弹性力学广义变分原理的通式

1、中国科技论文在线弹性力学广义变分原理的通式及待定系数法 蒋中祥作者简介：蒋中祥，主要研究方向：结构工程，有限元. E-mail: jzxBeijing Institute of Civil Engineering and Architure 北京建筑工程学院土木交通学院1000441366124324288373016北京西城区车公庄中里乙6楼1402jzx1蒋中祥，主要研究方向：结构工程，有限元。蒋中祥JIANG Zhongxiang蒋中祥1.51.5*|1|蒋中祥|JIANG Zhongxiang|

2、北京建筑工程学院土木交通学院|Beijing Institute of Civil Engineering and Architure |蒋中祥，主要研究方向：结构工程，有限元。|北京西城区车公庄中里乙6楼1402|100044|jzx1|88373016性力学广义变分原理的通式|General Form of Variational Principles in Elasticity|- 7 -（北京建筑工程学院土木交通学院）摘要：本文用“待定系数法”推导了弹性力学广义变分原理的通式。设 （0，1，2，3）是用（3）式表示的带任选的实参数i,(i=0,1,2,3)的三

3、类变量的泛函，则当且仅当 00，12+13+230时，（0，1，2，3）=0与方程（1-1）（1-5）等价。即该泛函是三类变量广义变分原理的泛函。关键词：弹性力学； 三类变量； 广义变分原理 ；能量泛函。中图分类号：请查阅中国图书馆分类法General Form of Variational Principles in ElasticityJIANG Zhongxiang(Beijing Institute of Civil Engineering and Architure)Abstract: Deducing the general form of the variational prin

4、ciple in Elasticity . If formula（3）was the functional including the three kinds of variables with real parameteri,(i=0,1,2,3) and 00 , 12+13+230 then 1（0，1，2，3）=0 is equivalence with the equations（1-1）（1-5）。Namely, the functional is the variational principle's functional including the three kind

5、s of variables.Key words: Elasticity, three kinds of variables, variational principle,energy functional0 引言多年来，“多变量有限元方法”的研究受到重视 ，作为理论基础的“多变量变分原理”的研究也取得了重要进展1。龙驭球2、蒋中祥3 4和Felipa5先后用不同的方法给出了形式不同、实质相同的三类变量变分原理的泛函。龙驭球2用Hu-Washizu变分原理的泛函与14项“二次型泛函”组成的“等价泛函”，来构建变分原理。王焕定、曹东步讨论了龙的理论6，指出“等价泛函”中的某些泛函的不是三类变量变

6、分原理的泛函。并给出了龙的泛函作为三类变量变分原理的泛函的条件（等价性条件）。但他们受限于龙的理论，给出的条件相当琐碎。蒋中祥3用待定系数法给出了三类变量变分原理的泛函的“一般形式”。并明确指出，如果泛函对应三类变量变分原理，则其可选参数应满足一定的条件（等价性条件）。文3分别给出了若干充分条件，并利用这些条件，确定了若干不同形式的三类变量变分原理3 4。但文3没有能给出“等价性条件”的完整形式。Felipa5把个可选参数放在一个3阶的对称矩阵中，得到类似文3的泛函，推导过程也与文3类似。但是，他也没有注意到“等价性条件”。因此，适当选择矩阵的元素（参数），就可以从Felipa的泛函中选出“不

7、能构成变分原理”的泛函。本文给出了完整的“等价性条件”。从而给出了三类变量变分原理的完整、准确的表述。1 符号规定为了叙述方便，把弹性力学静力平衡问题的基本方程和边界条件罗列如下：（1）平衡方程 在域V内 （1-1）（2）应变-位移关系 在V内 （1-2）（3）应力-应变关系 在V内 （1-3）（4）位移给定的边界条件 在Su上 (1-4)（5）外力给定的边界条件 在S上 (1-5)其中 各分量的含义参见常见的弹性力学教材。l , m , n边界外法线的方向余弦 已知体积力 已知边界力已知边界位移2 三类变量广义变分原理的泛函的通式不难看出，由三类变量可能构成的单项能量泛函，在域V内，有且只有

8、以下7项： 在边界、上,有 因此，三类变量广义变分原理的泛函一定包含在下列泛函之中： （2）式中，都是待定的实常数。下面要做的是，从（2）式中筛选出三类变量广义变分原理的泛函。假设（2）是三类变量广义变分原理的泛函，则一阶变分。由此可得欧拉方程 在V内 在V内 在V内 在Su上 在Su上 在S上 在S上把方程（1-1）（1-5）代入以上欧拉方程可得利用此方程组，可以用来表示： 代入（2）式可得： （3）这里，记是为了下面叙述方便。至此已经证明了：当（1-1）（1-5）成立时，。下面将进一步证明：当满足一定条件时，由可以推得方程（1-1）（1-5）。令一阶变分，得欧拉方程 在V内 （4-1） 在

9、V内 （4-2）在V内 （4-3） 在S上 (4-4) 在Su上 取，有 （1-4）（4-2）式两边同时左乘矩阵A可得 即 （4-5）（4-1）与（4-5）两边相加得 （4-6）代入（4-3），因，得 （4-7）这是用位移表达的平衡方程。此外，利用（4-1）（4-5）消去含位移的项ADTu可得 （5-1） 也可以利用（4-1）（4-5）消去含应力或应变的项可得 （5-2） （5-3）显然，当且仅当 （6）时，从欧拉方程可推得应变-位移关系（1-2）和应力-应变关系（1-3）。然后，把推得的（1-2）和（1-3）式代入（4-4）式，可得 注意 ，有 （7）即 （1-5）可见，当且仅当 ， 时，由

10、 可以推得方程（1-1）（1-5）。综上所述，当且仅当 ， 时，是三类变量广义变分原理的泛函。不等式（6）是与方程（1-1）（1-5）等价的条件，不妨称为“等价性条件”。有必要指出，文3给出的“等价性条件”是：下列等式之一成立，其余 容易验证，这些条件都是（6）式的特例。3 三类变量广义变分原理举例给一定的值，只要满足条件，就可以得到一个三类变量广义变分原理的泛函，举例如下。当0=-1，1=2=1，3=0时，三类变量广义变分原理的泛函的形式如下： 当0=-1，1=1，2,=-1，3=0时，三类变量广义变分原理的泛函的形式如下： 当0=-1，1=-1，2,=1，3=0时，三类变量广义变分原理的泛

11、函的形式如下： 这就是Hu-Washizu变分原理的泛函，比较而言，此泛函有较简洁的形式。当0=-1，1=-1/2，2,=1/2，3=1/2时，三类变量广义变分原理的泛函的形式如下： 还可以写出其他形式的泛函。总之，至今人们已经发现的三类变量广义变分原理的泛函都可以通过的适当取值（ ，），从（3）式得到。 有必要指出，用（3）式表示的泛函并不都对应一个三类变量广义变分原理。例如，取0=-1，1=-1，2,=0，3=0，注意 这个泛函曾经被认为是一个三类变量广义变分原理的泛函2，但其实不是6。尽管由（1-1）（1-5）式可以推得 ，但却不能由 推得（1-1）（1-5）式。从欧拉方程(4-1)(4

12、-2)可以看出，应变-位移方程和应力-位移方程被，“淹没”了，因此从中不能得到应变-位移方程或应力-位移方程。4 结论弹性力学三类变量广义变分原理可以表述如下：三类变量广义变分原理的泛函均可用下式表达 （3）式中，是可选的实常数。但是，可用（3）式表示的泛函并非都是三类变量广义变分原理的泛函。当且仅当 （6）时， 与方程（1-1）（1-5）等价。这时（3）式才是弹性力学三类变量广义变分原理的泛函。与常见的拉氏乘子法不同，本文方法（待定系数法）以简明的逻辑，给出了以通式形式表达的变分原理的直接证明。对照这里给出的通式，不难写出用拉氏乘子法推导通式的步骤。参考文献 (References)1 田宗

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