二次函数与反比例函数单元检测

1、二次函数与反比例函数单元测试（4）一.单选题（共10题；共30分）21.如图为坐标平面上二次函数 y=ax+bx+c的图形，且此图形通（1 ,1）、（2 ,1）两点.下列关于此二次函数的叙述，何者正确？（）A. y的最大值小于0C.当x=1时，y的值大于12 .抛物线y=（x-1）2+3的对称轴是（）A.直线x=1B.直线x=33 .将抛物线yu-H+bi+u的图象先向右平移F=（X-1）<4,贝的值为（）A.门=,二一仆bj = = D4 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c与轴交于A、B.当x=0时，y的值大于1国x= 3时，y的值小于0C.直线x=-1D.直线x=-32个单位，

2、再向下平移 3个单位，所得图象的函数解析式为C.D.=-：三：'=2,现将抛物线向右平移2个单B两点，顶点C的纵坐标为-位，得到抛物线 y=a1x2+b1x+c1,则下列结论:b>0;a-b+cv0;阴影部分的面积为4;若c=- 1,则b2=4a.正确的是（）A.囱O脸5 .在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点”，例如点（-1, - 1） , （ 0,0）,（内，后），都是梦之点”，显然，这样的 梦之点”有无数个，应用：若点 P （2, m）是反比例函 数y=x （n为常数，nwQ）的图象上的 梦之点”，则这个反比例函数的解析式是（）a v-b v-c

3、v-d v-a. y=b. y=c. y=d. y= 26 .二次函数y=ax+bx+c（awp的部分图象如图所不，图象过点（-1, 0）,对称轴为直线 x=2,系列结论： 4a+b=0； （2） 4a+c>2b； （ 3） 5a+3c>0； （4）若点 A （ 2, y），点 B （ 4 , y2）,点 C （ 5 ,7.已知二次函数 y=ax2+bx+c的x、(5)若m2,则m (am+b) >2 (2a+b),其中正确的结论有()C4D. 5y的部分对应值如下表:则该二次函数图象的对称轴为(A. y轴B.直线5 x=C.直线x=2D.直线x=4,点B在反比仞函数y=$(

4、xv0)的图象上.则反比例函数的解析式是A. y=8.如图，正方形 OABC的面积是B. y=”一D. y=-9.若抛物线y=- x2+px+q与 x轴交于 A(a, 0) , B (b, 0)两点，且a< 1< b,则有()C. p+q> 1D. pq >0A. p+qv 1B.p+q=1.填空题(共8题；共24分)(awQ的顶点(-1 , m) (m>0),则下列结论中，正确的C. b< k<0D. kv a<011.已知下列函数 y= aRDy=-Ey=（K-1）'+2淇中，图象通过平移可以得到函数y=*2+2x-3的图像的有 .（

5、填写所有正确选项的序号）212.如图，已知函数 y= - 3x与y=ax+bx （a>0, b>0）的图象交于点 巳点P的纵坐标为1,则关于x的方程ax2+bx+3x=0的解是13. （2016?兰州）二次函数y=x2+4x - 3的最小值是14.如图所示，已知二次函数y1=1x于D、C两点，则 PCD的面积为2y=ax+bx+c的图象经过两点 （-1, 0）和（0, - 1）,则化间代数式 （a+1a）2-415 .如果抛物线y= （m-1） x2的开口向上，那么 m的取值范围是16 . （2011?遵义）如图，已知双曲线y1=1x（x>0） , y2=4x（x>0）

6、,点P为双曲线 y2=4x上的一点，且 PA17 . （2017?枣庄）如图，反比例函数y二年的图象经过矩形 OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积y=亭(x>0）的图象上，则点 C的坐标为18 .如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点 A的坐标为（1 , 2）,点B与点D在反比例函数三.解答题（共6题；共31分）19 .天猫商城旗舰店销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量 y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y= 18+500,在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.（1）设该旗舰店每月获得利润为

7、w （元），求每月获得利润 w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并确定自变量 x的取值范围.（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果旗舰店想要每月获得的利润不低于2000元，那么每月的成本最少需要 一元？（成本=进价建肖售量）20 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半。'与y轴正半轴交于点 C,连接BC, AC. CD是半。'的切线，ADLCD于点D.O B(1)求证：/ CAD =/ CAB;(2)已知抛物线+ 过 A、B、C 三点，AB=10, tan/CAD=.求抛物线的解析式； 判断抛物

8、线的顶点 E是否在直线CD上，并说明理由； 在抛物线上是否存在一点 P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)； 若不存在，请说明理由.21 .如图，直线y=3x+23与x轴交于点A、与y轴交于点D,以AD为腰，以x轴为底作等腰梯形 ABCD(AB >CD),且等腰梯形的面积是 83,抛物线经过等腰梯形的四个顶点.图(1)求抛物线的解析式；(2)如图(2)若点P为BC上的一个动点(与B、C不重合)，以P为圆心，BP长为半径作圆，与 工轴的 另一个交点为E,彳EF，AD,垂足为F,请判断EF与。P的位置关系，并给以证明；图(2)(3)在(2)的条件下，是否存

9、在点P,使。P与y轴相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.22 .一个二次函数 y= ( k- 1) Tfr2-3W+2x- 1.(1)求k值.(2)求当x=0.5时y的值？23 .如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线 CD,这时水面宽度为10米.若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O的)24 . (2017?宁波)如图，正比例函数为=一我的图象与反比例函数)、二号的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC= AO, ACO的面积为12.求k的值

10、;(2)根据图象，当匕片时，写出自变量工的取值范围.(2)若二次函数1题；共15分)25. （2014?崇左）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于 A (-3, 0) , B (0, - 3)两点，二次函数 y=x2+mx+n的图象经过点 A.y=x2+mx+n图象的顶点在直线 AB上，求m, n的值;(3)当-3Wx就二次函数 y=x2+mx+n的最小值为-4,求m, n的值.二次函数与反比例函数单元测试（4）答案解析一.单选题1 .【答案】D【考点】 二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】根据图象的对称轴的位置在点（-1,

11、 1）的左边、开口方向、直接回答.【解答】A、由图象知，点（-1, 1）在图象的对称轴白右边，所以y的最大值大于0;故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与 y轴的交点，而图象与 y的交点在（-1, 1）点的右边，故 yv1;故本选项错误；C对称轴在（-1, 1）的左边，在对称轴的右边 y随x的增大而减小，x>-1,则对应的函数值一定小于 1, 故本选项错误.D、当x=3时，函数图象上的点在点（2, -1）的右边，所以y的值小于0；故本选项正确； 故选D.2 .【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】【分析】易知抛物线 y=（x-1）2+3为函数顶点式，则h=1.故选

12、A.【点评】本题难度较低，主要考查学生对顶点式知识点的掌握。3 .【答案】B【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【分析】将抛物线F=（工-1）工4的图象先向左平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得函数 解析式为y= （x- l+2）J-4+3,整理得，尸屋+2，,所以b=2, c=0,故选B.4 .【答案】D【考点】二次函数的应用【解析】【解答】解：二.抛物线开口向上，a> 0,又,对称轴为x= *>0,b<0,，结论不正确；x= 1 时，y>0,a- b+c>0,，结论不正确； .抛物线向右平移了 2个单位， 平行四边形的底是 2, 函数y=ax2+bx+

13、c的最小值是y=-2, 平行四边形的高是 2, 阴影部分的面积是：2X2=4，结论正确；%比=7, C=- 1,b2=4a,，结论正确.综上，结论正确的是：.故选D.【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握平移的规 律和二次函数的性质，解答此类问题的关键.5 .【答案】D【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：(1) ,一点P (2, m)是 梦之点”，m=2,;点P (2, 2)在反比例函数 y=7 (n为常数，nwQ)的图象上，n=2X 2=4反比例函数的解析式为 y=4；故选D.【分析】先由梦之点”的定义得出m=2,再将点P坐标

14、代入y=g,运用待定系数法即可求出反比例函数 的解析式.6 .【答案】A【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：:抛物线的对称轴为x=- 5=2,b=- 4a,即4a+b=0,故（1）正确；由图象知，当 x=-2时，y=4a-2b+cv0,4a+c< 2b,故（2）错误； 图象过点（-1, 0）,a - b+c=O, 即 c=- a+b=- a - 4a= - 5a,5a+3c=5a- 15a= -10a, .抛物线的开口向下，a< 0,贝U 5a+3c= - 10a>0,故（3）正确；由图象知抛物线的开口向下，对称轴为x=2,离对称轴水平距离越远，函数值越小，

15、-y1<y2<y3,故（4）错误；:当x=2时函数取得最大值，且 mr2,am2+bm+c< 4a+2b+c,即 m （am+b） < 2 （2a+b），故（5）错误；故选：A.【分析】根据对称轴可判断 （1）;根据当x=- 2时y<0可判断（2）;由图象过点（-1, 0）知a-b+c=0, 即c=-a+b=-a-4a= - 5a,从而得5a+3c=5a- 15a=- 10a,再结合开口方向可判断（3）;根据二次函数的 增减性可判断（4）；根据函数的最值可判断（5）.7 .【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：: x=1和2时的函数值都是-1,对称轴

16、为直线 x= =y =故选：D.【分析】由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解.8 .【答案】A【考点】反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：根据题意得正方形OABC的面积=|k|=4 , 而k>0,所以k=4,反比例函数的解析式是y=故选A.【分析】根据反比例函数y=4(kwQ系数k的几何意义和正方形的面积公式得到|k|=4 ,然后去绝对值得到满足条件k的值.9 .【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【解答】解：:抛物线 y= - x?+px+q中二次项系数为-1<0,，抛物线开口向下.抛物线y=一小+

17、px+q与x轴交于 A (a, 0) , B (b, 0)两点，且 a<1<b,. .当 x=1 时，y= - 1+p+q>0, p+q >1.故选C.【分析】由-1 v0即可得出抛物线开口向下，再根据抛物线与x轴的两交点横坐标分别在1的两侧即可得事当x=1时，y= - 1+p+q>0,移项后即可得出 p+q> 1.10 .【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：A、错误.1, m)在y=,上，k=- m,根据对称性，(1, - m)在y=?上，不在抛物线的图象上，x=1 时，y=a+bw m,即 a+b*k 故错误.B、错误.二.抛物

18、线对称轴x=- 1,加- I/. b=2a,.1- 2a - b=0,故错误. kC、正确.m= -r-, b 5,/. b= - 2m=2k,/ b< 0, k< 0, b<K<0,故正确.D、错误. b=2a, b=2k,a=k,故错误.故选C.【分析】灵活应用图象信息，顶点坐标公式一一判断即可.填空题11 .【答案】【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】原式可化为：y= (x+1) 2-4,由函数图象平移的法则可知 ，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数 y= (x+1) 2-4,的图象，故正确；函数y= (x+1) 2-

19、4的图象开口向上，函数y=-X2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故错误；将丫= (x-1) 2+2的图象向左平移 2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数 y= (x+1) 2-4的图象，故 正确.故答案是.【分析】二次函数图象.12 .【答案】x=- 3【考点】二次函数的图象【解析】【解答】解：,一点 P在函数y=-3x上，点P的纵坐标为1,1- 1=-3x ,解得x=- 3,函数y= - 3x与y=ax2+bx (a>0, b>0)的图象交于点 P的坐标为(-3, 1),” 可得，aJ+bx二三:，为'工02 ,xxt y=ax +bx解得x=- 3.故答案为：x

20、=- 3.【分析】根据已知函数 y= - 3*与y=ax2+bx (a>0, b>0)的图象交于点 巳点P的纵坐标为1,可以求得 点P的坐标，将y= - 3x与y=ax2+bx联立方程组，变形可得 ax2+bx+3x=0,从而可知ax2+bx+3x=0的解就是 函数y=-3x与y=ax2+bx ( a>0, b>0)的图象交点得横坐标，本题得以解决.13 .【答案】-7【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：= y=x2+4x - 3= (x+2) 2-7, a=1 >0,，x= - 2时，y有最小值=-7.故答案为-7.a> O函数有【分析】利用配方法把

21、二次函数写成顶点式即可解决问题.本题考查二次函数的最值，记住最小值，avO函数有最大值，学会利用配方法确定函数最值问题，属于中考常考题型.14 .【答案】2a【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：y=ax2+bx+c的图象经过两点(-1, 0)和(0, - 1),a b + c = 0,整理可得a=b+1,c = -l对称轴在y轴的右侧，抛物线开口向上，- b2a >0,且 a>0,b<0,0< a< 1,a< 1a ,(a+1a)2-4 + (a+1a)2+4 =a+a+ 1a = 2a ,故答案为：2a【分析】把已知点的坐标代入可求得a=

22、b+1,再由对称轴在y轴的右侧可求得 b<0,则可求得0vav1,则可比较a和1a的大小关系，化简可求得答案.15 .【答案】m>1【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：因为抛物线 y= (m - 1) x2的开口向上，所以m - 1 >0,即m > 1,故m的取值范围是m >1.【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m- 1>0.16 .【答案】98【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：作 CELAO于E, DF,CE于F,二双曲线y1=1x(x>0) , y2=4x(x>0),且PA,x轴于点A,

23、PBL y轴于点B, PA、PB分别依次交双曲线 y1=1x于D、C两点，.矩形BCEO的面积为：xy=1,. BCX BO=1 BPX BO=4BC= 14 BP,. ACK AD=1, ACX AP=4,AD= 14 AP,. PA?PB=4,34 PBX 34 A= 916 PA?PB=CP DP= 916 X 4= 94 ,.PCD的面积为：98 .故答案为：98 .【分析】根据 BCX BO=1 BPX BO=4 得出 BC= 14 BP,再利用 ACK AD=1, ACK AP=4,得出 AD= 14 AP,进 而求出 34 PBX 34 PA=CPX DP=94 ,即可得出答案.

24、17 .【答案】4【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解： 设D （x, y）,反比例函数y=的图象经过点D,xy=2,. D为AB的中点，B （x, 2y）,OA=x, OC=2y,1- S矩形 oabc=OA?OC=x?2y=2xy=2 X 2=4故答案为：4.【分析】可设 D点坐标为（x, y）,则可表示出B点坐标，从而可表示出矩形OABC的面积，利用xy=2可求得答案.18 .【答案】（3, 6）【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：二四边形 ABCD是矩形，顶点 A的坐标为（1,2）,设B、D两点的坐标分别为（1, y）、 （ x, 2）,点B与点D

25、在反比仞函数y=¥（x>0）的图象上，y=6, x=3,故答案为：(3, 6)【分析】设B、D两点的坐标分别为(1, y)、( x, 2),再根据点B与点D在反比仞函数y=2(x>0) 的图象上求出xy的值，进而可得出 C的坐标.三.解答题19 .【答案】 解：(1)由题意，得： w= (x-20) ?y= (x-20) ? (-10X+500) =-10x2+700x-10000,2即 w=-10x +700x-10000 (20WxW)32(2)对于函数 w=-10x2+700x-10000的图象的对称轴是直线 x=-7002 X -10=35又a=-10<0,

26、抛物线开口向下.，当20<x<3时，W随着X的增大而增大. 当 x=32 时，W=2160.答：当销售单价定为 32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元.(3)取 W=2000 得，-10x2+700x-10000=2000解这个方程得：x1二30, x2=40. . a=-10<0,抛物线开口向下. 当 30wxw 侧，w>2000. 20<x<32,当 30<x<32, w>2000.设每月的成本为 P (元)，由题意，得： P=20 (-10x+500) =-200x+10000,k=-200<0,. P随x的增大而减

27、小. 当x=32时，P的值最小，P最小值=3600.答：想要每月获得的禾I润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元.【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解析】【分析】(1)由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润 =(定价-进价)范肖售量，从而列出关系式；(2)首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；(3)根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本.20.【答案】(1)证明：连接 O'，点C的坐标为(3, 6).CD是。O'的切线， .O' dCD,AD± CD,O A AD, . / O CA= CAD,.

28、 O' A=O ,C . / CAB=Z O CA.-.Z CAD=Z CAB；(2)解：.AB是。O'的直径，/ ACB=90 , OCX AB,/ CAB=Z OCB,.CA8 BCO,QC = obOA OC即 OC2=OA?OB, . tan/CAO=tan/CAD=1 ,AO=2CO,又AB=10,OC，抛物线的解析式为：y=-.x-jx+4;=2CO (10-2CO),解得 COi=4, CO2=0 (舍去)，CO=4, AO=8, BO=2 CO> 0,CO=4, AO=8, BO=2, A (-8, 0) , B (2, 0) , C (0, 4), 抛物

29、线y=ax2+bx+c过点A, B, C三点,c=4,(4n+26 + 4 = 0由包思信：IbM-助+4 = 0 '解得：a ,b= 7 L上设直线DC交x轴于点F,AOCA ADC,.1. AD=AO=8, O' (7/ AD,.F。FAD,dF -dc . -.AF .AD O' F - AD=O q- AF8 ( BF+5) =5 (BF+10), .BF*, F 弯，0);设直线DC的解析式为y=kx+m,m =416, n亍长+m = 0(川=43直线DC的解析式为y=-；x+4,1 2 312 75乃由y=-jx-5X+4=1 (x+3) + 得顶点E的坐

30、标为(-3, 工)，将E(-3,字)代入直线 DC的解析式y=-fx+4中，右边=-：><(-3) +4=守=左边，抛物线顶点 E在直线CD上；(3)存在,P1 (-10, -6) , P2 (10, -36).-A (-8, 0) , C (0, 4),过A、C两点的直线解析式为 y=|x+4,设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=；x+b,把B (2, 0)代入得b=-1,，直线PB的解析式为y=5X-1,y- -x- jx+4J x = -10 f a = 2解得| y= _6 |y=0 (舍去)，求P2的方法应为过点 A作与BC平行的直线，可求出BC解析式，进而求出与

31、之平行的直线的解析式, 与求 Pi 向法，可求出 xi=-8, yi=0 (舍去)；X2=10, y2=-36.P2 的坐标(10, -36).【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】【分析】(1)连接O'C由CD是。的切线，可得 O d CD,则可证得O'C/AD,又由O'A=O ,C则可证得/ CAD=Z CAB；(2)首先证得 CA8 BCO,根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA?OB,又由tan / CAO=tan/CAD=1,则可求得CQ AO, BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；首先证得 FO SFAD,由相似三角形的对应边成

32、比例，即可得到F的坐标，求得直线 DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；根据题意分别从 PA/ BC与PB/ AC去分析求解即可求得答案，小心漏解.21.【答案】 解：(1) .y=3x+23,当 x=0 时，y=23;当 y=0 时，x=-2,A(-2,0), D(0,23),ABCD为等腰梯形，AD=BC, / OAD=Z OBC过点 C作 CHI± AB 于点 H,则 AO=BH, OH=DC. ABCD 的面积是 S=12 (DC+AB) DO,83=12 (DC+OH+2+2) X 23DC=2, C(2, 23), B (4,0),设抛物线解析式为 y

33、=ax2+bx+c(a w,0戕入 A(-2,0), D(0,23), B (4,0)得 0=4a-2b+c23=c0=16a+4b+c,解得 a=-34b=32c=23,即 y=-34x2+32x+23；(2)连结 PEPE=PB / PBEN PEB, / PBE=/ DAB,/ DAB=Z PBEPE/ DA, EFL AD,/ FEP=/ AFF=90 ,又PE为半径，EF与。P相切.；设。P与y轴相切于点 G, P作PQ，x轴于点Q,设 Q(x,0)，则 QB=4-x, . /PBA=/ DAO, ODOA=3,/ PBA=Z DAO=60 ,PQ=34-x, PB=8-2x , P

34、(x, 34-x), 。P与y轴相切于点 G, OP过点B,PG=PBx=8-2x,.x=83, P(83, 433).【考点】与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)过C作CE! AB于E,利用矩形的性质分别求得三点的坐标，利用求得的点的坐标，用待定系数法求 得二次函数的解析式即可；(2)连结PE可以彳#到：PE/ DA,从而得出EF与。P相切；(3)设。P与y轴相切于点G, P作PQ，x轴于点Q,设Q(x,0),用含有x的代数式分别表示出 PG和PB, 再根据PG=PB求出x的值即可.22 .【答案】解：(1)由题意得：k2-3k+4=2,且k-1WQ解得：k=2；(2)把 k=

35、2 代入 y= (k1) a-JH4+2x- 1 得：y=x2+2x- 1,当 x=0.5 时，y=4 .【考点】二次函数的定义【解析】【分析】(1)根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，aw°的函数,叫做二次函数可得 k2- 3k+4=2,且k - 1WQ再解即可；(2)根据(1)中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值.23 .【答案】 解：设所求抛物线的解析式为：y=ax2 .设 D (5, b)，贝U B (10, b 3),I八、2'! «一把D、B的坐标分力1J代入 y=ax得：,100a-3_ 1解得：25 ,b =-1: b= - 1,拱桥顶。至ij CD的距离为1, -L=5小时.0.2所以再持续5小