132极大值与极小值

1、132极大值与极小值【明目标、知重点】1. 了解函数极值的概念，能从几何方面理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及函数在某一点取得极值的条件.3.掌握用导数的方法求函数的极值.填要点T己疑点1 极值的概念(1)极大值如图，函数y = f(x)在点x = b处的函数值f(b)比它在点x = b附近其他点的函数值都大， f '(b) = 0；而且在点x = b处附近的左侧f'( x)>0，右侧f '(x)<0，则把f ( b)叫做函数y =f (x)的极大值.极小值如图，函数y= f (x)在点x = a处的函数值f( a)比它在x= a附近其他点

2、的函数值都小，f'(a) =0;而且在点x= a处附近的左侧f '(x) v 0，右侧f '(x) > 0，则把f ( a)叫做函数y=f(x) 的极小值函数的极大值、极小值统称为函数的极值.2 极大值与导数的关系xX1左侧X1X1右侧f'(X)f' (x)>0f' (x) = 0f'(x)<0f(x)增(/)极大值f(X1)减()3.极小值与导数之间的关系XX2左侧X2X2右侧f'(X)f '(x)<0f' (x) = 0f'(x)>0f(x)减(/)极小值f(X2)增(/)

3、探要点究所然情境导学在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题. 但函数在定义域内某一点 附近，也存在着哪一点的函数值大， 哪一点的函数值小的问题， 如何利用导数的知识来判断 函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容.探究点一函数的极值与导数的关系 思考1如图，表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数 图象，观察发现，t = a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.函数h(t)在此点的导数是什么？此点附近的图象有什么特点？相应 地，导数的符号有什么变化规律?答 函数h(t)在点t = a处h'(a) = 0.在t = a的附近，当th

4、(t) =-4.9 t2+ 6.5 t + 10 的函数h(t)单调递增，h'(t)>0 ； 当t >a时，函数h( t)单调递减，h'(t)<0.思考2如图观察，函数y= f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y = f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y= f(x)的导数的符号O 8 h有什么规律？答 以d、e两点为例，函数 y = f (x)在点x= d处的函数值f (d)比它在点x = d附近其他点 的函数值都小，f'(d) = 0；在x = d的附近的左侧f '(x)<0 ,

5、右侧f'(x) >0.类似地，函 数y= f (x)在点x = e处的函数值f (e)比它在x= e附近其他点的函数值都大，f'( e) = 0； 在x= e附近的左侧f'(x)>0，右侧f '(x)<0.思考3函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的 吗？答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个.思考4若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明.答不一定.可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点.可导函数

6、f (x)在X0处取得极值的充要条件是 f '(X0)= 0且在X0两侧f '( X)的符号不同.例如，函数f (x) = x解方程 x 4= 0,得 X1 = 2, X2= 2.由 f '(x)>0，得 x< 2 或 x>2; 由 f '(x)<0，得2<x<2.当x变化时，f '( x) , f(x)的变化情况如下表:可导，且在x = 0处满足f' (0) = 0，但由于当x<0和x>0时均有f '(x)>0 , 所以x= 0不是函数f (x) = x3的极值点.1 3例1求函数f

7、 (x) = x 4x+ 4的极值.32解 f '( x) = x 4.x(m， 2)2(2,2)2(2 ,+)f '(X)+00+f(x)单调递增283单调递减43单调递增由表可知：当x =-2时，f(x)有极大值f( 2) =-3；4当x= 2时，f(x)有极小值f(2) = 3.反思与感悟 求可导函数f (x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f '(x)；求方程f '( X)= 0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检 测f'( x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f( x)在这

8、个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x)在这个根处无极值.3跟踪训练1 求函数f(x) = + 3ln x的极值.x3解 函数f (x) = -+ 3ln x的定义域为(0 ,+),x,333 x1f ( x)=二+=2.x x x令 f '(x) = 0，得 x= 1.当x变化时，f'(x)与f (x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1 , +m)f '(X)0+f(x)单调递减3单调递增因此，当x= 1时，f(x)有极小值f(1) = 3.探究点二已知函数极值求参数的值思考已知函数的极值，如何求函数解

9、析式中的参数？答解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程， 从而求出参数的值.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得 极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件.例2 已知f (x) = x3 + 3ax2+ bx+ a2在x= 1时有极值0，求常数a, b的值.解因为f (x)在x = 1时有极值0,2且 f '(x) = 3X + 6ax+ b,1 0,1 0,a= 2, 或心9.3 6a + b = 0, 即= + 3ab+a2=0.a= 1,解之得ib= 322当 a= 1, b= 3

10、时，f '(x) = 3x + 6x+ 3= 3(x + 1) >0, 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当 a= 2，b= 9 时，2f '(x) = 3x + 12x+ 9 = 3(x + 1)( x+ 3).当x ( 3, 1)时，f (x)为减函数；当x ( 1,+)时，f (x)为增函数，所以f(x)在x= 1时取得极小值，因此 a= 2, b= 9.0和极值两个条件列反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值处导数为方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点取得极值”的充要条件，所以利用待定系数法求解后,必须验证根

11、的合理性.2跟踪训练2 设当x= 1与x=2时，函数f (x) = aln x+ bx + x取得极值.(1)试确定常数a和b的值； 判断当x= 1, x= 2时函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由.2解(1) v f(x) = aln x + bx + x,af '(X)= a+ 2bx+1.由极值点的必要条件可知：f' (1) = f'=o,a a+ 2b+ 1 = 0 且+ 4b + 1 = 0,2 1解方程组得，a= 2, b= 1.3 62 1 2由(1)可知 f (x) = ?ln x x + x,21 2且函数f (x) =;In x+ x的定义域

12、是(0，+m),36,2 !1x 1 x2f(X)= 3x 3x+1 = 3x当 x (0,1)时，f ' (x) v 0; 当 x (1,2)时，f ' (x) > 0;当 x (2 ,+8)时，f ' ( x) v 0;所以，x= 1时函数f(X)取得极小值，x= 2时函数f (x)取得极大值.探究点三函数极值的综合应用3例 3 设函数 f (x) = x - 6x+ 5, x R(1)求函数f(x)的单调区间和极值； 若关于x的方程f (x) = a有三个不同的实根，求实数 a的取值范围.2 解 f'(x) = 3x -6，令 f '(x)

13、= 0,解得 Xi = J2, X2= 2.因为当 x> 2或 x<2时，f'( x) > 0;当2< x <2时，f '(x) < 0.所以，f (x)的单调递增区间为(一8,冬：2)和(/2,+8);单调递减区间为(一2,2).当x=2时，f (x)有极大值5+ 4 2;当x= , 2时,f (x)有极小值5 4 2. 由(1)的分析知y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.所以，当 5 4 .2<a< 5+ 4 2时，直线y= a与y= f (x)的图象有三个不同的交点， 即方程f (x) = a有三个不同的实根.反思与

14、感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法. 它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.跟踪训练3若函数f (x) = 2x3 6x + k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围.3解 f(x) = 2x 6x + k,则 f '( x) = 6x2 6,令 f '(x) = 0,得 x= 1 或 x= 1 ,可知f (x)在(1,1)上是单调减函数，f (x)在(8, 1)和(1 ,+8 )上是单调增函数.f (x)的极大值为f ( 1) = 4 + k,f (x)的极小值为f(1) = 4 + k.要使函数f(X)

15、只有一个零点，只需4+ k<0或一4 + k>0(如图所示)即 k< 4 或 k>4. k 的取值范围是(一8, 4) U (4 ,+).当堂测查疑缺1. “函数y = f(x)在一点的导数值为 0”是“函数y= f (x)在这点取得极值”的 条件.答案必要不充分解析 对于 f (x) = X3, f '(x) = 3x2, f ' (0) = 0,不能推出f(x)在x = 0处取极值，反之成立.2 下列函数存在极值的是 .(填序号)1 y = x : y= x ex; y= x3+ x2+ 2x 3; y= x3.x答案1解析 中f '( x)

16、=二，令f'( x) = 0无解，x中函数无极值. 中 f'( x) = 1 e ,令 f'( x) = 0 可得 x= 0.当 x<0 时，f'(x)>0，当 x>0时，f '(x)<0. y = f (x)在 x= 0 处取极大值，f(0) = 1.2 中 f'(x) = 3x + 2x+ 2, = 4 24= 20<0. y=f (x)无极值也无极值.323. 已知f (x) = x + ax + (a+ 6)x +1有极大值和极小值，则a的取值范围为 .答案 a< 3或a>6解析 f'(x

17、) = 3x + 2ax + (a + 6),因为f(x)既有极大值又有极小值，2那么= (2a) 4X3X( a+ 6)>0 ,解得a>6或a< 3.4. 直线y= a与函数y= x3 3x的图象有三个相异的交点，贝Ua的取值范围是 .答案 2<a<2解析 f '(x) = 3x2 3.令f '(x) = 0可以得到x = 1或x = 1,/f (1) = 2, f ( 1) = 2 , 2<a<2.呈重点、现规律1.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在x = xo处取得极值的充要条件是f '(xo)=0且在x= x

18、o两侧f '( X)符号相反.2禾U用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题40分钟课时作业一、基础过关1.函数y = f (x)的定义域为(a, b) , y = f'(x)的图象如图，则函数 y= f (x)在开区间(a, b) 内取得极小值的点有 个.答案 1解析 当满足f '(x) = 0的点，左侧f '(x)<0,右侧f'(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点.2下列关于函数的极值的说法正确的是 .(填序号) 导数值为0的点一定是函数的极值点； 函数的极小值一定小于它的极大值； 函数在定义域内

19、有一个极大值和一个极小值； 若f (x)在(a, b)内有极值，那么f (x)在(a, b)内不是单调函数.答案解析由极值的概念可知只有正确.323. 若a>0,b>0,且函数f(x) = 4x ax 2bx+ 2在x = 1处有极值，则ab的最大值为 答案 92解析 f '(x) = 12x 2ax 2b, f (x)在x= 1处有极值， f ' (1) = 12 2a 2b= 0, a+ b= 6.又 a>0, b>0,. a+ b>2 ab,.2 ,abw6, ab<9,当且仅当a= b= 3时等号成立， ab的最大值为9.4. 函数

20、y= x3 3x2 9x( 2<x<2)的极大值为 .答案 5解析 由 y '= 3x 6x 9 = 0,得 x= 1 或 x = 3,当 x< 1 或 x>3 时，y' >0.当1<x<3 时，y' <0.故当x= 1( 2<x<2)时，函数有极大值 5.5. 函数f(x) = ax3 + bx在x= 1处有极值2,贝U a、b的值分别为 、.答案 1 3解析 因为 f'(x) = 3ax2 + b,所以 f' (1) = 3a + b= 0.又x= 1时有极值2,所以a+ b= 2.由解得a

21、= 1, b= 3.6. 若函数y= x3 3ax+ a在(1,2)内有极小值，则实数 a的取值范围是 答案 1<a<4解析 y'= 3x2 3a,当a<0时，y'0恒成立,函数y= x3 3ax+ a为单调函数，不合题意，舍去；当 a>0 时，y '= 3x2 3a= 0? x=± a,不难分析,当1< ,a<2,即卩1<a<4时，函数y = x3 3ax + a在(1,2)内有极小值.7. 求下列函数的极值：(1) f(x) =x3 2x 12； f (x) = x2e x解(1)函数的定义域为(一a, 1)

22、 U (1 ,+).-f'(x)=2 x 1令 f '( x) = 0，得 X1 = 1, X2= 2.当x变化时，f '( X), f(x)的变化情况如下表:x(m, 1)1(1,1)1(1,2)2(2 +m ),f'(X)+0一+0+f(x)单调递增3一 8单调减递单调递增3单调递增故当x= 1时，函数有极大值,3并且极大值为f ( 1) = ?无极小值.函数的定义域为R,f'( x) = 2xe 7 + x2x 2x=2xe x e=x(2 x)e ,令 f '( x) = 0，得 x= 0 或 x= 2.当x变化时，f '( x)

23、 , f(x)的变化情况如下表:X(m, 0)0(0,2)2(2 ,+)f'(X)一0+0一f(x)单调递减0单调递增4e 2单调递减由上表可以看出，当 x= 0时，函数有极小值，且为f(0) = 0;当x= 2时，函数有极大值，且为f(2) = 4e2.、能力提升&设函数f (x)的定义域为R,当x = Xo(XoM 0)时f (x)取得极大值，以下结论一定正确的是.(填序号) ? x R, f (x) < f (Xo); 当x= Xo时f ( x)取得极小值； 当x= Xo时一f (x)取得极小值； 当X= X0时一f ( X)取得极小值.答案解析 错，因为极大值未必

24、是最大值.错，因为函数y = f(x)与函数y = f( x)的图象关于y轴对称，当x= X0时f ( x)取得极大值.错，函数 y= f (x)与函数y = f (x)的 图象关于x轴对称，当x = X0时一f (x)取得极小值.对，函数 y= f (x)与y = f ( x)的 图象关于原点对称，当 x = Xo时y = f ( x)取得极小值.9.函数f (x) = x3 + 3ax2 + 3( a + 2)x + 3既有极大值又有极小值，则实数 a的取值范围是答案(R, 1) U (2 ,+)2 2 2解析 / f '(x) = 3x + 6ax+ 3(a+ 2)，令 3x +

25、 6ax+ 3( a+ 2) = 0，即 x + 2ax+ a+ 2= 0,函数f (x)有极大值和极小值，方程x2 + 2ax+ a+ 2= 0有两个不相等的实数根，即=210.如果函数y= f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断:函数y = f (x)在区间单调递增;-2，函数y = f(x)在区间3内单调递减;4a 4a 8>0,解得 a>2 或 av 1.函数y = f(x)在区间(4,5)内单调递增; 当x= 2时，函数y = f(x)有极小值;1 当x=-时，函数y=f (x)有极大值.则上述判断正确的是 .(填序号)答案解析当 x ( a, 2)时，f'

26、( x)<0 ,所以f (x)在(一a, 2)上为减函数，同理f (x)在(2,4)上为减函数，在(一2,2)上是增函数，在(4 ,+a)上为增函数，所以可排除和，可选择.由于函数在x = 2的左侧递增，右侧递减，所以当x = 2时，函数有极大值；1而在x=的左右两侧，函数的导数都是正数，一 1 一故函数在x= 2的左右两侧均为增函数，1所以x= 2时函数无极值排除和.,3122. .511.已知函数f (x) = x + mx 2mx 4( m为常数，且 m>0)有极大值一，求m的值.2 2解 / f '(x) = 3x + mx- 2m= (x + n)(3 x 2n)

27、,2令 f' ( x) = 0，贝U x= m或 x= 3m3当x变化时，f '( x), f(x)的变化情况如下表:x(a, mm- m |m)23m护+a)f '(X)+00+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增31335/. f (x)极大值=f ( m = m+ m+ 2m 4= 3,m= 1.12.设 a 为实数，函数 f (x) = x3 x2 x + a.(1)求f (x)的极值； 当a在什么范围内取值时，曲线y = f (x)与x轴仅有一个交点?2解 f '(x) = 3x 2x 1.1令 f '(x) = 0，贝y x= 3或

28、x = 1.当x变化时，f '( x), f(x)的变化情况如下表:x1(8 3),1一 31(3, 1)1(1 ,+7f '(X)+00+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增15 f (x)的极大值是 f ( 3) = 27 + a,极小值是f(1) = a 1.(2)函数 f (x) = x x x+ a2=(x 1) (x+1) + a 1,由此可知，x取足够大的正数时，有 f(x)>0 ,x取足够小的负数时，有 f (x)<0 ,曲线y = f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知 f(x)极大值=f( 3) = 27 + a,f (x)极小值=f (1) = a 1.t曲线y = f (x)与x轴