八年级数学全等三角形复习题及答案

1、全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形：1. 全等图形：能够完全 的两个图形就是全等图形。2. 全等图形的性质：全等多边形的 、分别相等。3. 全等三角形： 三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形 的周长，面积也都相等。这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1 .一般三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“ ”）。（2

2、）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“ ”）。（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“ ”）。（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“ ”）。2 .直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“ "）.注意：两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。3 .性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的高对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等

3、。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形周长相等。（以上可以简称：全等三角形的对应元素相等 ）三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1 .确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2 .回顾三角形判定公理， 搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式 （顺序和对应关系从已知 推导出要证明的问题）。初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等

4、”的两个三角形不定全等。例 1.如图，A,F,E,B 四点共线， AC ICE , BD±DF , AE = BF , AC=BD。求证:MCF主田DE 。AD _L BE ,垂足为D 。求证:例2.如图，在 MBC中，BE是/ ABC的平分线,例上，3.BE如图，在 AABC 中，AB=BC, /ABC =90。=BF ,连接AE,EF和CF。求证:AE=CF。4.如图，AB/ CD, AD/ BC,求证:AB=CD 。EDF为AB延长线上一点，点 E在BCZ2 =/1 +/C 。5.如图，AP,CP分别是 MBC外角NMAC和/NCA的平分线，它们交于点 P。求证:BP为/MBN

5、的平分线。AC例6.如图，D是 MBC的边BC上的点，且CD=AB, /ADB=/BAD, AE是&ABD的中线。求证:AC =2AE。例 7.如图，在 MBC 中，ABaAC, N1=N2, AB - AC PB- PC同步练习一、选择题：1 .能使两个直角三角形全等的条件是（）A.两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2 .根据下列条件，能画出唯一 AABC的是（）A. AB=3, BC=4, pA=8B. AB=4, BC=3, /A = 30C. C = 60 ,B = 45； , AB = 4 D. C = 90； , AB = 63 .如图，已知

6、/1=/2, AC = AD ,增加下列条件： AB = AE ;BC = ED ;/C =2D ；NB =NE。其中能使AABC三 AED的条件有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个TXAD4 .如图，/1=/2, /C=ND, AC, BD交于E点，下列不正确的是（）B. CE - DED. AEAB是等腰三角形A. . DAE =，CBEC. ADEA不全等于ACBE5.如图，已知AB =CD ,A. 67；D/B = 23 ,则/D等于（）BC = AD , B.D.无法确定二、填空题:6.CD:如图，在 AABC 中，/C =90；,/ABC的平分线BD交AC于点D ,且AD

7、 2 : 3 AC =10cm ,则点D至U AB的距离等于 Acm ；7.如图，已知AB = DC , AD = BC , E, F是BD上的两点，且BE = DF ,若AEB =100" ADB =30 ,则 BCF =8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则/CBD的大小为9.如图，在等腰 RtAABC中,A BENC=90, AC = BC,AD平分£ BAC交BC于D ,DE _LAB于E,若AB =10,则ABDE的周长等于 10 .如图，点D,E,F,B在同一条直线上，ABCD, AE CF ,且AE = CF ,若BD =10, BF=2,

8、则 EF=；三、解答题：11 .如图，AABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM =CN , AM与BN 交于Q点。求ZAQN的度数。12 .如图，NACB=90；, AC=BC, D 为 AB 上一点，AE-LCD , BF _L CD ,交 CD 延长线于F点。求证：BF =CE。答案例1.思路分析：从结论AACF主ABDE入手，全等条件只有 AC=BD；由AE=BF两边 同时减去 EF得到AF = BE ,又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是 CF =DE ,也可以是NA=NB。由条件 AC_LCE, BD ±DF 可得/ACE =/BDF =90,再加

9、上 AE = BF , AC = BD , 可以证明 MCE = ABDF ,从而得到/A=/B。解答过程：v AC ICE, BD_L DF.ACE =. BDF =90；在 RtMCE 与 RtiBDF 中Jae =bfAC 二BDRt. ACE 三 Rt. BDF (HL)ZA-/B. AE =BF:,AE -EF =BF -EF ,即 AF =BE在AACF与iBDE中AF =BE,NA =. BAC =BD.ACF 三.BDE (SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论 入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手， 看可以得出什么结论。 再

10、对比“所需条件” 和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例2.思路分析：直接证明/2=/1+/C比较困难，我们可以间接证明，即找到 /以， 证明Z2=/a且/口 =/1 +ZC。也可以看成将 /2 “转移”至U Za。那么/口在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F ,则构造了 FBD可以通过证明三角形全等来证明/2=/DFB可以由三角形外角定理得/ DFB=Z 1 + ZCo解答过程：延长AD交BC于F在MBD与iFBD中Nabd zfbdBD =BD. AB

11、D 三 FBD (ASA .2 二，DFBI y1JZADB - - FDB =90又 丁 /DFB =/1 +ZC二 /2 =/1 +/C。解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段 AE为边的AABE绕点B顺时针旋转90到ACBF的位置，而线段 CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：丁 /ABC =90 , F为AB延长线上一点/ABC ZCBF =90；在MBE与ACBF中 AB =BC.1/ABC =/CBF BE =BF. ABE = . CB

12、F(SAS):.AE =CF。解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和 对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4.思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转 化为全等三角形的问题。解答过程：连接ACAB / CD , AD / BC, Z1 =N2 , N3 =/4在MBC与iCDA中 2l Z2 . AC =CA /4 Z3ABC 三. CDA(ASA), AB=CD 。BC解题后的

13、思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要证明" BP为/MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相 等来证明，故应过点 P向BM , BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“ AP,CP分别是 /MAC和/NCA的平分线”，也需要作出点 P到两外角两边的距离。解答过程：过P作PD _L BM于D , PE _L AC于E , PF _L BN于F，AP 平分/MAC, PD_LBM 于D, PE± ACT E PD =PE，CP 平分 NNCA, PE_LAC于E, PF_LBN于F PE =PF，PD=PE, PE = PFPD =

14、PF; PD =PF ,且 PD _LBM 于 D , PF ±BN 于 F:BP为ZMBN的平分线。解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例6.思路分析：要证明" AC=2AE”，不妨构造出一条等于 2AE的线段，然后证其等 于AC。因此，延长 AE至F ,使EF = AE。解答过程：延长 AE至点F ,使EF = AE ,连接 DF在MBE与AFDE中AE =FE.AEB /FEDBE =DE. ABE 三. ：FDE(SAS)B = . EDFZADF =/AD

15、B +NEDF , NADC =/BAD +ZB又. ADB =. BADADF = ADCJAB=DF, AB=CD DF =DC在MDF与MDC中AD = AD- 'ZADF ZADCDF =DCADF = ADC (SAS)AF =AC又一 AF =2AE工 AC =2AE。F解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等， 甚至可以证明两条直线平行。例7.思路分析：欲证ABACaPBPC ,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段 AB-ACo而构造AB-AC可以采用“截长”和“补短”

16、两种方法。解答过程：法一：在AB上截取AN =AC ,连接PN在mpn与mpc中AN =AC1 Z2ap 二 ap.apn 三.APC(SAS)pn 二pc.在 iBPN 中，pb-pn <bn, pb -pc <ab -ac ,即 ab- ac>pb- pg法二：延长AC至M ,使AM = AB ,连接PM在mbp与mmp中ab =am，/1 - . 2ap =apABP = amp (SAS)pb =pm在 ipcm 中，CM A pmpc: ab -ac>pb -pc 。BM解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段， 然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短” 。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题：1. A2. C3. B4. C5.C二、填空题：6. 47. 708. 90：9.1010. 6三、解答题：11 .解：: AABC为等边三角形, AB = BC ,