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文档简介

1、2011年上海市高中数学竞赛试题2011年3月27日 上午8：3010：30说明：解答本试题不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分）1.方程组的解集为 .2.在平面直角坐标系中，长度为1的线段在轴上移动（点在点的左边），点、的坐标分别为、，则直线与直线交点轨迹的普通方程为 .3.已知是椭圆在第一象限弧上的一点，轴，垂足为，当的面积最大时，它的内切圆的半径 4.已知外接圆半径为1，角、的平分线分别交外接圆于、，则的值为 .5.设，其中、为实常数，若，则的值为 .6.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，使，其中、均为整数，且，则满足条件的数对共有 组.7.已知

2、圆的方程为（圆心为），直线与圆交于、 两点，则直线，倾斜角之和为 .8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为，则甲最后获胜的概率是 .二、解答题：9.（本题满分为14分）对于两个实数、，表示、中较小的数，求所有非零实数，使.10. （本题满分为14分）如图，在中，为中点，点，分别在边，上，且，.求的大小.11. （本题满分为16分）对整数，定义集合，问，这600个集合中，有多少个集合不含完全平方数？ 12. （本题满分为16分）求所有大于1的正整数，使得对任意正实数，都有不等式.2011年上海市高中数学竞赛(新知杯

3、)试题解答及评分参考意见一. 填空题1.; 2. y(x-2)=-2; 3.; 4. 2;5.-1; 6. 6; 7. ; 8.二.解答题9.解:当时,当时, 故min=又min= (4)所以有以下四种情形:(1) 当时,原不等式为,.此时,.(2) 当时,原不等式为.此时,. (9)(3) 当时,原不等式为此时,.(4) 当时, 原不等式为.此时,.综上所述,满足题意的x的取值范围为 (14) A6 4 N M 3 4 B O C P10.解:延长NO至P,使OP=ON,又BO=OC,可知BPCN为平行四边形,BP=CN=3. (3)连接MP,在NP的垂直平分线上, (6)令MN=a,则在和中,由余弦定理得 (10)消去 ,得 ,于是(14)11.解:.中含有的平方数都不超过,且每个集合都是由连续50个非负整数所组成的,故每个集合至少含有1个平方数. (6)中,若含有平方数,都不小于.而当时,2x+153,从而中,每个集合至多含有1个平方数.另一方面, 中最大数是,中含有平方数.则不超过. (12)中有且仅有173-25=148个集合含有平方数.综上所述, 中,有600-13-148=439个集合不含有平方数. (16)12.解:当n=2时,不等式为即故n=2满足题意. (2) 当n=3时,不等式等价于 故n=3满足题意. (5)当n=4时,不等式为 .故n=4满足题意. (8

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