三重积分习题

1、9-3 1. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域W分别是: (1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为 W=(x, y, z)| 0£z£xy, 0£y£1-x, 0£x£1, 于是 . (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为 , 于是 . (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为 , 于是 . 提示: 曲面z=x2+2y2与z=2-x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1. (4)由曲面cz=

2、xy(c>0), , z=0所围成的在第一卦限内的闭区域. 解 曲积分区域可表示为 , 于是 . 提示: 区域W的上边界曲面为曲面cz=xy , 下边界曲面为平面z=0. 2. 设有一物体, 占有空间闭区域W=(x, y, z)|0£x£1, 0£y£1, 0£z£1, 在点(x, y, z)处的密度为r(x, y, z)=x+y+z, 计算该物体的质量. 解 . 3. 如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积, 即f(x, y, z)= f1(x)×f2(y)

3、15;f3(z), 积分区域W=(x, y, z)|a£x£b, c£y£d, l£z£m, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即 . 证明 . 4. 计算, 其中W是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围成的闭区域. 解 积分区域可表示为 W=(x, y, z)| 0£z£xy, 0£y£x, 0£x£1, 于是 . 5. 计算, 其中W为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体. 解 积分区域可表示为 W=(x, y, z)| 0

4、£z£1-x-y, 0£y£1-x, 0£x£1, 于是 . 提示: . 6. 计算, 其中W为球面x2+y2+z2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域. 解 积分区域可表示为 于是 . 7. 计算, 其中W是由平面z=0, z=y, y=1以及抛物柱面y=x2所围成的闭区域. 解 积分区域可表示为 W=(x, y, z)| 0£z£y, x2£y£1, -1£x£1, 于是 . 8. 计算, 其中W是由锥面与平面z=h(R>0, h>0)所围成的闭区域.

5、 解 当0£z£h时, 过(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立体W的截面为圆Dz: , 故Dz的半径为, 面积为, 于是 =. 9. 利用柱面坐标计算下列三重积分: (1), 其中W是由曲面及z=x2+y2所围成的闭区域; 解 在柱面坐标下积分区域W可表示为 0£q£2p, 0£r£1, , 于是 . (2), 其中W是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域. 解 在柱面坐标下积分区域W可表示为 0£q£2p, 0£r£2, , 于是 . 10. 利用球面坐标计算下列三重

6、积分: (1), 其中W是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域. 解 在球面坐标下积分区域W可表示为 0£q£2p, 0£j£p, 0£r£1, 于是 . (2), 其中闭区域W由不等式x2+y2+(z-a)2£a2, x2+y2£z2 所确定. 解 在球面坐标下积分区域W可表示为 , 于是 . 11. 选用适当的坐标计算下列三重积分: (1), 其中W为柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所围成的在第一卦限内的闭区域; 解 在柱面坐标下积分区域W可表示为 , 于是 . 别解: 用直角坐

7、标计算 . (2), 其中W是由球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域; 解 在球面坐标下积分区域W可表示为 , 于是 . (3), 其中W是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所围成的闭区域; 解 在柱面坐标下积分区域W可表示为 , 于是 . (4), 其中闭区域W由不等式, z³0所确定. 解 在球面坐标下积分区域W可表示为 , 于是 . 12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z=6-x2-y2及; 解 在柱面坐标下积分区域W可表示为 0£q£2 p, 0£r£2, r£z£6-r2, 于是 . (2)x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2(含有z轴的部分); 解 在球面坐标下积分区域W可表示为 , 于是 . (3)及z=x2+y2; 解 在柱面坐标下积分区域W可表示为 0£q£2p, 0£r£1, r2£z£r, 于是 . (4)及x2+y2=4z . 解 在柱面坐标下积分区域W可表示为 , 于是 . 13. 球心在原点、半径为R的