九年级数学上册专题突破讲练巧添辅助线证相似三角形试题新版青岛版

1、巧添辅助线证相似三角形咨fill重点难点易错点点点精通】、添加平行线构造“ A”、“8”型1.定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三 角形相似。(1)定理的基本图形:CFBC FA注意：(1)选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系；(2) 一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边；(3)通过线段比例之间的等量代换求解。2.方法归纳：(1)遇燕尾，作平行，构造“ A字“ 8”字一般行。(2)引平行线应注意以下几点：选点：一般选已知(或求证)中线段的比的前项或后项，以同一直线的线段的端点作为引平 行线的点。引平行线时，不破坏已知条件中

2、的数量关系，尽量使较多已知线段、求证线段成比例。、作垂线构造相似直角三角形1 .基本图形2 .所用知识点(1)等量代换一一等角的余角相等。(2)相似三角形对应高线的比等于相似比。注意：(1)相似三角形中对应边要找准。(2)利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。真题难题名校题题餐经典】例题 平行四边形 ABC用，CH AE CHAF,求证：AB AE+AD AF = AC2。解析：作 BML AC于点 M,可证 ABMb ACE 则 AB?AE= AM?AC 易得 BCMb CAF 则 BC?AF = CMAC,故得出结论。答案：作 BML AC于点 M,则/ AMB= Z AEC

3、= 90 , / BAM= / CAE ABMh ACEAE?AE= AMAC/ BCIM= / CAF 易彳# BCMb CAFBC?AF= CMIACAB?AE+BC?AF = AM ?AC+CM ?AC=AC(AM +CM 户 AC2。. AD= BC2AB AE + AD AF = AC。点拨：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，注意辅助线的添加。:拓展总结，提升黄分必读【总结提高】本节所讲授内容中，主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段、角度之间的关系。需注意以下四点：(1)添加辅助线的原则；(2)构造出的基本模型；(3)相似三角形中的对应关系。(4)复杂问题中等

4、量代换的灵活应用。例题用一根手指顶住一个平面图形内的某点，如果平面图形能保持平衡，那么这个点叫这个平面图形的重心，平行四边形的重心是对角线的交点，三角形的重心是三条中线的交点。请你用下 图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为1: 2,即在 ABC中，BE CD是两条中线，它们交于 G,求证：DG CG= EG BG= 1: 2。1解析：连接AG交DE于点H,延长AG交BC于点F。根据三角形中位线定理得到 DE BC ,21 一一. 则HE = BF。通过 HEGo FBG勺对应边成比例证得结论。2答案：如图，连接 AG交DE于点H,延长AG交BC于点F。点6是4 ABC勺重心，.点F

5、是BC的中点。BF= FG.D E是AB AC的中点，DE ABC勺中位线，1DE/ BC DE = BC，21 _HE/ BF, HE = BF2. .HE序 FBGGE HE 1-=,即 EG BG= 1 ： 2GB BF 2同理 DG CG= 1 : 2。DG: CG =EG BG =t2。点拨：本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。本定理要求学生能记住，并熟练应用。（答题时间：30分钟）、选择题DE EC= 2： 3,连接 AE BE BD* 1.（绥化）如图,在平行四边形 ABC由，E是CD上的一点,且 AE BD父于点

6、 F,则 SDEF - S EBF - S.ABFD ED. 4 : 10: 25A. 2 : 5: 23 B. 4: 9: 24 C. 2: 3: 51* *2.如图，在矩形ABC由，E、F分别是边AD BC的中点，点G H在DCi上，且GH =DC 。3若AB= 15, BO 16,则图中阴影部分的面积是（CC. 80A. 4 0B. 60D. 70* *3.如图，四边形 ABC日口四边形 ACEDTB是平行四边形，点 R为DE的中点，BR分别交AC CD于点 P、Q 求 BP PQ QR=(A.3 : 1: 2C. 6 : 5: 4B.5 : 3: 4D.4 : 1: 2* *4.如图，

7、在 ABC43, D为 AC上一点，CD= 2DA / BAC= 45 , / BDC= 60 , CEL BD于 E, 连接 AE 过 E作 EF/ C改 BC于 Fo 下列结论： BE= EC; BC= AC?DC &bec： &bea= 2： 1;A. 2个 EF =/AD ；D. 5个二、填空题* *5.（武清区一模）如图，RtAABC,/ BAC= 90,AB= 3,AC= 4,点P为BC上任意一点,连接PA以PA PC为邻边作平彳T四边形 PAQC连接PQ则PQ的最小值为 。DEL AD交AB于点E, M为AE的*6.如图，RtAABC,中点，BFL BC交CM的延长线于点F, B

8、D= 4, CD= 3。下列结论：/ AED= /ADCDEDAAC?BE= 12;3 BF= 4AC其中结论正确的是D*7.（温州一模）如图，在 RtAABC, Z ABC= 90。，以点 C为圆心作弧，分别交 ACCB的延长线于点口F,连结DF,交AB于点E,已知S作ef=9,Sidf =40, tan/DFC= 2,则BC,S.ABCF B*8.（嘉兴）如图，在 RtABC中，Z ABC= 90 , BA= BC点D是AB的中点，连接 CD过点B 作BGCD分另1J交CDCA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G连接DF给出以卜四个结论：AG FG =；点AB FB 工FGE的

9、中点；AF = AB ；S&BC 5 s而DF ,八中正3确结论的序号是GD、解答题9.如图，AB为半圆的直径， D为AB上一点，分别在半圆上取点 E、F,使EA= DA FB= DB过AC= 4, BC= 3。(1)(2)如图如图1,2,四边形DEFG;ABC勺内接正方形，求正方形的边长；三角形内并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于4ABC求正方形的D作AB的垂线，交半圆于 C求证：CD平分EF。*10.在 ABC中，/ C= 90 ,边长;(3)如图3,三角形内并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于4ABC求正方形的边长;如图4,三角形内并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形

10、内接于4ABC求正方形的边长。GG图二*11.(丰台区二模)阅读下列材料:已知：如图 1,在 RtAABC, / C= 90 , AC= 4, BC= 3, P为 AC边上的一动点，以 PB PA为边构造平行四边形在解决这个问题时， 小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识:端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短。进而，小明构造出了如图 的最小值为3。参考小明的做法解决以下问题：2的辅助线，并求得 PQ .一.、一. AP(1)继续完成阅读材料中的问题：当PQ勺长度最小时， 4PAC（2）如图3,延长PA到点E,使AE nPA （n为大于0的常数）。以PE PB为边作平

11、行四边形PBQE ,那么对角线PQ的最小值为（3）如图4,如果P为AB边上的一动点，延长 PAiU点E,使AE= nPA（ n为大于0的常数），以PE, PC为边作平行四边形PCQE ,那么对角线PQ的最小值为AP,此时也*12.若已知：如图， ABL BD, CDL BD垂足分别为 B、D, AD和BC相交于点E, EF BD垂足，L , ,1为F,我们可以证明AB CD EF成立（不要求考生证明）。若将图中的垂线改为斜交，如图，AB/ CD AD BC相交于点E,过点E作EF/ AB交BD于点F,AB CD EF(2)请找出S&bd，S/bed和S由DC间的关系式，并给出证明。CD则: 还

12、成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由;1. D 解析：根据平行四边形的性质求出DC= AB DC/ AB求出DE AB= 2： 5,根据相似三角形的判定推出 DEFo BAF求出 DEF和 ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出DEF和 EBF的面积比，即可求出答案。2. D解析：连接EF,过O作MNL DC于N,交EF于M求出四边形 DEFC1矩形，推出EF/ CD EF= CD= 15,证4 EOFoAGOHB出 亘 =OM=3,求出ONk 2, OMk 6,根据阴影部分的面积GH ON=S矩形DEFC S；AEFL及HOq分别求出，代入即可。3. A 解析：由四边形 A

13、BCDffi四边形 ACEDTB是平行四边形，可证得 PB RBE继而可得PC BCRE BE1PB= PR又由点R为DE的中点， PCQo4RDQ可得PQ PC PCQR DR RE继而可求得BP PQ QR的值。EBA4. C 解析：作AHL BD的延长线于H,作BGL CD于G,根据条件利用直角三角形的性质求出/ =/ EAB就可以得出 BE= AE由/ ECD= / EAD得出CE= AE可以得出是正确的，设参数利用 勾股定理就可以求出 BC的值，从而得出结论；根据等底的两三角形面积之比等于高之比，运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论;根据平行线的性质得出三角形相似,出EF与A

14、D的数量关系，而得出结论；根据三角函数值的定义建立直角三角形， 相应边的值就可以求出结论。125 . 一 解析：以PA PC为邻边作平彳r四边形 PAQC由平行四边形的性质可知根据性质求 用参数表示出5最短也就是POM短，三角形的性质即可求出6 . 解析:O是AC中点，PQ所以应该过 O作BC的垂线P Q然后卞!据4 P OCF口 ABCf似，利用相似 PQ的最小值。解题的关键是作高线构造各种相似三角形。/ AED= 90 -Z EAD / ADC= 90 -Z DAC / EAD= / DAC 易证 AD94ACD 彳# DE DA= DC： AC= 3: AC, AC不一定等于4。由证4

15、BEA BDA 得BE ED DC=,得BE AC = BD DC =12；连接DM可证 BD AD ACDC= 4: 3;易证 FMBACMA得比例线段求解。98. . . 一 一7 . 7, 解析：由在 RtAABO, / ABC= 90 , tan Z DFC= 2,DM/ BF/ AC 彳# FM MC= BD可得 BE= 2BF,又由 $ bef= 9,3即可求得BF与BE的长，然后过点C作CHL DF于点H,设DH= h,可求得h的值，继而由勾股定理 求得BC的长；首先过点 D作DML BC于点M利用三角形白面积求得 DM勺长，然后由相似三角形 的对应边成比例，求得 AB的长，继而

16、求得答案。8 . 解析：根据题意首先易证得 AF。4CFB根据相似三角形的对应边成比例与BA= BC继而证得AG FGAB FB正确；由点D是AB的中点，易证得BC= 2BD由等角的余角相等，可得/ DBE=/ BCD即可得AG =-AB ,继而可得FG =BF ；22r 1八,。,即可得AF = -AC ,又由等腰直角三角形3的性质，可得AC =J2AB，即可求得AF =Y2AB；3则可得SaBC =6S bDF 09 .证明：如图，分.别过点E、F作AB的垂线，G H为垂足，连FA ER易知：DB2 =FB2 =AB?HB, AD2 = AE2 = AG ?AB。两式相减得：DB2 -AD

17、2 =AB?（HB AG ）,即（DB AD ）?AB = AB? HB AG ）。于是：DBAD = HBAG,或 DB HB = AD AG。DH= GD 显然，EG/ CD/ FH 故 CD分 EF。六 G D OH10.解：(1)在图1中作CNL AB,交GF于点M交AB于点N在 RtAABC, . AC= 4, BC= 3,-12AB= 5, CN=,5GF/ AB. ACGF CABCM GFCN AB设正方形边长为X,12- -x51260 一；37CGBDD交AB于点N。图丁 E5(2)在图2中作CNLAB,交G叶点M. GFI AB. /CG际 CABCM GFCN AB 设

18、每个正方形边长为12 xX，则-5-2x60x=；49(3)在图3中作CNLAB,交G叶点M交AB于点N,. GIF/ AR. /CG际 CABCM GF=CNAB6012n 255图212 V -X 3x设每个正方形的边长为 x,则5 =3-,125560 x=；6112(4)设每个正方形的边长为X,同理得到：下二=2，则x12511.解：(1)如图2, .四边形APBO平行四边形，. AP/ BQ A鼻 BQ. QPL AC /ACB= 90 , ./APQ= / C= 90 。PQ/ BC. PC/ BQ PQ/ BC /C= 90 , 四边形PCB偎矩形。. QB= PC. AP= P

19、C,AP 1 oAC 2(2)如图5,由题意可知：当 QPL ACM, PQM短。QPL AC /ACB= 90 , ./ APO / C= 90 。 p PQ/ BC四边形PBQ层平行四边形，EP/ BQ EP= BQ.PC/ BQ PQ/ BC /C= 90 , .四边形 PCBQ1矩形。.QB= PC PQ= BC= 3o EP= PCAE nPAPC=EP=EA + AP=nPA+AP=(n+1)AP。 . AC = AP PC = AP n 1 AP = n 2 AP。APAPoQQRL AB CHL AB,Z APO / AHC= 90 。PQ/ HC四边形PCQ层平行四边形，EP/ CQ EP= CQPH/ CQ PQ/ HC / PHC= 90 ,四边形PHCQ1矩形。QC= PH PQ= HCEP= PHAE= nP