三角形的概念及基本性质-教案

1、三角形相关的概念和性质适用学科初中数学适用年级九年级知识点1、三角形中几条重要的线段2、二角形的一般性质3、三角形边角关系、性质的应用教学目标理解掌握三角形的相关的概念；能够利用三角形相关的概念解决一些实际问题教学重点三角形相关知识的点的灵活掌握教学难点三角形的边角关系、性质的灵活应用教学过程一、复习预习在rr不等边三角形+二角形，等腰三角形r底和腰不等的等腰三命形山L等边三角形口角形按角分类如下”三角形】直角三角旅斜三角形r锐角三角形”I钝角三甭形d二、知识讲解考点/易错点11 .三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2 .三角形中的几条重要线段：(1

2、)三角形的角平分线(三条角平分线的交点叫做内心)(2)三角形的中线(三条中线的交点叫重心)(3)三角形的高(三条高线的交点叫垂心)3.三角形的主要性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；(2)三角形的内角之和等于 180°(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和;(4)三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；(5)三角形具有稳定性。考点/易错点2三角形边角关系、性质的应用三、例题精析【例题11【题干】 锐角三角形ABC中，/ C= 2/B,则/ B的范围是()A.10&< Z B <2

3、0°B. 20°< Z B <30°C.30°< ZB <45°D. 45°< Z B < 60°【答案】C【解析】因为&ABC为锐角三角形，所以0"</B<90 =又/ C= 2/B,0°<2ZB <90°，0 / B <45。又A为锐角，二/A = 180°(/B + /C)为锐角, / B + /C >90口, 3/ B>90°,即 Z B>30°二 302 /B &l

4、t;45s,故选择 a【例题2】【题干】已知三角形的一个外角等于160。，另两个外角的比为 2:3,则这个三角形的形状是（）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】C【解析】由于三角形的外角和等于360° ,其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：三角形的一个外角等于160。另两个外角的和等于 200°设这两个外角的度数为 2x, 3x2x 3x = 200解得：x =402x=80, 3x=120与80°相邻的内角为100°，这个三角形为钝角三角形【

5、例题3】1 1 一【题干】如图，已知：在 ABC中，ABE AC,求证：/C</B。2 2A E J / / J Z / /F BC【答案】证明：作/ ABC的角平分线 BE交AC于E,过点A作AF/BE交CB的延长线于 F,.AF/BE,./F = /EBC, / FAB = /ABE又 BE平分/ ABC 1 / EBC= / ABE .F= / FARAB= BFX / AB+ FB> AF,即 2AB>AF1 A又 ABE AC,ACaAF21 ，:.ZF > Z C,又./ F = / ABC2“1 ,:.ZC <- ZB21【解析】欲证ZC <-

6、ZB ,可作/ ABC的平分线BE交AC于E,只要证/ C < / EBC即 2一 一一一 1 .可。为与题设 ABE AC联系，又作 AF/BE交CB的延长线于 F。显然/ EBC= / F,只要 2证/ C < / F即可。由AF < 2AB < AC可得证。【例题4】【题干】已知：如图，在 &ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证:(1) / BEO / BAC;(2) AB+AC> BE+ EGA【答案】 证明：(1)./BED> &ABE的一个外角,: / BED > / BAE同理，/DEC >/CAE

7、/ BED + / DEC > / BAE + / CAE即 / BEC > / BAC(2)延长BE交AC于F点AB AF BE EF又 EF FC ECAB AF EF FC BE EF EC即 AB AC BE EC【解析】在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。【例题5】【题干】 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45。已知：如图，在 AABC 中，NC = 90。/EAB、/ABD是 AABC的外角，AF、BF 分别平分/ EAB及/ABD）求证：/ AFB= 45&#

8、176;CAB/ / ED / /F【答案】证明：EAB= / ABO / C/ ABD= / CAB+ / CZ ABO / C+ Z CAB= 180° , / C= 90°/EAB /ABD =/ABC /C /CAB ZC -180 90=270.AR BF分另1J平分/ EAB及/ABD1 1/FAB /FBA =1 /EAB /ABD =1270 =1352 2在 AABF 中，/AFB = 1800-（/FAB+ /FBA） = 45口【解析】 欲证/AFB = 45",须证/FAB + /FBA = 135。1 .AR BF分另1J平分/ EAB及

9、/ABD2 .要转证/ EAB Z ABD= 270°又/C= 90° ,三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，问题得证四、课堂运用【基础】1.已知：三角形的三边长为 3, 8, 1+2X,求x的取值范围。分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。解：.三边长分别为 3, 8, 1+2X,由三边关系定理得：5：1 2x 114 :二 2x ：102 ： x : 52 .已知：&ABC中，AB = BC, D点在BC的延长线上，使 AD = BC , /BCA = a ,/CAD = P ,求”和3间的关系为？A ;，JAD解：丫

10、AB=BC,二/BCA = NBAC =口又：AD = BC,- AD = AB,/D =NB,又 /BCA=/D+/B，D = 口 - P,二 / B =支 - P根据三角形内角和，得：2：二 -180.3： - - - 1803 .如图，&ABC中，/ABC、/ACB的平分线交于P点，/BPC = 134口，则/BAC =A. 68°B. 80°C. 88°D. 46Az/ PBC答案:C解析：. BPC =134/PBC PCB=46又. BR CP为/曰/ C的平分线，1 ,1 , /PBC=/ABC, /PCB=/ACB 22， ，一 1 ， 一

11、 ，一工 / PBC +/ PCB .(/ ABC +/ ACB )二 / ABC +/ ACB =2 X 46 °=92 °二 / BAC =180。) ABC / ACB =88 °4.已知：如图，AD是&ABC的BC边上高，AE平分/BAC。,、f 1八求证：EAD = 2 C - B证明：/ EAD = / EAC / CAD1 ,. AE平分/ BAC : /EAC = /BAC2又 ADL BC,二 /ADC =90:./ CAD =90J/C又丁 ZBAC=180°-ZB-ZC1 , _ _ 一一: / EAD = / BAC /

12、CAD21，_， 一，一=-(180S-Z B - Z C)-(90°-Z C)11/C/B1- 一二 ZEAD=-(ZC-ZB)2【巩固】1.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。证明：如图，设 AABC的/ BAC / ABC的外角平分线交于点 DD二一 一-4 A丁 / FAB = / ABC 十 / ACB/ EBA = / BAC + / ACB: / DAB + / DBA1=/ FAB +/ EBA21 ，=/ ABC +Z BAC +/ACB2则 /ADB =180y/DAB + / DBA )，一 ， 一 1 , _一 一一 ，= (/ABC +

13、 /ACB+ /BAC /ABC + / BAC / ACB21 , 一 一一= -(ZABC + ZBAC)1 1又 1/ACG='/ABC + /BAC2 23 1 , 一二 /ADB = /ACG 。22 .在ABC43, AC= 5,中线AD= 7,则AB边的取值范围是（ 分析： 在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全A.1<AB< 29C.5<AB< 19B.4D.9v A氏 24< AB< 19等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法答案:D3 .如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于

14、点0,则/ AOC+/D0B= L'答案：180解析：本题考查了角度的计算问题，因为本题中/ A0C始终在变化，因此可以采 用“设而不求”的解题技巧进行求解解：设/A0D=a, / AOC=90° +a , / BOD=90° -a ,/ DAC=63 ° - Z 1=63 ° -39 ° =24 ° , / ADC=Z 3=78 ° .解析：由三角形的内角和是180 ° ,和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求/ 1=39 ° , / 3=78 ° ,所以/ DAC=24

15、 ° , / ADC=Z 3=78【拔高】1. 如图，已知 ABC43, / ABG= 45° , / ACB= 61 ° ,延长 BC至 E,使 CE= AC 延长 CB至D,使DB= AR求/ DAE勺度数.分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出/D+ /E的度数，即可求得/ DAE勺度数.'；斯=碑,A=CE工3 "ABC* ZE= - ACB-D1：,/"NE= 9 (ZABC+ZACB) =53 °BCE二/MF=lg0°一 (/什/£) =127°2. 如图，已知P是

16、等边 ABCW BC边上任意一点，过P点分别作 AB AC的垂线PE PD,垂足为E、D.问：AED勺周长与四边形 EBCD勺周长之间的关系？分析：(1) DE是AAED四边形EBCD勺公共边，只须证明 AN AE= BE+ BO CD(2)既有等边三角形的条件，就有 60的角可以利用；又有垂线，可造成含30。角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明答案：过 P作 PM/ AC, PN/ AB / PMBW A=Z B, / PNC=/ A=Z C.PM=PB PN=PC . PE AB, PD± AC .BE=EM CD=DN 四边形AMPN；平行四边形，.AN=PI

17、M AM=PN三角形 AED的周 =AE+ED+AD=AM+ME+ED+DN+AN=PC+BE+ED+DC+PB=BE+BC+CD+ED=i形 EBCD勺周长3 .观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白 色三角形有 个第1个短个箱个答案：121解析：解决此题关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及与第一个图形 的相互联系，探寻其规律.解：第1个大三角形中白色三角形有1个；第2个大三角形中白色三角形有（1+3） 个；第3个大三角形中白色三角形有（1+3+3 2）个；那么第5个大三角形中白色 三角形有（ 1+3+3 2+33+34） =121 个.4 .如图，有两个

18、长度相同的滑梯（即BO EF）,左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等，贝U/ ABO / DFE=.分析：/ABC与/ DFE分布在两个直角三角形中，？若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解.BA D解答：在 Rt ABCn RtDEF中，BC= EF, AC= DF,. .AB黄 DEF/ ABC= / DEF/ABO Z DFE= 90° ,因此填 90° .课程小结知识点1:三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于180° ;三角形三个外角的和等于360° ;三角形

19、一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点2:三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。课后作业【基础】1.如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是()A.20 米 B.15 米 C.10 米 D.5

20、米答案:D 解析：根据三角形的三边关系，第三边的长一定已知的两边的差，而两边的 和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可. 15-10 v ABV 10+15 , 5V ABv 25 .所以不可能是5米.故选D.2.如图，在 Rt ABC中，/ B=90 ° , ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D,交BC于点E.已知/BAE=10° ,则/C的度数为()A. 30 ° B.40 ° C. 50 ° D. 60 °乙"答案:B解析：利用线段的垂直平分线的性质计算.通过已知条件由/ B=90。，/ BAE=10? / AEB

21、, / AEB=Z EAC+Z C=2 / C. . ED 是 AC 的 垂直平 分线，AE=CE.1. / EAC= / C,又 : / B=90 ° , / BAE=10 ° , / AEB=80 ° ,又/ AEB=Z EAC+Z C=2 / C,/ C=40 ° .3. (1)已知：等腰三角形的一边长为12,另一边长为5,求第三边长。(2)已知：等腰三角形中一内角为80。，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：(1)分两种情况：若腰长为12,底边长为5,则第三边长为12。若腰长为5,底边长为12,

22、则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题因此第三边长为12。（2）分两种情况：若顶角为80。，则另两个内角均为底角分别是50。、50。若底角为80° ,则另两个内角分别是80°、20°。因此这个三角形的另外两个内角分别是50。、50。或80。、20。1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）答案:C解析：因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所成的图形解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所成的图形.故选：C.解析：.三角形的外心是任

23、意两边垂直平分线的交点，线段垂直平分线上的点到 线段两个端点的距离相等，到三个顶点距离相等.故选A.3.已知ABC43, Z ACB= 90o, CHL AB, HEEL BC HD AG求证： HEFA EHC分析：从已知条件中可以获得四边形CEH偎矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边 EHH根据矩形的性质可知 EF= CH HF= EC要证明三角形相似，从条件中得/ FHE= Z CHB= 90o,由全等三角形可知，/ HEF= / HCB 这样就可以证明两个三角形相似。证明： HEL BC HF1 AC. Z CEH=ZCFH= 90o。又. / ACB= 90o, 四边形 CEHF1矩形。 .EF= CH HF= EC Z FHE= 90o。又 HE= EH HFEA EHC【拔高】1.如图，在 ABC中，/ A= a , / ABC的平分线与/ ACD的平分线交于点 Ai得/Ai, / AiBC的平分线与/ AiCD的平分线交于点A2,得/人，/A2008BC的平分 线与/ A2008CD的平分线交于点A2009 ,得/ A2009 ,则/4009 =a答案：一解析：读懂题意，根据角平分线的定义找规律，按规律作答.利用外角的平分线 表示/ ACAi ,再根据角平分线和三角形内角和定理求出/ Ai等于/ A的一半，同 理，可以