|xc|+|xb|a （3）会用不等式和 证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值。（4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。删去（2）了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明。 柯西不等式向量形式：|a |b |a ·b |+（通常称

2、作平面三角不等式）（3）会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。二、思维总结1不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。2不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合

3、法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。3几个重要不等式（让学生理解并记忆，能直接套用公式及其变式） 若a Î R，则| a |0 , a20. 若a、b Î R，则a2+b22ab （或a2+b22| ab

4、|2ab）（当且仅当a=b时取等号） 如果a,b都是正数，那么 （当且仅当a=b时取等号）变式：x+ 2 (x>0) ; + 2 (ab>0,当且仅当a=b时取等号) a3+b3+c33abc（a,b,c Î R+）, （当且仅当a=b=c时取等号）； (a1+a2+an)(ai Î R+,i=1,2,，n)，当且仅当a1=a2=an取等号；变式：a2+b2+c2ab+bc+ca; ab( )2 (a,bÎ R+) ; abc( )3(a,b,c Î R+)a b.(0<ab) 浓度不等式：< < ,a>b>n&

5、gt;0,m>0;题型讲解一、 含绝对值不等式的求解记熟公式： 当a>0时 | x |a Û axa；| x |>a Û x>a或x<a1、（上海卷1）不等式| x1 |<1的解集是（0，2）2、不等式组 的解集为( )C (A) (0,)；(B) (,2)；(C) (,4)；(D) (2,4)。3、（广东卷16）若不等式3xb4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围是 。（5，7）.4、（08广东卷14）（不等式选讲选做题）已知a Î R，若关于x的方程x2+x+|a|+|a|=0有实根，则a的取值范围是 0, 5、

6、若对任意x Î R,不等式| x |ax恒成立，则实数a的取值范围是 ( ) B (A)a1 (B)| a |1 (C) | a |1 （D）a1 6、（山东卷）0<a<1，下列不等式一定成立的是（ A ）（A）| log(1+a) (1a)|+ | log(1a) (1+a)|>2 （B）| log(1+a) (1a)|< | log(1a) (1+a)|（C）| log(1+a) (1a)|+ | log(1a) (1+a)|< | log(1+a) (1a)|+| log(1a) (1+a)|（D）| log(1+a) (1a)| log(1a)

7、(1+a)|< | log(1+a) (1a)| log(1a) (1+a)|7、（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是( C )（A）| ab | ac |+| bc |（B）a2+ a+ （C）| ab |+ 2（D）8、（北京文科15）记关于x的不等式 <0的解集为P，不等式| x1 |1的解集为Q（I）若a=3，求P；（II）若Q Í P，求正数a的取值范围解：（I）由 <0，得P=x|1<x<3（II）Q=x| x1|1=x|0x2由a>0，得P=x|1<x<a，又Q Í P，所以a>

8、2，即a的取值范围是(2,+¥)9、(上海卷)三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+| x35x2 |ax在1，12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 解：由x2+25+| x35x2 |ax , 1x12 Þ ax+ +| x25x |，而x+ 2=10，等号当且仅当x=5 Î 1,12时成立；且| x25x

9、 |0，等号当且仅当x=5 Î 1,12时成立；所以，a x+ +| x25x |min=10，等号当且仅当x=5 Î 1,12成立。10. 设a Î R, 函数f(x)= ax2+xa (1x1).(1)若| a |1,证明| f(x) | ;（2）求使函数f(x)有最大值 的a的值.解：(1) 1x1 Þ | x |1,又 | a |1,| f(x) |=| ax2+xa |=| a(x21)+x | a(x21) |+| x | x21 |+| x |=1x2+x=（x）2+ .(2) 由（1）可知| a |>1, 当a>1时,f(x)

10、的最大值在端点取得，又f(1)=1, f(1)=1，所以不合题意，舍去；当a<1时, f(x)的最大值在顶点取得，fmax(x)= = ,解得a=2或a=,因为a<1，所以a=2.二、含参数问题：对于含有字母参数的问题,要求能够合理分类,用分类讨论的思想解决问题,有时也通过分离参数来转化.1、设a是实数，若M不是N的子集，则a的取值范围是 答案：(2,1)2、对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_答案：3、已知二次函数（R，0）（1）当0<a< 时，f(sinx)（）的最大值为 ，求的最小值（答案：1）（2）如果0，1时，总有|试求的取值范围答案：4、解不等式：

11、| ax1 |>x 答案：当a1时, 解集为R；当1<a1时，解集为(¥, )；当a>1时，解集为(¥, )( ,+¥).三.通过基本不等式求极值（一）.通过不等式性质变形1.（北京理科7）如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4，那么（A）abc+d，且等号成立时a,b,c,d的取值唯一abc+d，且等号成立时a,b,c,d的取值唯一abc+d，且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一abc+d，且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一2. （福建卷）下列结论正确的是（ B ）A当x>0且x1时,lgx+ 2B当x>0时,+ 2C当x

12、2时,x+ 的最小值为2D当0<x2时，x无最大值3. (陕西卷文科)设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( B ) A. 6 B.9 C.12 D.15.（陕西卷理)已知不等式(x+y)( + )9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.8解析：不等式(x+y)( + )9对任意正实数x，y恒成立，则1+a+ + a+2+19，2或4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B4若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=42,则2a+b+c的最小值为（D）（A）1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 22解析：若a,b,c>0且a

13、(a+b+c)+bc=42 所以a2+ab+ac+bc=42，42= a2+ab+ac+bc= (4a2+4ab+4ac+2bc+2bc) (4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2), (22)2(2a+b+c)2，则(2a+b+c)22，选D. 5. （江西卷9）若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1+a2=b1+b2=1，则下列代数式中值最大的是( A )Aa1b1+a2b2 Ba1a2+b1b2 Ca1b2+a2b1 D 6若a,b,c>0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是 ( A )（A）2 （B）3 （C）2 （D）解：（

14、abc）2a2b2c22ab2ac2bc12（bc）2³12，当且仅当bc时取等号，故选A7. （上海理科6）已知x,y Î R+，且x+4y=1，则xy的最大值为 。（上海春）已知8.直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 .49.（江苏卷11）已知x,y,z Î R+，x2y+3z=0,，则 的最小值为 310.(山东理科16)函数y=loga(x+3)1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则 + 的最小值为 .8四、 不等式的证明比

15、较法（基本方法）1.已知x,y Î R，求证：sinx+siny1+sinxsiny.2.设a>0，b>0,求证：aabb. 综合法、分析法（联系基本不等式）1.设a,b,c为正实数，求证：+ + +abc2.2.求证：a4+b4+c4abc(a+b+c).3.已知a,b,c为正非负实数，求证：+(a+b+c).4.已知a,b,c为正实数，求证：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).5.若| a |1,| b |1,求证：ab+1.反证法（正难则反）：关注所证结论的特点1.已知x>0，y>0，且x+y>2，求证：与 中至少有一个小于2.2

16、.设f(x)=x2+ax+b，求证：| f(1) |、| f(2) |、| f(3) |中至少有一个不小于 .3.已知a>0，f(x)=x3ax在1,+¥)上是一个单调函数，(1)求实数a的取值范围；(2)设x01，f(x0)1，且ff(x0)=x0，试证明：f(x0)=x0.解：（I） 0<a3 () 用反证法证明：假设f(x0)x0，则f(x0)>x0或f(x0)< x0，又x01，f(x0)1，且由（）可知f(x)在1,+¥)上为单调增函数，若1x0<f(x0)，则f(x0)< f(f(x0)=x0矛盾， 若1f(x0)<x0

17、，则f(f(x0)< f(x0)，即x0<f(x0),矛盾， 故假设不成立，即f(x0)=x0成立.4. 已知函数f(x)=alnxbx2图象上一点P(2,f(2)处的切线方程为y=3x+2ln2+2(1）求a,b的值；（2）若方程f(x)+m=0在 ,e内有两个不等实根，求m的取值范围（其中为自然对数的底数）；（3）令g(x)=f(x)kx，若g(x)的图象与轴交于A(x1,0),B(x2,0)， (其中x1<x2)，AB的中点为C(x0,0)，求证：g(x)在x0处的导数解：（1）解得（2） 1<m2+ (3）g(x)=2lnxx2kx，g(x)= 2xk假设结论不

18、成立，则有 ，得2ln (x12x22)k(x1x2)=0 k=2 2x0由得k= 2x0，= 即= ，即ln = 令t=，u(t)=lnt(0<t<1)， 则u(t)= 0u(t)在0<t<1上增函数， u(t)<u(1)=0， 式不成立，与假设矛盾g(x0)05. （2009重庆卷理）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈（）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；（）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：； 解：（I）（II）由题意an2=an12an+12, (1<n<m ) ,am=am12a12 ,a

19、12=am2a22得由得 由，得， 故. 又，故有.下面反证法证明：若不然，设若取即，则由得，而由得得由得而及可推得（）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数由均值不等式得a1+a2+a3+a6=(a1+)+(a2+)+(+)6由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5=am=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3+a6>6又m=6k，由和得a72+am2=(a72+a122)+(a6k-52+a6k2)=（k-1）(a12+a62)=(k-1) (a12+a22+a32+)6(k-1)+因此由得a1+a2+a3+a

20、6+ a72+am2>6+6(k-1)=6k=m=ma1a2a3am导数法：若题目中有函数形式，特别是对数函数与其他函数组合1. 已知x>0，求证：ln(1+x)>xx2.2. 证明不等式 lnx> ,其中x>13. 已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同。（1） 用a表示b，并求b的最大值；（2） 求证：f(x)g(x) (x>0) .(1) b= a23a2lna , bmax= 放缩法【类似数列求和，当不可以运用常见方法(公式法、

21、分组求和法、列项求和法、倒序求和法、错位相减法)求和时，考虑适当放缩，转化为可以求和再比较大小】放缩目标分式分子分母同加减一个值1、09广东理21已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解：（1），（2）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. 数列求和式取最大最小放缩1、求证：5< + + + <10.<1;+ < + =1;+ + < + + + =1+ + < + + =1上述式子相加得右边成立没有求和公式的放缩为有求

22、和公式的数列目标：等差等比数列等差1.已知数列an 中，an=，Sn为其前n项和，求证：<Sn< 分母放大或缩小：n=<=<=n+ 等比（关于指数式）1.（06福建22）已知数列an 满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足= (nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:(nN*).解：（I）an+1=2n即an=2n-1(n Î N*)（II）略（III）证明： (分母缩小)分母放大拆项求和式（如分母为根式的分式，分母为二次式的分式）1.已知n Î N*,求证：2（1）<1+ + <2.+<2&

23、lt;+ Þ > > Þ >>2.数列，是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。设，证明：当时，. 略 证明：由得 ，故 （裂项求和） 现证.当，故时不等式成立 当得，且由， 注意：有些放缩是不是从开始进行，是从某一项之后1. 设函数,若(1)求函数f(x)的解析式；(2)设,求证:；解：（1） (2)由， 易知n=1,2时成立当时, =（裂项求和）对于指数式又可拆项分解的复合式，可优先考虑拆项分解1.（06全国1理22）设数列an的前项的和，（）求首项与通项；（）设，n=1,2,3，证明：解：（I）a1=2 ,

24、，n=1,2,3，因而，n=1,2,3,，（II）将代入得= ×(2n+11)(2n+12)= ×(2n+11)( 2n1)= × = ×( )所以，= ×(1)< 数学归纳法（跟自然数有关的命题）1. （湖北理科21）已知m，n为正整数.（）用数学归纳法证明：当x>1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知(1)n< ，求证(1)n < ( )m，m=1,2,，n；（）求出满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.解：（）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x&

25、gt;1，且x0时，m2, (1+x)m>1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x，因为x0,所以x2>0，即左边>右边，不等式成立；（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x0,k2,所以kx2>0.于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.

26、综上所述，所证不等式成立.2. (06江西22)已知数列an满足：a1 ，且an (n2,n Î N*) （1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·an<2·n！解：(1) an= (n1) （2）证：据得，a1,a2an= .为证a1a2an2·n!，只要证nN*时有(1)(1)(1) > 显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个nN*,(1)(1)(1) 1（ + + ） 用数学归纳法证明式：1°n=1时，显然式成立，2°设n=k时，式成立,即(1)(1)(1)1（ +

27、 +）,则当n=k+1时,(1)(1)(1)(1)1（+ +）( 1)=1（+ +）+(+ +)1 (+ +).即当n=k+1时，式也成立.故对一切nN*,式都成立.利用得，(1)(1)(1) 1（ + + ）=1=1(1)= + ( )n > .故式成立，从而结论得证.证明充要条件问题1. 设a,b为正数，求证：不等式+1>成立的充要条件是对于任意实数x>1，有ax+ >b.分析：ax+ = a(x1)+a+ =a(x1)+ +a+12+a+1=(+1)22. （2002江苏，22）已知a0，函数f（x）axbx2。（1）当b0时，若对任意xR都有f（x）1，证明a2

28、；（2）当b1时，证明：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2；（3）当0b1时，讨论：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件。（）证明：依题意，对任意xR，都有f（x）1，f（x）b(x)2+ ，f()=1，a0，b0，a2（）证明：必要性：对任意x0，1，|f（x）|11f（x），据此可以推出1f（1），即ab1，ab1；对任意x0，1，|f（x）|1f（x）1，因为b1，可以推出f（ ）1，即a·11，a2；b1a2 充分性：因为b1，ab1，对任意x0，1，可以推出：axbx2b（xx2）xx1，即axbx21；因为b1，a2，对任意x0，1，可以推出axbx2

29、2xbx21，即axbx21。1f（x）1。综上，当b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2（）解：因为a0，0b1时，对任意x0，1：f（x）axbx2b1，即f（x）1；f（x）1f（1）1ab1，即ab1，ab1f（x）（b1）xbx21，即f（x）1。所以，当a0，0b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是ab1.解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2。当a=a2时，a=0或a=1，x，当aa2时，a1或a0，axa2，当aa2时0a1，a2xa，当a0时axa2，当0a1时，a2xa，当a1时，axa2，当a=0或a=1时，x。综合问题A是由定义在

30、上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意，都有 ； 存在常数，使得对任意的，都有（1）设，证明：（2）设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;（3）设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。解：(1)对任意,所以对任意的，所以0<,令=L， ，所以(2)反证法：设存在两个使得,。则由，得，所以，矛盾，故结论成立。(3)，所以+。创新题1（06湖南文，20）在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列32

31、1的逆序数。（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,。解（）由已知得，。（）因为，所以.又因为，所以 =。综上，。点评：该题创意新，知识复合到位，能很好的反映当前的高考趋势。2. （2009江苏卷）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA

32、元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA= mB时，求证：h甲=h乙； (2)设mA= mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。(1)h甲=, h乙=，mA Î 3,12, mB Î 5,20当mA=

33、 mB时，h甲= =,h乙= =, h甲=h乙w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）当mA= mB时，h甲=由mB Î 5,20 得 Î , ，故当 = 即mB=20, mA=12时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。（3）（方法一）由（2）知：h0=由h甲=h0= 得：· ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 =x, =y 则x, y Î ,1，即：(1+4x)(1+y) .同理，由h乙h0=得：(1+x)(1+4y) 另一方面，x, y Î ,1 ,1+4x、1+4y Î

34、 2,5, 1+x、1+y Î ,2. (1+4x)(1+y),(1+x)(1+4y), 当且仅当x=y= ，即mA=mB时，取等号。所以不能适当选取mA、mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立。方法二：由（2）知h0= ，因为h甲h乙= .所以,当h甲 ,h乙 时，有h甲=h乙=.因此不能取到mA,mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. （2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M0,对任意的，恒有 , 则称数列为数列.（）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：A组：数列是B-数列, 数列不是B-数列;B组：数列是B-数列, 数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；()若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。解: （）设满足题设的等比数列为,则.于是 =所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .（）命题1：若数列是B-数列