26-简单的线性规划问题(2)

1、3.3.2 简单的线性规划问题 （2）教材分析 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进 行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面简单的线 性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出简单的线性规划关 心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是 给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成 . 教科书利用生产安排的具体 实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划

2、在饮食 营养搭配中的应用 . 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思 想.课时分配本课时是简单的线性规划问题的第二课时，主要解决的是线性规划的应用问题 .教学目标重点 : 掌握约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.难点：理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想 . 知识点：图解法求线性目标函数的最大值、最小值 . 能力点：函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论的数学思想的运用 . 教育点：结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识 . 自主探究点：培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力 . 考试点：线性规划问题的图解

3、法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解 . 易错易混点：线性规划问题和非线性规划问题的区分于解决 .拓展点：非线性规划问题 .教具准备 实物投影机和粉笔课堂模式 诱思探究一、复习引入 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题 提出，其求解的格式与步骤是不变的：（ 1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（ 3）在可行域内求目标函数的最优解 . 【设计意图】 通过复习进一步熟悉解决简单线性规划问题的具体操作程序二、探究新知请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题 .yx,I （1 ）求z

4、=2x + y的最大值，使式中的 x、y满足约束条件-1.15x 3y _ 15,（2）求z =3x - 5y的最大值和最小值，使式中的 解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当 x=O,y=O 时，z = 2x y = 0，点（0,0）在直线 l0：2x y = 0上.作一组与直线lo平行的直线l:2x y =t,r R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的t最大.所以 Zmax =2 2-1=3.（2）求z =3x - 5y的最大值和最小值，使式中的X、y满足约束条件 y岂X 1,x -5y _ 3.l的直线中，以经过点 A（2, -1）的直线所对应5x 3115,x、y满足

5、约束条件 y乞x 1,x -5y 亠 3.解：不等式组所表示的平面区域如右图所示从图示可知直线3x 5y二t在经过不等式组所表示的公共区域内的点9 17时，以经过点（-2, -1）的直线所对应的t最小，以经过点（-，丄）的直线所对8 8应的t最大.所以 Zmin =3 (-2)5 (-1-11,Zmax =3 95 =14.8 8【设计意图】 通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构三、运用新知【例1】某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t ；生产乙种产品需耗 A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利

6、润是 600元，每1t乙种产品的利 润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360t、B种矿石不超过200t、煤不超过300t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到 0.1t），能使利润总额达到最大？师消耗量资源产品甲产品（1 t）乙产品（1 t）资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石54200煤利润（元）493606001 000解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt,利润总额为10x +4y 兰300,5x +4y 兰200,那么 4x +9y E360,x兰0,目标函数为z =600x1000y 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线l:60

7、0x 1000 y=0 ,即直线 l： 3x - 5y=0 ,把直线l向右上方平移至h的位置时，直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大，此时z =600x 1000 y取最大值.解方程组5x 4y =200,4x 9y =360,y -0；得M的坐标为（型，鯉）.2929答：应生产甲产品约12.4t，乙产品34.4t，能使利润总额达到最大【设计意图】 通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能 力【例2】在上一节例4中（课本85页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各

8、多少车皮，能够产生最大的利润？生：若设生产x车皮甲种肥料，y车皮乙种肥料，能够产生的利润z万元目标函数z =x 0.5y,把z = x 0.5y变形为y - -2x 2z ,得到斜率为-2，在y轴上截距为2z，随 z变化的一组平行直线由图可以看出，当直线 y - -2x 2z经过可行域上的点 M时，截距2z最大，即z最大18x +15y =66,解方程组丿 得点M（2,2）,因此当x = 2,y = 2时，z = x + 05y取最大值，最大值为 3.j4x + y =10由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元【设计意图】 利用学生感兴趣的例子激发学习动机，

9、通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识同时进一步加深对图解法的认识 四、课堂小结（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）（2）设t =0，画出直线l0.（3）观察、分析，平移直线10，从而找到最优解.（4 ）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解当然也要注意问题的实际意义【设计意图】 通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识 纳入已有的认知结构.五、布置作业课本第93页习题3.3 B组1、2、3.拓展作业：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用 4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件，按 每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问 题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习 和拓展知识面的一个重要平台，这是本节