全国高中数学联赛试题分类汇编：4平面向量与解三角形

1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编平面向量与解三角形部分2019A 3、平面直角坐标系中，e是单位向量，向量 a满足a，e = 2,且a <5 a + te'对任意实数t恒成立，则a，的取值范围为 答案:解析：不妨设e =(1,0a=(x, y),由 ae = 2 得 x = 2, a E5a+te 等价于4+y2 <5J(2+t 2 +y2即 4 y2 1 5 y22y2019A 9、在AABC中，BC = a,CA =b,AB = c ,若b是a与c的等比中项，且 sinA是 sin(BA)与sin C的等差中项，求cosB的值.解析：因为b是a与c的等比

2、中项，故存在 q > 0 ,使得b = qa, c = q2a由 sin A是sin(B -A 户 sinC 的等差中项，得 2sin A =sin( B - A)+sinC = 2sin BcosA,结合正余弦定理得222a b c -a2bc一 22242. 一,即b十c - a =2ac ,将代入得 q =q+1,解得222 a c -b 所以cosB:2acq4 1 -q21.5-12q2q222019B 2.若F面向量 a= (2m,-1)与b=(2m1,2m*)垂直，其中 m为实数，则 a的模答案:,10解析:由条件得2m 2m -1-1 2 2m0,解得 2m =3,所以

3、a'=J32+ (-1 f =屈。2019B 3.设。，P10,n), cosjcos P 是方程 5x2 3x1 =0 的两根，则 sinu sin P 的值答案：7-531.解析： 由已知得 cosot +COsB =- , cosot cosp =_g ,从而(sin o( sin P 2 = (1 -cos2 a p -cos2 P ) 2=1 cos 二 cos :cosa +cosP 255252018A 7、设。为AABC的外心，若 AO =AB +2AC ,则sin/BAC的值为解析：取 AC 的中点 D ,则 OD _L AC。由 AO = AB + 2 AC 得 A

4、O AB = 2AC = BO ,1知OD _L BO ,且B, A在直线OD同侧。不妨设圆 O的半径为2 ,则AC = OB = 1,2cos. BOC =cos900. DOC )：=一sin. DOC = -蛇OC得BC = <10在AABC中，由正弦定理得sin N BAC =毁1.,在ABOC中，有余弦te理4、102R 42017A 7、在AABC中，M为边BC的中点，N是线段BM的中点，若JTNA = , AABC 的 3面积为超，则AM，AN的最小值为答案：,31解析：由条件知AM4(ab+ac)3- 1 AN = AB + AC ,则1AM AN =一8由 , 3 =

5、S.Abc3 AB+ AC2c+ 4AB AC !，sinA= 3AB m AC 得 ABAC =4所以AB AC =2 ,所以3ABi+ AC ±8J3,当且仅当 ABA AC也，AC二2父4/3时取等。则 AM AN =2 ,+ 4AB AC > V3 + 1 o2017B 4、在AABC中，若sinA=2sinC ,且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为答案:解析:定理得:a sin Ac由正弦te理知，一 =2,又b =ac,于是a:b: c = 2: J2:1 ,从而由余弦c sin CcosA = b2 C2 - a2 2bc(.2)2 12-22,22 J

6、2 12016A 9、(本题满分 16 分)在 AABC 中，已知 AB，AC + 2BA，BC = 3CA CB ,求sh C 的 最大值。解析:同理得，2 2 b c由数量积的定义及余弦定理知,BA *BC222a c -b.222b c - aAB AC = cb cosA =.22,22_ - a b -c CACB =.故已知条件化为22_222_222-a 2(a c -b ) =3(a b -c )即 a2 +2b2 =3c2. 8分由余弦定理及基本不等式，得2212_ 22 /2a2 b2(a2 2b2)a b -c3、/cosC =二32ab2上_2 a.b3b 6a 3b

7、6a2ab2所以 sin C = . 1 -cos2 C3.-7E.312分等号成立当且仅当a :b : c = J3:，6: v'5 .因此sin C的最大值是立.316分2016B 10、(本题满分20分)在AABC中, (1)将BC,CA, AB的长分别记为a,b,c, (2)求cosC的最小值.已知 AB AC 2BA BC = 3CA CB 证明：a2 +2b2 =3c2 ；解析:(1)由数量积的定义及余弦定理知,T 1AB AC = cbcosA 二222b c -a2同理得,T2,2,2a c -bBA BC :2T - a2 b2 -c2,CA CB=.故已知条件化为2

8、222222222222b +c -a +2(a +c -b )=3(a +b -c )即 a +2b =3c .(2)由余弦定理及基本不等式，得2.22八 a b -ccosC =2ab包上2 3b 6a；a2 b2 - a2 2b2.二32ab"a_b_ |3b 6a - 3 ,等号成立当且仅当2a :b: c="/3 :76: J5.因此cosC的取小值为 . 32015A 4、在矩形ABCD中，AB =2, AD =1,边DC上(包含D,C)的动点P与线段CB延 长线上(包含B)的动点Q满足dp| =|bq|，则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小 值为答案:

9、 解析：不妨设A ( 0,0 ) , B ( 2,0 ) , D ( 0 , l ) t.设 P 的坐标:(t，l)(其中 0MtM 2), 则由 |DP|3BQ| 得 Q 的坐标为(2, -t),故 PA=(_t, _1), PQ=(2t,t1),因此，r -212 3 3PA PQ =(t) (2 1)+(1) ,(t 1)=t t+1 = (t)+- >-.24 4.13当 t=2 时，(PAPQ)min =4.2005*2、空间四点 A, B,C, D 满足 |AB| = 3, Bc =7 JCD| =11 JDA = 9 ,则 AC Bd 的取值A.只有一个B.有二个 C.有四

10、个 D.有无穷多个答案：A2解析：注意到 32 +112 =1 130 = 72 +92，由于 AB + BC +CD + DA = 0,则 DA2 = DA =2_222'-2(AB bc CD) = AB bcCD 2(AB BC BC CD CD AB) = AB -BC2 CD2 2(BC2 AB BC BC CD CD AB) = AB2 - BC2 CD2 2(ABBc) (BC+Cd),即 2Ac bd = AD2 +BC2 -Ab2 -CD2 =0,二AC BD只有一个值为0,故选A。2014A 7、设等边三角形 ABC的内切圆半径为2,圆心为I。若点P满足|PI |=

11、1,则AAPB 与AAPC的面积之比最大值为答案:解析:3.52由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆 K上。设/ BAP =a ,在圆K上取一点Po ,使得a取到最大值a。,此时P。应落在/ IAC内，且是冗AP。与圆K的切点。由于0 <« <«o <-,故3S. APBS.Apc1AP *ABsin ：21 _ 一 二-AP *ACsin(-：)23sin 二 , sin 二。Jinsin(- - ： )sin(二一二。)sin( 二)sin(6 一1)其中，71 = ： 0 - - = IAP06,二IP 11由 /AP0I =一 知，sin8 = =

12、,于是 cot8 =、15 ,所以2AI 2r 4二. 1. 3s1n(6 F _ 产口 Wsin： cot，3153 3，.5sin(三-。)kos - Usini向-3.15- .32622根据、可知，当 P=P0时，S皿的最大值为 空出S.APC22014B 4、若果三角形 AABC的三个内角 A, B,C的余切值COt A,COt B,COt C依次成等差 数列，则角B的最大值是答案：- 3解析：iE x = cot A, y=cotB, z = cotC,它们成等差数列，即 2y = x + z，由于三 个内角和为冗，所以x,y,z中至多有一个小于等于0,这说明y±0 .另

13、一方面， A + B= nC,即xy 1 = z ,即xy + yz + zx = 1，联立 消去z得 x y222r, 3 r. 3. 二x 2yx十(12y)=0,有A=12y 4至0,得y至，即ct B至,解得BE一, 333当且仅当a = B=C =二时，角B取得最大值。 32013A 3、在 AABC 中，已知 sin A = 10sin B sin C , cosA = 10cosB cosC ,则 tan A 的 值为 答案：11 解析：由于 sin AcosA =10(sin Bsin CcosB cosC )=_10cos(B + C ) = 10cosA ,即 tan A

14、= 112013B1、已知锐角三角形的三条边长都是整数，其中两条边长分别为 3和4,则第三条边的边长为.答素3< 4解析：设第三条边长为c。因为是锐角三角形，所以C2 a 43 -33 >22,且 C2 <32+42 =52,即2<c<5,因为c是整数，得c = 3或42012A 2、设 MBC的内角A, B,C的对边分别为3 fa,b,c ,且满足 acosB-bcosA = - c ,则 5色nA的取值为tan B 答案：4解析：,tan A tan B由题设及余弦定理得22 -2,22c a-b b c - a a-b2ca2bc3 r 22=-c,即 a

15、-b5222a c -b sin AcosB _ a 2ac222sin BcosA , b c -a b2bc222ca-b=2222bc-a8 2 c=42 2c52012B 5、在AABC中，若AB AC = 7, AB - AC =6,则&ABC面积的最大值为 答案：12 解析：记BC的中点为M，则AM. = 1 (aB + AC )2，2,|2因为 AB+AC =ABAC +4AB AC =64,所以 AB + AC =8,从而 AM =4所以S&BC E1父|而卜|而| =12 (当且仅当AMLBC,即AC = AB = 5时，取等号)故所求面积最大值为12。另法：

16、由 AB，AC=7 得 bccosA = 7,由 AB ACI =6,平方可得 b2 +c2 =50,所以 S国bc = bcsin A = qb22221c - bccosA2 ,2b2 +c2149 = 12 （当且仅当b=c = 5时，等号成立），所以所求面积最大值为12。2008AB 6、设AABCD的内角A, B,C所对的边a, b,c成等比数列，则sin AcotC cos A , 的sin B cotC cosB取值范围为（A. (0,二)B.(T. 5 -1C.(2. 5 1)2D.，.二）答案：C解析：设a、b、sin AcotC cosAsin BcotC cosBc的公比

17、为q,则 b =aq,c =aqsin AcosC cosAsin C sin(A C)sin BcosC cosBsin C sin(B C)sin(瓦 一B)sin B b=-=q sin(霆 一 A)sin A a因此，只需求q的取值范围.因为a、b c成等比数列，最大边只能是a或c,因此a、b、c要构成三角形的三边，必须且只需2, a aq aq ,a+bAC且b + cAa.即有不等式组a q ? q '即aq aq2 aIq2 -q -1 : 0,2q q 1 0.F qq母或,5 1,2.5 1q :二因此所求的取值范围是（25 -1从而在二1<q<卫，22星

18、).22007*8、在 AABC 和 AAEF 若 AB AE +Ac AF = 2, 2答案：23中，B 是 EF 的中点，AB = EF=1, BC=6, CA=J33 则EF与BC的夹角的余弦值为解析：因为 AB AE+AC AF =2 ,所以 AB (AB + BE) + AC (AB + BF) = 22ABACAB BE AC AB AC BF =2一33 1 -36AB = V33 父 1 父l- = 1 , BE2 .33 12AB =1-BF ,所以 1 + BFAC AB)1 = 2BFcosBC =2。设 EF 与 BC 的夹角为 0,则有 | BF |，|BC | co

19、s 8 = 2 ,即 3cos9 = 2 ,29 = 一。3所以2006*1、已知 MBC ,若对任意 t W R, BA tBC > AC ,则 AABC一定为A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定答案：C解析：令/ABC=ot,过 A 作 AD _L BC 于 D。由 BA-tBC > AC推出BA'2 -2tBA'LBC+t2|BC'2> AC ,令 t =BABC ,、一、 .2，代入上式,BCBA2 -2,BA2cos2：cos2：2 2 1sin a > AC也即BA sin a >|Ac'o 从而有。

20、由此可得 /ACB =。22005*3、AABC内接于单位圆，三个内角 A,B,C的平分线延长后分别ABCAA1 cos BB1 cosCC1 cos交此圆于 A1, B1,C.则222的值为sin A sin B sinCA. 2B. 4C. 6D. 8答案：A解析：如图，连BA1 ,则AA1 =2sin( BAA B CBC、c /BC、2Tsim 3 一丁2cos(丁矛Ac B CAAA1 cos 一 二 2 cos 一一一 cos 一 二 cos2222AC + cosCB = sinC+sinB,BCBB1 cos =sin A +sin C , CC1 cos一 =sin A +s

21、in B。 22ABCA所以 AA1 cos + BB1 cos + CC1 cos = 2(sin A + sin B + sin C ),即可求得。 2222004*4、设点 O 在 AABC 的内部，且有 OA+2OB +3OC = 0, 则AABC与&AOC的面积的比为 A. 2B. C.3 D. 一23答案：C 解析：如图，设面积 AAOC =s，则 AOC1D =3s , AOB1D = &OB1cl = 3s ,AOB = &OBD = 1.5s . AOBC = 0.5s,进而彳# MBC = 3s。2001*4、如果满足/ABC =600 , AC =

22、12, BC = k的ABC恰有一个，那么k的取值范围是A.k=8T3B. 0<k <12 C. k >12 D. 0<k412 或 k=8 各答案：D解析：根据正弦定理得AC 0 = k ,得k = 83sin A ,显然A亡(00,120°),要使得sin 600 sin AABC 恰有一个，则 AW (00,600)或 A = 900 ,得 0<k 42 或 k =853AB=c, 9a2+9b2 -19c2 =0 ,则1999*9、在 AABC中，记 BC =a , CA = b,cot C. cot A cot B,5答案：59.2,222.2

23、2ab a b -c a b -c 5X = c22abc29解析:cotCsin Asin BcosCcot A cot Bsin2 C1993*5、在AABC中，角A,B,C的对边长分别为 a,b,c,若c a等于AC边上的高h,则,C -A C A的/古曰,、sin+cos的值是 ( )22A. 1 B. - C. - D. -123答案：A 解 析： 由 题设得 2R(sin C sin A )= csin A = 2Rsin Csin A , 即s C -ns A 祁 C sn A , n即2cosC A . C -Asin 221i-_ i 12 C - A 2 C A=一 l.c

24、os(C - A) - cos(C A) = 1 - 2sin 2cos 122 IL222C -A C A p 整理得 sin+cos . =1,又,C - A C A sin cos22>0 ,故选A.C sin B1992*4、在&ABC中，角A, B,C的对边分别记为 a,b, c ( b ¥ 1),且一,都是万程A sin Alog b x =logb(4x-4)的根，则 AABC()A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形答案：B解析：由题意得 x2 =4x4 .根为 x =

25、 2. C = 2A, B =180O -3A , sin B = 2sin A .所 以 sin3A =2sin A,即 34sin2 A=2 ,得 A =30°, B =90°,C =60O.选 B.1991*8.在AABC中，已知三个角 A,B,C成等差数列，假设它们所对的边分别为a,b,c,并C A且c a等于AC边上的高h ,则sin CA =.2-1答案：12 h h斛析：勿知 h=ca=，sin Asin C = sinCsin A ,由已知，A+C=120 .sin A sin C1 I01 C- A 02C - A-cos(C - A )-cos120&#

26、39;=2sincos60 ,即 sin +sin222即 sin J3 、.C -A一一(舍去)，sin221988*8 ,在&ABC中，已知/A=a , CD、BE分别是AB、AC上的高,DEBC答案：COSa解析：注意到 &AED AABC , DE a = cosa .BC AC. 11986*6、边长为a,b,c的三角形，其面积等于 一，而外接圆半径为1,右s = Qa+Jb+Jc,41 11t = + +,则s与t的大小关系是（）a b cA. s>tB. s=t C.setD. 不确定答案：C1 abc1斛析：SA = absinC=，由R =1, S =

27、，知ac = 1 .且三角形不是等边三角形.2 4R4.1 1 1111.a .b : ct =一 十一十一 > + + = %/a+yb+Jc = s.（且等万不成abc . ab . cb ac abc立）.选C.1985*7、在AABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,若角A,B,C的大小成等比数列，且 b2 -a2 =ac ,则角B的弧度为等于 .7解析：由余弦定理，b2-a2 =c2 _2accosB .故 ac = c2-2accosB .即 a =c 2acosB ,所以 sin A =sin（A + B ）2sin AcosB = sin（B A ）.由 b &g

28、t;a ,得 B >A. A=BA,即 B = 2A, C =4A.或 A+B A = n （不可能）2 二B =.71985*一、在直角坐标系xOy中，点A(X1, y1)和点B(x2, y2)的坐标均为一位的正整数.OA与x轴正方向的夹 角大于450, OB与x轴正方向的夹角小于 450 , B在x轴上的射影为B/, A在y轴上的射影为 A/, AOBB/的面积比AOAA/的面积大33.5,由x,y, x2,y2组成的四 位数*遇2丫2丫1 =x 103 +x2 102 +y2 10 +y1.试求出所有这样的四位数，并写出求解过程.解析：由题意得 x2 y2-x1yl =67 , x1 < y1, x2 A y2 ,且x1, y1，x2, y2都是不超过10的正整数.px2y2 A67 ,贝U x2y2 =72 或 81 .但 x2 A y2，故 x2y2 =81 舍去.# ./-x2y2 = 72 .即 x2 =9 , y2 =8 .7,-sx1yl =72 -67 =5. x1 =1 , y1=5,x1x2y2y1 =1985 .1984*9、如图，AB是单位圆的直径，在 AB上任取一点 D ,作DC _L AB ,交圆周于 C , 若点D的坐标为D(x,0),则当xw 时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形.y，答案：2 -<5, V5 -2 )