同济版高等数学教案第五章定积分

1、*第五章定积分教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。§5 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形 设函数y f(x)在区间a b上非负、连续 由直线x a、x b、y 0及曲线y f

2、(x)所围成 的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间a b中任意插入若干个分点a xo x1 x2xn 1 xn b把a b分成n个小区间xo x x1 x2 x2 x3xn 1 xn 它们的长度依次为x1x1xox2x2 x1xnxnxn1经过每一个分点作平行于 y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间xi 1 xi上任取一点i以xi1 xi为底、f ( i)为高的窄矩形近似替代第i个窄

3、曲边梯形(i 1 2n)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即nA f ( 1)x1 f ( 2)x2f ( n) xnf(i) xi 1求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积 A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积 A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边max xi x2xn 于是0所以曲边梯形的面积为梯形的宽度趋于零 记相当于令上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零nA lim f( i) xi0i i2变速直线运动的路程v v是时间间隔T i T 2上t的连续函数且v0计算在这设物体作直线运动已知速

4、度段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T i T 2分成n个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i)物体在时间间隔ti内运动的距离近似为Si v( i) ti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1T 2内所经过的路程 S的近似值具体做法是在时间间隔T i T 2内任意插入若干个分点T 1 t 0 t 1 t 2把T 1 T 2分成n个小段t 0 t 1 t 1 t 2各小段时间的长依次为t 1 t 1 t 0 t 2 t 2 t 1相应地在各段时间内物体经过的路程依次为S 1

5、S 2在时间间隔ti 1 t i上任取一个时刻i (ti 1 i个时刻的速度得到部分路程Si的近似值 即Si v( i) ti (i于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程tn 1 tn T2t n 1 t nt n t n t n 1S nti)以i时刻的速度v( i)来代替ti1 t i上各1 2 n)S的近似值即求精确值记 max t 1 t 2 tn当nS v( i) ti 10时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程nS lim。v( i) ti设函数y f(x)在区间a b上非负、连续 及曲线y f(x)所围成的曲边梯形的面积求直线x a、x b、y 0(1)用分点a

6、 xo xi X2xn i xn b把区间a b分成n个小区间xo xi xix2x2x3xn1xn 记 xixixi1 (i 1 2 n)(2)任取i xi 1 xi以xi 1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为f( i) x (i 1 2 n)所求曲边梯形面积 A的近似值为 nA f( i) i 1(3)记 max x1x2xn所以曲边梯形面积的精确值为nA lim0f( i) xi0 i 1设物体作直线运动 已知速度v v(t)是时间间隔T 1 T 2上t的连续函数且v(t) 0计算在这段时间内物体所经过的路程S(1)用分点T1 to t1 t2 tn 1 tn T2把时间间隔T 1 T

7、 2分成n个小时间 段tot1t1t2tn 1tn记tititi1 (i 1 2 n)(2)任取i ti 1 ti在时间段ti 1 ti内物体所经过的路程可近似为v( i) ti(i 1 2 n)所求路程S的近似值为nS v( i) ti i 1记 max t1 t2tn所求路程的精确值为nS lim0V( i) ti、定积分定义就抽象出下抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括述定积分的定义定义 设函数f(x)在a b上有界 在a b中任意插入若干个分点 a xo x1 x2xn 1 xn b把区间a b分成n个小区间xo xi xi X2xn 1 xn各小段区间的

8、长依次为xixixoxx2xixnxnxn1在每个小区间xi i xi上任取一个点i (xi i i xi)作函数值f ( i)与小区间长度 xi的乘积f ( i) xi (i i 2 n) 并作出和 nS f( i) xii i记 maxxix2xn如果不论对a b怎样分法也不论在小区间xiixi上点i怎样取法 只要当 0时 和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间a b上的定积分记作abf(x)dx即bf(x)dx lim f( i) xiaoi i其中f (x)叫做被积函数f (x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限a b叫做积分区间定义

9、设函数f(x)在a b上有界 用分点a xo xi x2xn i xn b把a b分成n个小区同xoxixix2xnixn记xixixii(i i 2 n)任 i xi i xi (i i 2 n)作和nS f( i) xii i记 max xi x2xn如果当 0时 上述和式的极限存在且极限值与区间a b的b分法和i的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间a b上的定积分记作 f(x)dxabf (x)dxnlim。f( i) ki ib根据定积分的定义曲边梯形的面积为 A af(x)dxT2变速直线运动的路程为S T2v(t)dtTi说明定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的

10、记法无关bbbf(x)dx f (t)dt f(u)du aaan (2)和 f( i) Xi通常称为f (x)的积分和 i 1(3)如果函数f (x)在a b上的定积分存在我们就说f (x)在区间a b上可积函数f(x)在a b上满足什么条件时f (x)在a b上可积呢？定理1设f (x)在区间a b上连续 则f (x)在a b上可积定理2 设f (x)在区间a b上有界 且只有有限个间断点 则f (x)在a b上可积 定积分的几何意义在区间a b上 当f(x) 0时 积分bf(x)dx在几何上表示由曲线y f (x)、两条直线x a、x b与ax轴所围成的曲边梯形的面积当f(x)。时 由曲

11、线y f (x)、两条直线x a、x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值bnnbf(x)dx lim f( i) x lim f( i) xa f(x)dx当f (x)既取得正值又取得负值时 的下方如果我们对面积赋以正负号a0i i0i ia函数f(x)的图形某些部分在 x轴的上方而其它部分在x轴在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号则在一般情形下定积分ba f (x)dx的几何意义为 a它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x a、x b之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分1例1.利用定义计算定积分0x2dx解

12、把区间0 1分成n等份 分点为和小区间长度为x -(i 1 2 n 1) x 1(i 1 2 n) nn取i ；(i 1 2 n)作积分和 n n nf( i) xi2 xiJ)2i 1i 1i 1 n nn i2 4Mn 1)(2n 1) 1(1 -1)(2 1)n3 i 1n3 66 nn一， 1,. ，因为 1当。时n 所以0x2dxnlim f( J Xi0i i111nim i(1 n)(2 n利定积分的几何意义求积分1例2用定积分的几何意义求0(1 x)dx解：函数y 1 x在区间0 1上的定积分是以y 1 x为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面 积 因为以y 1 x为曲边 以区间

13、0 1为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以1 11<1x)dx11 11022三、定积分的性质两点规定当 a b 时 bf(x)dx 0 a(2)当 a b 时 :f(x)dx : f (x)dx性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即bbba【f(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx aaaxibn证明：a/(x) g(x)dx lim f( i) g( i) a0i 1nlim f (0i 1i)lim0ing( i)1*bba f(x)dx ag(x)dx aa性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即bba kf (x)dx k a f

14、(x)dx这是因为 akf (x)dx lim kf( i) xa0i 1klim f ( i)0i 1xibk a f(x)dx性质如果将积分区间分成两部分 和即则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx aac这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论 a b c的相对位置如何总有等式bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx aac成立例如当a<b<c时由于cbcaf(x)dx af(x)dx bf(x)dx于是有bcccba f(x)dxa f(x)dxbf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx性质4如果

15、在区间a b± f (x) 1则bb1dx dx b a aa性质5如果在区间a b上f (x) 0则ba f(x)dx 0(a b)推论1如果在区间a b上f (x) g(x)则bbf(x)dx g(x)dx(a b) aa这是因为g (x) f (x) 0从而bbbg(x)dx af(x)dx g(x) f(x)dx 0 aaa所以bbf(x)dx ag(x)dx aabb推论 2 | a f(x)dx| al f(x)|dx(a b)这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以bbba|f(x)|dxa f (x)dxa|f(x)|dxbb即 |af(x)dx| a|

16、f(x)|dx|性质6设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值则bm(b a) f(x)dx M (b a) (a b) a证明 因为m f (x) M 所以bbbamdx af(x)dx aMdx从而b则在积分区间a b上至少m(b a) a f (x)dx M (b a)性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a b上连续存在一个点使下式成立ba f(x)dx f( )(b a)这个公式叫做积分中值公式证明由性质6bm(b a) f (x)dx M (b a) a各项除以b a得1 b .m f (x)dx M baa再由连续函数的介值定理在a b上至少存在一点使f

17、()f (x)dx于是两端乘以b a得中值公式f (x)dx f( )(b a)积分中值公式的几何解释应注意不论a<b还是a>b积分中值公式都成立§5 2微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在t时刻所经过的路程为S速度为v v(t) S(t)(v(t) 0)则在时间间隔Ti T2内物体所经过的路程S可表示为T2S(T2)S(Ti)及 T v(t)dt11To即t v(t)dt S(T2) S(T1)T1上式表明速度函数v(t)在区间Ti T2上的定积分等于 v(t)的原函数S(t)在区间Ti T2上的增量.这个特殊问题中

18、得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间a b上连续 并且设x为a b上的一点 我们把函数f(x)在部分区间a x 上的定积分xaf(x)dx称为积分上限的函数它是区间a b上的函数记为xx(x) f (x)dx 或(x) f(t)dtaa定理1如果函数f(x)在区间a b上连续 则函数x(x) af(x)dx在a b上具有导数 并且它的导数为(x)dx af(t)dtf (x)(a x<b)简要证明若x (a b)取x使x x (a b)x xx(x x) (x) f(t)dt f(t)dt aaxx xxaf(t)dt * f(t)dt af(t)d

19、tx xx f(t)dt f( ) x应用积分中值定理有 f ( ) x其中在x与x x之间 x 0时 x于是(x) lim x 0 xlim f ( ) lim f ( ) f (x) x 0x若x a取x>0则同理可证(x) f(a)若 x b取x<0则同理可证(x) f(b)定理2如果函数f(x)在区间a b上连续 则函数x(x) af(x)dx就是f (x)在a b上的一个原函数另一方面初步地揭示了积分学定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿 莱布尼茨公式定理3如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间a b上的一个原函数则

20、baf(x)dx F(b) F(a)此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式x这是因为F(x)和(x) af(t)dt都是f(x)的原函数所以存在常数C使F(x) (x) C (C为某一常数)由 F(a) (a) C 及(a) 0 得 C F(a) F(x) (x) F(a)由 F(b) (b) F(a)得(b) F(b) F(a)即 b af(x)dx F(b) F(a)证明已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数 又根据定理2积分上限函数 x(x) af(t)dt a也是f(x)的一个原函数于是有一常数C使F(x) (x) C (a x b)当 x a 时 有 F(a) (a)

21、 C 而(a) 0 所以 C F(a)当 x b 时 F(b) (b) F(a) 所以(b) F(b) F(a)即baf(x)dx F(b) F(a)为了方便起见可把F(b) F(a)记成F(x)4 于是baf(x)dx F(x)b F(b) F(a) a进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 1 9例1.计算0x2dx解由于1x3是x2的一个原函数所以 3：x2dx 1x30 113 1 03 1030 3333 dx例2计算i/ x131dx2 arctanx'3解由于arctan x是土的一个原函数所以arctan、.3 arctan( 1) ( ) -7341

22、2一 一 11例3.计算21dx 2x.F 111_解 1dx ln |x| 2 1n 1 ln 2 In 2 2 x例4.计算正弦曲线y sin x在0 上与x轴所围成的平面图形的面积解这图形是曲边梯形的一个特例它的面积A 0 sinxdx cosxo( 1) ( 1) 2例5.汽车以每小时36km速度行驶到某处需要减速停车设汽车以等加速度 a 5m/s2刹车 问从开始刹车到停车汽车走了多少距离？解 从开始刹车到停车所需的时间当t 0时汽车速度36 1000vo 36km/h3600 m/s 10m/s刹车后t时刻汽车的速度为v(t) V0 at 10 5t当汽车停止时速度v(t) 0从v(

23、t) 10 5t 0得 t 2(s)于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为221s 0V(t)dt 0(10 5t)dt 10t 5丁2 10(m)即在刹车后汽车需走过10m才能停住x例6.设f(x)在0,)内连续且f(x)>0证明函数F(x)0xtf (t)dt0 f (t)dt在(0)内为单调增加函数证明 dx0xtf(t)dt xf(x)ddxx0 f (t)dt f(x)故F(x)xf(x) 0 f (t)dt f(x)0tf(t)dtx2(0 f(t)dt)2xf(x)0(x t)f(t)dtx2(0f(t)dt)2按假设x0 f (t)dtx00(x t)f(t)dt 0当

24、0 t x 时 f (t)>0 (x t)f (t) 0 所以从而F (x)>0 (x>0)这就证明了 F (x)在(0)内为单调增加函数1 t2e t dt 例7.求lim3二一 x 0x2解这是一个零比零型未定式由罗必达法则e t dt lim -cosF- lim x 0 x2 x 0cosx1 et2dtlim sinxecos2x -1x 0 2x 2e提示设(x)x 2一1 e t dt 则cosx t2(cosx) 1 e t dtd cosx dx 1 et2dt-d- (cos x) dx-d- (u) du e u2 ( sinx) sinx e cos2

25、x dudx§5 3定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数f(x)在区间a b上连续 函数x(t)满足条件(1)( ) a ( ) b(2)(t)在(或)上具有连续导数且其值域不越出a b则有baf(x)dX f (t) (t)dt这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知f(x)在区间a b上是连续因而是可积的f (t) (t)在区间(或)上也是连续的因而是可积的假设F(x)是f (x)的一个原函数则ba f (x)dx F(b) F(a) a另一方面因为F (t) F 从而(t) (t) f (t) (t)所以 F(5是£ (t) (t)的一个原函数f (

26、t)(t)dt F ( ) F ( ) F(b) F(a)因此baf(x)dxf (t) (t)dt例 1 计算:Ja cos5xsin xdx x2dx(a>0)m 3 n o令x a sin t角牛 0、a2 x2dxJ acost acostdta2 2cos2 tdt 7 (1 cos2t)dt 02 oa2t 2sin2t0! 1 a2提示Ja2 x2 Ja2 a2sin2t a cost dx a cos t 当 x 0 时 t 0 当 x a 时 t 一2例 2 计算 02 cos5xsinxdx解令t cos x则2 cos5xsin xdx02 cos5 xd cosx

27、0令 cosx t01t5dt0t5dt 京1。i提示当x0时t1当x,时t02 cos5 xd cosx06cos6xl2icos6iicos60 6例 3 计算 0 Jsin0x sin5 xdx3解 0 、,sin3x sin5xdx ° sin2 x|cosx|dx32 2 2e0 sin2 xcosxdx_302sin2 xdsin x3sin2 xcosxdx23sin2 xd sinx225K 25222sin2x0 尸% 5 ( -)提示 、sin3x sin5x, sin3x(1 sin2 x)3sin2 x|cosx|在0,2上 |cos x| cos x 在,上

28、 |cos x|cos x例4计算：-M=dx0、2x 1圣2(t23)dt392彳-2tdt1 t1 1 33 1 2712223t3ti 2(T 9) (3 3) 1提示 xdx tdt当x。时t 1当x 4时t 3 2例5证明 若f (x)在a a上连续且为偶函数则aaaf(x)dx 20 f (x)dxa0a证明 因为 a f (x)dx a f(x)dx 0 f (x)dx.0令 x t 0aa而 af(x)dx af(t)dt 0 f( t)dt 0 f(x)dxaaa所以 a f (x)dx 0 f ( x)dx 0 f (x)dx aaa0f(x) f(x)dx a2f(x)d

29、x 20f(x)dx讨论a右f(x)在a a上连续且为奇函数问a f(x)dx ?提示 若f (x)为奇函数则f ( x) f (x) 0从而aaaf(x)dx 0f( x) f(x)dx 0例6若f (x)在0 1上连续证明(1) 02 f (sin x)dx 02 f (cosx)dx(2) 0 xf (sin x)dx 0 f (sin x)dx证明(1)令x t则 2-02 f(sin x)dx fsin( t)dt02202 fsin(- t)dt 02 f(cosx)dx(2)令x t则00 xf (sin x)dx ( t)fsin( t)dt0( t)fsin( t)dt 0(

30、 t)f(sint)dt0 f (sint)dt 0 tf (sint)dt0 f(sinx)dx 0 xf (sin x)dx所以 0 xf (sin x)dx 0 f (sin x)dxxe x2x 04例7设函数f (x)1计算d f (x 2)dx1-1 x 011 cosx解设x 2 t则42012 t24 f(x 2)dx 4 f(t)dt 1 dtte t dt111 1 cost 0tn 0 a t22 tan1 1e 4 1tan 2 1 2e 0 tan2 2e 2提示 设x 2 t则dx dt当x 1时t 1当x 4时t 2二、分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间a

31、b上具有连续导数 u (x)、v (x)由(uv) uv uv得uv uvuv 式两端在区间a b上积分得bbb、bbbauvdxuvaauvdx或audvuvaavdu这就是定积分的分部积分公式分部积分过程bbbbbudv uvavdu uvau vdxaaabauvdx例1计算12arcsinxdx o1解 02aginxdx xaenx12xd arcsinx o12 1 宁7d(1 x2)12 J x202行V 1一 ，1 一例2计算Qe'xdx解令x t则11 +0e xdx 2 0ettdt1 t20 tdett 11 t2©。2°etdt2e Net：

32、 2例3设I n 02sinnxdx证明(1)当n为正偶数时(2)当n为大于1的正奇数时证明 2sinn xdx 2sinn1xdcosxn 00cos xsinn 1 x -2 ,cosxdsinn 1 x(n 1) 02 cos2xsinn 2xdx (n 1) 02(sinn 2x sinnx)dx (n 1) 02 sinn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2 (n 1)I n由此得nn_JIn n 22m2m 12m 32m 531I02m2m 22m 4422m2m2 2m 44212m1 2m1 2m1 2m 35113 1而 I002dx 万 I102

33、sinxdx 1因此, 2m 1 2m 32m 5 3 1 I12m 一 一 一 一一 一2m 2m 2 2m 4 4 2 2. 2m 2m 2 2m 4 4 2 2m 1 2m 12m 12m 3 5 3例3设1n 02sinnxdx（n为正整数）证明2m 12m 3 2m 5 3 J. _2m 2m 2 2m 4 4 2 22m 2m 2 2m 4 4 22m 1 2m 1 2m 3 5 3证明 In02sinnxdx02sinn 1 xd cosxcosxsinn 1x(2 (n 1) 2 cos2xsinn 2xdx(n 1) 02(sinn 2x sinnx)dx(n 1) 02si

34、nn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2 (n 1)I n由此得In In 2I 2m 12m 3 2m 5 3 1 I 2m 2m 2m 2 2m 4 4 2I 2m 2m 2 2m 4 4 2I2m 1 2m 1 2m 1 2m 3 5 3特别地 I03 dxI1Jsin xdx10o210因此2m2m2m2m3 2m 52m 2 2m 4I2m 12m2m2m 2 2m 42m 1 2m 3§5 4反常积分取b>a如果极限baf (x)dx一、无穷限的反常积分定义1设函数f(x)在区间a )上连续)上的反常积分记彳a f(x)dx即limbbli

35、m f (x)dxb a存在则称此极限为函数f(x)在无穷区间aa f(x)dx这时也称反常积分f(x)dx收敛a如果上述极限不存在函数f(x)在无穷区间a)上的反常积分° f(x)dx就没有意义此时a称反常积分a f(x)dx发散类似地 设函数f(x)在区间( b 上连续 如果极限blim f(x)dx(a<b)a a存在则称此极限为函数f(x)在无穷区间(b 上的反常积分记作b f(x)dx即bbf (x)dx lim f (x)dxa a这时也称反常积分b f(x)dx收敛 如果上述极限不存在则称反常积分b f(x)dx发散设函数f(x)在区间()上连续如果反常积分0f

36、(x)dx 和 0 f (x)dx都收敛则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间()上的反常积分记作f (x)dx 即0f(x)dx f(x)dx o f(x)dxlima0ba f (x)dx Jim 0 f (x)dx这时也称反常积分 f (x)dx收敛如果上式右端有一个反常积分发散定义1 连续函数f(x)在区间aa则称反常积分f (x)dx发散)上的反常积分定义为bf (x)dx lim f (x)dxb a在反常积分的定义式中如果极限存在则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散类似地 连续函数f(x)在区间(b上和在区间()上的反常积分定义为bbf (x)dx lim a f (

37、x)dxf (x)dx lim 0f (x)dx lim :f(x)dxa ab 0反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则bf (x)dx lim a f (x)dx lim F(x)a ab ablim F(b) F(a) lim F(x) F(a) bx可采用如下简记形式a f(x)dx F(x)alim F(x) F(a)ax类似地 b f (x)dx F(x)b F(b) lim F(x) xf(x)dx F(x)lim F(x) lim F(x) xx例1计算反常积分fdx1 x2解-2 dx arctan x1 x2lim arctanx lim arctanx xx例2计

38、算反常积分0 teptdt （p是常数 且p>0）解。te ptdt te ptdt0 -1 tde pt00p1te pt 1 e ptdt0pp1te pt 4e pt0pp1 pt 1 c pt 11lim te2 e 22t p p2 p2p2提木 lim te pt lim - lim5f 0 tt ep t pep例3讨论反常积分工dx（a>0）的敛散性a xp解当 p 1 时 4dx 1dx ln xa a xpa x当 p<1 时 aJ?1 paa xp1 p当 p>1 时-1dx -x1 pa'a1二a xp1 pp 1因此当p>1时此反常积分收敛其值为当p 1时此反常积分发散p 二、无界函数的反常积分定义2设函数f(x)在区间(a b上连续 而在点a的右邻域内无界取0如果极限blim . f (x)dxt a t存在则称此极限为函数f(x)在(a b上的反常积分仍然记作：f(x)dx即bbf (x)dx lim f (x)dxat a t这时也称反常积分bf (x)dx收敛a如果上述极限不存在就称反常积分:f(x)dx