面角求法答案

1、二面角的求法求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽 然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不 变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求” 其中“作、证”是关键也是难点,“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事 1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源 出定义这个“根”！ C1D11O1图1例1 正方体 AB

2、CD-A 1B1C1D1中，求二面角 A-BD-C !的大小为 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为 二面角C-BD-C 1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力易知/ COC1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan/ COC1, 2，故所求二面角的大小为二-arctan2 .将题目略作变化，二面角 A1-BD-C 1的大小为 在图1中，/ A1OC1是二面角A1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cos112/A1C1= ,那么所求二面角的

3、大小为arccos.更有趣的是，还可求得tan/OQC1=332所以二面角 A1-BD-C 1的为大小为2arcta n.又 tan / CQO1=2 ，所以二面角A1-BD-C 1的大小又可为理-2arctan .、2 .其实，三个值都是相等的，那么arccos与:-2arctan、2 及图 2(2)AB Q P C2arctan 就在本质上取得了沟通.2例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形 ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足 AE :EB=CF : FA=CP : BP=1 : 2.如图 2(2),将厶 AEF 折起到厶A1EF的位置，使二面角 A1-EF

4、-B成直二面角，连图2(1)接 A1B、A1P.(I )与(n )略；(川)求二面角B-A 1P-F的大小(用反三角函数值表示).分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性 若取BP的中点Q,连接EQ,则在正三角形 ABC中，很容 易证得 BEQ PEQBA PEFBA AEF，那么在图 2(2)中，有 AiQ=AiF作 FM 丄 AiP 于 M，连接 QH、QF , 则易得 AiQPBA AiFP , QMP FMP，所以/ PMQ= / PMF=90,/ QMF 为二面角 B-A 1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展设正三角

5、形的边长为 3，依次可求得AiP= . 5 , QM=FM=仝 ,在厶QMF中，由余弦定理得cos/ QMF= 7 ,故二面角B-A iP-F58的大小为二-arccos.82三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义图3此法最基本的一个模型为：如图3,设锐二面角-丨- 1，过面内一点P作PA丄于A，作AB丄I于B，连接PB，由三垂线定理得 PB 丄I，则/ PBA为二面角一丨一 1的平面角，故称此法为三垂线法最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图 3中的Rt PAB)中

6、求解对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例3(2006年陕西试题)如图4，平面丄平面1 ,： Q =I, A : , B ,点A在求A0(Ai图4直线I上的射影为 Ai，点B在I的射影为Bi，已知AB=2 , AAi=l , BBi=.d2, (I )略；(H )二面角Ai AB Bi的大小.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性作AiE丄AB i于ABi于E,则可证AiE丄平面ABiB.过E作EF丄AB交AB于F，连接AiF,则得AiF丄AB , a/ AiFE就是所求二面角的 平面角依次

7、可求得ABi=BiB= 2, AiB=、3 , AiE= ,2、3AiF=，则在2Rt AiEF 中,sin /AiFE=a1I6，故二面角 Ai AB Bi 的大小为 arcsin 6 AiF 33与图3中的RtA PAB比较，这里的 Rt AiEF就发生了 “变形”和“变位”，所以要有 应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备3 垂面法事实上，图i中的平面 COC图2(2)中的平面 QMF、图3中的平面 PAB、图4中的平 面AiFE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做法在某些情况下用这种方法可取得良好的效果例4空间的点P到二面角-丨- 1的面、1及棱I的距离

8、分别图5为4、3、2 39，求二面角：-的大小.3分析与略解：如图 5,分别作PA丄：.于A, PB丄于B，则易知I丄平面PAB，设I门平面PAB=C，连接PC,贝U I丄PC.八口出2J39冲2J35J3分别在 Rt PAC、Rt PBC 中，PC= , PA=4 , PB=3，贝U AC=, BC=一333 因为P、A、C、B四点共圆，且 PC为直径，设PC=2R，二面角-1 - 一：的大小为二.分别在 PAB、 ABC中，由余弦定理得2 2 2 2 2AB =AC +BC -2 AC BCcos 二=PA +PB -2 PA PBcos（二-）,1则可解得cosv=，二=120o, 二面

9、角 -l -的大小为1200.24 面积法1 ,设二面角 C-BD-C i的大小为二，则在Rt COC1 中，COC1O1-CO BD21C1O BD2，在某些情况下用此法特别方便例5如图6,平面外的 A1B1C1在内的射影是边长为 1的正三角形 ABC，且AA1=2 , BB1=3, CC1=4，求 A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA 1,则厶 A1B1C1 A1DE，可求得 A1B= 2 , A1C1= . 5 , B1C1=厂2，所以等腰 A1B1C1的面积为，又正 ABC的面积为一.44设所

10、求二面角的大小为V，贝y COST = ，所以C1图65变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯， 而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略5.1“无棱”二面角的求法严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态对于这样的问题，有两种处理办法：(1) 用面积法，见例5;(2) 找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”在例5中，延长C1B1和C1A1分别交CB和CA的延长线于 G、H，连GH.作CM丄GH于M，连C1M , C1M丄GH，则/ CMC1是所求二面角的平面角由平几知识得 CG=4 , CH

11、=2 ,则厶CGH的面积为2 3 ,，又 CGH的面积为 CH CM.2求的二面角为arcta n2.与V5arccos5是一致的又由余弦定理得 GH= 2 3，所以CM=2，则在 Rt CM6中，tan/CMC1=2，那么所图 7(1)OB图 7(2)则。仆丄AC，/ O1FE是所求二面角的平面角2 3.可依次求得 A01 = 2 3 ,AC= 13 , O1F=-% 13在原图中，面 AiBiCi与的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能 找到二面角的棱；而在另一些问题中， 知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了 .面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简

12、单化， 例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法.5.2平面图形折转后的二面角的求法例6(湖南试题)如图7(1)，已知ABCD是上、下底边长分别为 2和6,高为.、3的等腰梯形，将它沿对称轴 0。1折成直二面角，如图 7(2).(I )求证：AC 丄 BO1；(n)求二面角 o-ac-o 1的大小.分析与略解：(I )001是等腰梯 形ABCD的对称轴，它将等腰梯形 分成全等的两个直角梯形，随着折 转发生，它们相对的位置关系有了变化，但本身的大小和形状却没有任何变化，因此在图6(2)中，/ AOB是直二面角 A-O

13、O-B的平面角，AO丄BO , AO丄平面 OBCO1, OC是AC在平面OBCO1内 的射影.欲证AC丄BO1,则只要证 OC丄BO1,问题纳入平面 OBCO1之中.易知在 Rt OQB中，/ OO1B=60o，则/ OQC=30O，所以OC丄BO1，于是得证 若在图6(1)中也画出相关的线段，就看得 更清晰了 .(n )由(I )知BO1丄平面AOC，设BO1与OC的交点为E,作EF丄AC于F,连0仆,01E，则在Rt O1FE中，sin / 01 FE= 01 =，故所求的二面角的大小为01F4.13arcs in.4Rt O1FE被挤在一个十分狭窄的空间内，不容易分清谁是直角，谁是锐角

14、，可单独将 它画出来，以避免混淆.对于折转问题，将原来的平面图形与折转后的空间进行比照是很好的一种策略5.3求二面角转移法转化是重要的数学思想之一，当所求的二面角为钝角时，可先求其“补角”转移也是一种转化，就是将待求的二面角转移到另一个简单的环境之中，从而得解例7例2(2005年重庆高考试题)如图2,在三棱柱 ABC-A iBQi中，AB丄侧面BBiCiC,jjlE 为棱 CCi 上异于 C、Ci 的一点，EA 丄 EBi,已知 AB= . 2 , BBi=2, BC=1，/ BCCi=,3AA1求(I )略；(n )二面角A-EB i-A i的平面角的正切值分析与略解：(n )因为垂直关系集中在 E点的周围，所以过 E作EG/ AiBi，则 EG 丄面 BBiCiC, EG 丄 EBi, 又 AE 丄 EBi,所以/ AEG 为二面角A-EB i-A i的平面角这叫平行转移，给解题带来了极大的方便C D ECi图8又 EG / AB，故易得 tan/ AEG=tan / BAE=BEAB5.4有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题例8 二面角:-l-:的大小是变量 二(0)，点B、C在I2上，A、D分别在面、内，且AD丄BC, AD与面一：成角，若6 ABC的面积为定值 5,求厶BCD面积Q的最