集合中的题型归类解析

1、集合中的题型归类解析江苏 李洪洋集合问题为每年必考题型之一，特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题，这些试题涉及的知识面广，灵活性较强实际上，这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中，只不过是在语言形式方面做了些变通罢了， 而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解因此，在集合题型上应引起我们的足够重视集合中的题型题型1：集合相等问题集合相等问题，主要是利用集合中元素的互异性，集合中元素的互异性是集合的重要属性，在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略，从而导致解题的失败，所以在解题中应引起足够的重视2例 1 已知集合 A=a,a+b,a+2

2、b， B =a,ac,ac ，若 A = B，求 c的值分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的各个集合 的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式解：根据题意，分两种情况进行讨论：亠 fa+b = ac, ,小2（1） 右2，消去 b，得 a + ac - 2ac = 0、a 十 2b = ac ,当a = 0时，集合B中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故a = 02 c -2c 0 ,即c =1，此时B中的三个元素又相同， c = 1此时无解. 2（2）若叫a b ac，消去 b，得 2ac2 - ac - a = 0、a +2b =

3、ac,2 a=0,. 2c -c-1 =0，即（c-1）（2c 1） = 0又c尹1 , c芝-丄2评注：（1）解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正（2）有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法题型2：证明、判断两集合的关系集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。因此，在证明（判断）两

4、集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去例2设集合A二a |a = 3n - 2,n Z,集合B二b|b =3k -1,kZ,试判断集合 A、B的关系。分析：先判断元素与集合的关系，再判断集合与集合的关系解：任设 aA，贝U a =3 n+2=3( n+1)1, nw Z ,n w z ,. n +1 乙 a e B .故B 又任设 b B，则 b =3k 一1 =3(k -1)2,k Z./ k z , k -1 乙 b A.故 B - A.综上可知A = B .评注：在说明aB，或b A的过程中，关键是先要变(或凑)出形式，然后再推理题型3：集合中的参数问题所谓集合中的参数问题，是指集合

5、p | p适合的条件中“ p适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性极强，难度也很大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性 .例 3 已知集合 A 二x| -2< x < 5, B 二x|m T < x w 2m -1，满足 A，则实数m的取值范围为._解：当B -一时，m，12m1，得m ： 2，满足B A.m +1 兰 2m 1,当B学0时，m+1K2,解得2 w m w 3.2m 1 兰 5.-综合(1)、得m的取值范围是m w 3.评注：有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论，特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合

6、.在B5 A中，含有B =.这种可能，应注意.在集合单元中含有 丰富的分类讨论内容，所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识，掌握分类方法，培养周密的思维品质 .题型4：利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解例 4 设全集 U =R, A=x|x w 2 , B=x|x>1.(1)求aD b及 aU b ； (2)求血(aP1b)及血(AUB).解：(1)如图，利用数轴可直观地得到结果：A“B 二x| -1 ： xw 2 ； AU B

7、 = R.(2) (A“B)二x|x w 1，或 x 2 ；(aUb)= _.评注：有关用不等式表示的集合的并、交、补运算，常常借助于数学轴的几何直观来帮 助思考.题型5:开放、定义型问题近几年在高考试题的帮助带动下，一大批以集合为背景的开放型试题不断出现在用描述法表示的集合中， 集合的形式被表示为x|x所适合的条件，其中的代表元素“ x的任意 性”和“ x所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点例 5 设 A 二1,2,3,4,5,6 , B 二1,2,7,8，定义 A 与 B 的差集为 A B 二x|x A，且 x -一 B，贝U A(A B)二解：由所给的新

8、定义：差集 A B=x|xA，且x.B，得A B二3,4,5,6，从而 A (A B)工1,2.评注：差集中的“差”与我们平时所接触的“差”的意义是不同的我们可能会犯这样的错误：A-(A-B)二 A-A B = B =1,2,7,8.例 6 已知 A =( x, y) | x = n, y =an +b,n z,2 2 2B =( x, y) | x =m, y = 3m +15,m z, C=(x, y)|x +y < 14，问是否存在实数 a,b，使得=, (2)(a,b) C 同时成立分析：假设存在a,b使得(1)成立，得到a与b的关系后与x2 + y2 < 14联立，然后讨

9、论 联立的不等式组.解：假设存在实数a,b ,使得ARBr 一 , (a,br C同时成立，则集合2A 二( x, y) | x 二 n, y = an b,n Z与集合 B 二( x, y) |x二 m, y二 3m15,m Z分别2对应集合 A1 =( x, y)| y 二 ax b,x z与耳二( x, y) | y = 3x 15, x z, A 与 B1 对应2y = ax + b的直线y二ax b与抛物线y =3x2 *15至少有一个公共点，所以方程组2 有ly=3x2+15解，即方程3x21ax b必有解因此 I 二a2 -12(15 -b) > 0= -a2 < 1

10、2b -180，又 a2 b2 w 14由相加，得 b2 w 12b-36，即(b -6)2w 0 b = 6.将b=6代入得a2 > 108,再将b = 6代入得a2 < 108，因此a = ±6/3 ,将 a = _6 ., 3 , b= 6代入方程 3x2 15 二 ax b 得 3x2 _ 6 . 3x 9 = 0 ,解得x =. 3 Z.所以不存在实数a,b，使得（1）,（2）同时成立.评注：对于存在性探索性问题， 首先要假设这样的问题存在， 以此出发，依据已知条件、 公理、定理进行推理论证，推出一个较为明显的结论，最后根据这样的结论有无矛盾，得出 问题的结论.

11、高三文科数学（集合）2.（2007年高考广东文科卷）已知集合 M=x1 X 0,X -1 兰 X £1B. XX 1C. X 10>，则 M n NXX 兰1（2008年高考广东文科卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A珂参加北京奥运会比赛的运动员，集合B =加北京奥运会比赛的男运动员，集合C =加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（BUC 二 A3已知集合 A = -1,1 , B 二x | mx =1，且 A B 二 A，则A . 1B. 1C. 1或一1A. A BB. B CC.D. An B 二 Cm的值为（）D. 1或一

12、1或04. （ 2009年高考广东文科卷）已知全集U=R，则正确表示集合M= 1 , 0, 1和 N=5.如图，U是全集，M、P、m Dp Dsm np riCuS6.已知集合A=1 , 2,)S是U的3个子集,M rip USm rip Iks4，那么A的真子集的个数是7.已知全集 U=(2, 3 ,a2+2a 3，若 A= b ,2,G A = 5,求实数的a ,b值答案(1)-(5) DBCDA(6)2(7) 1 1, , 2,4 /一、集合部分1. 准确理解集合元素的两个性质集合是一个原始的，不定义的概念，集合中的元素具有确定性和互异性.确定性是对某一集合来说，任一对象或者是该集合的元

13、素，或者不是该集合的元素，二者必居其一；互异 性是指集合中的元素互不相同.在进行集合的交、并运算时，根据元素的互异性，同一个元 素在集合中是不能重复出现的.而当把一个对象用集合来表示时，也必须以此为依据进行考虑.比如，方程x2 -4x 4=0的解集，若用列举法来表示，只能写成而不能写成2,2：.2. 准确把握各种不同的表示方法集合的表示方法通常有列举法和描述法两种.列举法是将给定集合的元素一一列出写在“ ”中.用列举法表示集合时，首先要注意集合元素具有怎样的形式.例如，把方程 组X 8的解集写成 7,1或x = 7, y=l都是错误的.这是因为 7,1的元素是两个x _ y = 6数，x=7，的元素是两个方程，而方程组的解是一个点， 因此其解集应为（7,1）1 .其次，用列举法表示由许多元素或无限多个元素组成的集合时，若元素间具有明显的规律性， 则可在大括号内列举出部分元素，而其余的元素用省略号表示.用描述法表示集合时， 注意不要把集合二字连同元素一起放在花括号内造成错误，如把“所有正方形组成的集