集合的基本关系及运算

1、集合的基本关系及运算编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义.2. 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集 的补集的含义，会求给定子集的补集.【要点梳理】要点一、集合之间的关系1. 集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A;子集：如果集合 A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A是集合B的子集(subset).记作：A B(或B A)，当集合 A不包含于集合 B时，记作 AB,用Ve

2、nn图表示两个集合间的“包含”关系:A B（或 B A）要点诠释:(1) “ A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是 B的元素，即由任意的x A，能推出x B .(2) 当A不是B的子集时，我们记作“ A/B(或B/A) ”，读作：“ A不包含于B ”(或“ B不包 含 A ”).真子集：若集合 A B，存在元素x B且x A，则称集合 A是集合B的真子集(proper subset). 记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2. 集合与集合之间的“相等”关系A B且B A，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A

3、A .要点二、集合的运算1. 并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AU B读作：“ A并 B”，即: AU B=x|x A,或 x BVenn图表示：要点诠释：(1) “x A,或 x B” 包含三种情况：“ x A,但 x B ”；“ x B,但 x A ”；“ x A,且 x B ”.(2) 两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现 一次).2. 交集一般地，由属于集合 A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AH B,读作：“ A交B ,即AH B=x|x A,且x B;

4、交集的Venn图表示：要点诠释：(1) 并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说 A与B没有交集，而 是 AB (2) 概念中的“所有”两字的含义是，不仅“ AH B中的任意元素都是 A与B的公共元素”，同时“ A 与B的公共元素都属于 AH B” .(3) 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3. 补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作U.补集：对于全集 U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相 对于全集 U的补集(comple

5、mentary set)，简称为集合 A的补集，记作：uA ；即U A=x|x U且x A; 补集的Venn图表示：要点诠释:(1) 理解补集概念时，应注意补集UA是对给定的集合 A和U (AU)相对而言的一个概念，一个确定的集合 A,对于不同的集合 U,补集不同.(2)全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数围研究问题，则 数集时，则 R为全集，这时Z就不是全集.uA表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合(如Z为全集；而当问题扩展到实(3)时，则记号中“ U也必须换成相应的集合(即4.集合基本运算的一些结论A BA A(CA)A, A BB, B A A=U ,(臥)B, A A=

6、A, A = , A B=B B, A A=A, A =A, A B=BA=若AH B=A则A B，反之也成立若AU B=B则A B，反之也成立若 x (A H B)，贝U x A 且 x B若 x (A U B)，贝U x A,或 x B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法【典型例题】类型一、集合间的关系1例 1集合 A a|a 2k,k N ，集合 B b|b - 1( 1)n (n2 1),n

7、N ，那么 A, B 间的8关系是（）.B A C. A=B D.以上都不对A. A B B.【答案】B由题意可知，集合 A是非负偶数集,0（n为非负偶数时）,1.而（n 1）（n 1）（n为正奇数时）4【解析】先用列举法表示集合A、B，再判断它们之间的关系10,2,4,6,8,.集合 B 中的元素 b 丄 1 ( 1)n (n2 1)81-（n 1）（n 1）（ n为正奇数时）表示 0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即n 1,3,5,7,.由41-（n 1）（n 1）依次得 0,2,6,12 ，即 B0,2,6,12,20,4综上知，B A，应选B.【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在

8、于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是 由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用 Venn图，或数形集合表示）.举一反三：【变式 1 】若集合 A x|x 2k 1,k z , B x|x 4l 1,l z，则（）.A. A B B. B A C. A = B D.AB Z【答案】C例2.写出集合a，b，c的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为a，b，c，含有2个元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3个元素的子集为a，b，c，即含有3个元素的集合共有 23=8个不同的子集. 如果集合增加第4个元素d，则以上8

9、个子集仍是新集合的子集，再将第 4个元素d放入这8个子集中， 会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有 24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的 子集： 和它本身.举一反三：【变式1】已知a,b A a,b,c, d,e，则这样的集合 A有个.【答案】7个【变式2】同时满足： M 1

10、,2,3,4,5 ，a M，则6 a M的非空集合 M有（）A. 16个B. 15个 C. 7个 D. 6个【答案】C【解析】a3 时，6 a 3; a1 时，6 a5; a 2 时，6 a 4; a 4 时，6 a 2; a 5时，6 a1;非空集合M可能是:3 , 1,5,2,4 , 1,3,5 , 2,3,4 , 1,2,4,5，1,2,3,4,5 共 7个.故选C.2 2 2 2 例 3 .集合 A=x|y=x +1， B=y|y=x +1，C=(x,y)|y=x+1， D=y=x +1是否表示同一集合?【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合 A=x|y=x 2+1的代表元素为x,故

11、集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值围，即函数的定义域A=(,)；集合B=y|y=x 2+1的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值围，即函数的值域 B=1,)；22集合C=(x,y)|y=x+1的代表元素为点(x，y)，故集合C表示的是抛物线 y=x+1上的所有点组成的集合；集合D=y=x 2+1是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1.【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件.举一反三：【变式 1 】设集合

12、M ( x, y) | y 3x 4 , N ( x, y) | y 3x 2，则 M 什 N ()A. 1,1B. x 1,y 1 C. ( 1,1) D. ( 1,1)【答案】D【解析】排除法：集合 M N都是点集，因此 M 只能是点集，而选项 A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项 C表示区间(1,1)(无穷数集合)或单独的一个点的坐标(不是集合)，因此可以判断选D.【变式2】设集合M x|y 2x 1,x Z ,N y| y 2x 1,x Z，则m与n的关系是()A. N M B. MN C. N M D. N 口 M【答案】A【解析】集合 M表示函数y 2x 1,x Z的定义

13、域，有 M 整数;集合N表示函数y 2x 1,xZ的值域，有N奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430例2】【变式 3】 设 M=x|x=a2+1, a N+, N=x|x=b 2-4b+5 , b Nk，贝U M与 N 满足()A. M=N B. MN C. NM D. M n N=【答案】B【解析】 当a N+时，元素 x=a2+1,表示正整数的平方加1对应的整数，而当 b N+时，元素x=b2-4b+5=(b-2) 2+1,其中b-2可以是0,所以集合N中元素是自然数的平方加 1对应的整数，即M中元素 都在N中，但N中至少有一个元素 x=1不在M中，即MN故选B.【高

14、清课堂：集合的概念、表示及关系377430例3】例 4已 知 Mx,xyjx y, N 0, x,y, 若M=N，则2 2 100 100、(x y) (x y ) (x y )=.A. 200 B . 200 C . -100 d . 0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性.【答案】D【解析】由M=N知M, N所含元素相同.由0 0, |x| ，y可知O x,xy, x-y)若x=0 ,则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了 M中元素互异性，所以 x丰0.若x y=0,则x=0或y=0,其中x=0以上讨论不成立，所以y=0,即N中元素0, y是相

15、同元素，破坏了 N中元素的互异性，故 xy丰0若联戶0,则x=y , M N可写为2M=x, x , 0, N=0, |x| , x由M=N可知必有 x2=|x|，即|x| 2=|x|x|=0 或|x|=1若|x|=0即x=0 ,以上讨论知不成立若 |x|=1 即 x= 1当x=1时，M中元素凶 与x相同，破坏了 M中元素互异性，故 x工1当 x=-1 时，M=-1 , 1 , 0 , N=0, 1,-1符合题意，综上可知，x=y=-12 2、 ， 100 100、(x y) (x y ) (x y )=-2+2-2+2+ +2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，

16、而找不到题目的突破口因此， 集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点.举一反三：【变式 1 】设 a, b R,集合1,a+b,a=0, - ,b，则 b-a=()a【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：bI *1 0,b,01,a+b,a，又 a 0, a b=0a .当 b=1 时，a=-1 ,0，-,b=0,-1,1a当=1 时， b=a 且 a+b=0,. a=b=0(舍)a综上：a=-1 , b=1,. b-a=2.类型二、集合的运算例 5.设集合 A x |x 3k,k Z ,B y | y 3k 1, k Z , C z|z 3k 2,k ZD w|w 6k 1

17、,k Z，求 B,C,|C,D.【答案】Ap|B Ap)C Bp|C,Bp|D D【解析】先将集合 A、B、C、D转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可集合A x|x 3k,k Z表示3的倍数所组成的集合；集合B x|x 3k 1,k Z表示除以3余1的整数所组成的集合；集合C x|x 3k 2,k Z表示除以3余2的整数所组成的集合;集合D x|x 6k 1,k Z表示除以6余1的整数所组成的集合；A* Ap|C B|C，Bp|D D.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要 对集合进行转化，或具体化、形象化 .如本例中转化为

18、用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元 素的构成类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来举一反三：、 2 2 【变式 1 】已知集合 M=y|y=x -4x+3 , x R , N=y|y=-x -2x+8 , x R，贝U MA N 等于()A.B.R C. -1, 9 D. -1, 9【答案】D【解析】集合 M N均表示构成相关函数的因变量取值围，故可知：M=y|y -1 , N=y|y 9，所以MA N=y|-1 w y 9，选 D.例 6.设集合 M=3, a , N=x|x -2x0 , x Z, MA N=1，贝U MU N为()A. 1 ,

19、 3, a B. 1, 2, 3, a C. 1, 2, 3 D. 1 , 3【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题.【答案】D【解析】由 N=x|x -2x0 , x Z可得：N=x|0x 2 , P=x|x -x-2=0，求 MU P 和 MA P;(2) 已知：A=y|y=3x 2 , B=y|y=-x 2+4, 求：AA B, AU B;22(3) 已知集合 A=-3 , a , 1+a,B=a-3 , a +1, 2a-1,其中aR,若AA B=-3，求 AU B.【答案】(1) x|x 2 或 x=-1 , 2; (2) y|0 w y 2 或 x=-1 ,

20、MA P=2.(2) v A=y|y 0, B=y|y w 4 , A A B=y|0 w y w 4 , A U B=R.(3) v AA B=-3 , -3 B,则有: a-3=-3a=0 , A=-3 , 0 , 1 , B=-3 , 1, -1 AA B=-3 , 1,与已知不符，二 a工 0; 2a-1=-3a=-1 ,/ A=-3 , 1 , 0 , B=-4 , 2 , -3,符合题设条件，二 AU B=-4 , -3, 0 , 1,2.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中(1)易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点 -1 ;而(2)中结合了二次函

21、数的值域问题；(3)中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出 a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算 377474例5】【变式 2】设集合 A=2 , a -2a , 6 , B=2 , 2a , 3a-6,若 AA B=2, 3,求 AU B.【答案】2 , 3 , 6 , 18【解析】由AA B=2 , 3,知元素2 , 3是A, B两个集合中所有的公共元素，所以 32 , a2-2a , 6,22则必有a -2a=3 ,解方程 a -2a-3=0得a=3或a=-1当 a=3 时，A=2 , 3 , 6 , B=2 , 18 , 3 AU B=2, 3 ,

22、6 U 2 , 18 , 3 = 2 , 3 , 6 , 18当 a=-1 时,A=2, 3 , 6 , B=2 , 2 , -9这既不满足条件 AA B=2 , 3,也不满足B中元素具有互异性，故 a=-1不合题意，应舍去.综上 AU B= 2 , 3 , 6 , 182例 7.已知全集 U 1,2,3,4,5 , A x|x px 40 ,求 CA.【思路点拨】CuA 隐含了 AU ,对于 A U ,注意不要忘记 A的情形 .【答案】当4 p 4 时, CuA= 1,2,3,4,5 ;当 p4 时, CuA= 1,3,4,5 ;当 p5 时, CuA= 2,3,5【解析】当A时,方程 x2

23、 px4 0 无实数解 .此时2 p16 0, 4 p4.CuA=U当A时,二次方程 x2px 4 0的两个根x1,x2，必须属于U .因为 x1x2 4 ，所以只可能有下述情形：当 x1 x2 2 时， p4 ，此时 A2 , CuA= 1,3,4,5 ；当 x1 1,x2 4 时， p 5，此时 A 1,4 , CuA= 2,3,5 .综上所述，当 4 p 4 时， CuA= 1,2,3,4,5 ；当 p4时， CuA= 1,3,4,5 ；当 p5时， CuA= 2,3,5 .【总结升华】求集合A的补集，只需在全集中剔除集合A的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A的元素不确定，因此必须

24、分类讨论才行举一反三：【变式 1 】 设全集 U=x N+|x w 8，若 AA (CuB)=1 , 8 , (GA) n B=2, 6 , (CuA) n (CuB)=4 , 7, 求集合 A， B.【答案】 1 ， 3， 5， 8 ， 2 ， 3， 5， 6.【解析】全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8由An (CuB)=1 , 8知，在A中且不在 B中的元素有1, 8;由(CuA) A B=2 , 6，知不在 A中且在B中 的元素有2, 6;由(CuA) A (CuB)=4 , 7，知不在 A中且不在B中的元素有4, 7,则元素3, 5必在AA B 中.由集合的图示可得

25、A=1 , 3, 5, 8 , B=2, 3, 5, 6.类型三、集合运算综合应用例 8已知全集 A=x|-2 w xw 4, B=x|xa.(1) 若AA BM，数a的取值围；(2) 若AA BM A,数a的取值围；(3) 若AA BM且AA BMA,数a的取值围.【思路点拨】 ( 1 )画数轴；( 2)注意是否包含端点 .【答案】(1) a-2 ; (3) -2 waa，又 AA Bm ，如图，a -2 ;(3)画数轴同理可得：如图，-2 w a4.【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间， 和一个动区间的问题思路是,使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题举一反三：【

26、变式1】已知集合P= x I xA.(-C. -1 ,【答案】【解析】故选C.m, -11CP w 1 ,M=1 又；例9.设集合Ax | x2 4x0 ,BB，求a的值;B，求a的值. 明确A”B(1)(2)【思路点拨】和A B，是解决本题的关键【答案】(1) a 1 或 aa.若PU M=P则a的取值围是()B.D.1, + m)-m, -1U 1 , +s)P , Mx|x2 2(a 1)x a2 1 0,a R .B的含义，根据问题的需要,.同时，在包含关系式 B1 ; (1)A中，不要漏掉将其转化为等价的关系式 B AB 的情况2.4,0 .(1)由 ApjB B，则有 BA，可知集

27、合B为，或为0、若B时，4(a1)24(a21) 0,解得a1.若0 B,代入得a210a诚a1.当a1 时，B x | x24x00, 4A,符合题意；当a1 时，B x|x200A,也符合题意.若4 B，代入得a28a70 ,解得a 7 或 a 1.当a1时，已讨论，符合题意；当a7 时，B x | x216x48012, 4，不符合题意由，得a 1或a1 .(2)；4Jb b, aB.又A4,0,而B至多只有两个根,首先化简集合 A，得【解析】因此应有A B，由(1)知a 1.4，或为0, 4 .【总结升华】两个等价转化:B,Ap|B BB A非常重要，注意应用.另外,在解决有条件A B

28、的集合问题时，不要忽视 举一反三：的情况【变式1】已知集合 A 2 ,Bx|x2axa2 120，若B B,数a的取值围.【答案】a 4,或a 4【解析】T ApB B,BA.当B时,此时方程2 x2ax a120无解，由0，解得a当B时,此时方程2 x2ax a120有且仅有个实数解-2 ,0,且（2)2 2a2 a12 0 ,解得a 4.综上，实数a的取值围是a4,或a4.【变式2】设全集U R，集合A x：l 1x 2 ,Bx|4x p 0【答案】P 4【解析】CuA=x | x1,或 x 2 ,Bx|xP4一 B CuA,P 14，即P 4.实数p的取值围是P 4.，若BCUA,数【巩

29、固练习】 1设 U R ,A. x | 0C . x | x已知全集3.A.4.A.5.A.6.A.01x|x 0,B x|x1，则 jBB . x|0 x 1D . x|x 1R，则正确表示集合 M 1,0,1和 Nx| x24,或 a 4.p的取值围.0关系的韦恩（Venn)图是B.若集合A 1,1 , Bx | mx 1，且A B A，则m的值为（1 B . -1 C . 1 或-1已知集合 代B满足Apj B A,那么下列各式中一定成立的是（D . 1或-1或0AB B . BA C若全集 U 0,1,2,3 且CuA 2 ,则集合A的真子集共有（）3个B . 5个C . 7个D .

30、8个设集合 M x| x =,k Z， N24M N B . M N C . N Mkx|x -4D . M-,k Z,则()2P|N7 用适当的符号填空:(1) mm,n ； (2) m8.若集合A x | x9 若集合A10 设集合11 .已知A12.已知集合6,x N ,m, n ； (3)x|3xx2x 2,B x|x是非质数 , Cx|2 x 10，则 A Bx2k 1x 2k 12x 1 ,B2x1,2 ,B 1,2,3,4,5，若AMA* ,则C的非空子集的个数，且A B，则实数k的取值围B，请写出满足上述条件得集合M .13.已知 A x 2 x 5, B x m 1 x 2m 1 , BA，求m的取值围.Mm|方程mx2 x 1 0有实数根15. 设 全 集 URNn |方程x2 x n0有实数根,求Cu