三个二次间关系教师

1、三个“二次”间的关系一 知识梳理一二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系b24ac>00<0函数yax2bxc(a>0)的图象xyOx1x2xyOx1x2xyO一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有两相异实根x1，x2有两相等实根x1x2没有实根一元二次不等式解集ax2bxc>0 (a>0)x|x<x1或x>x2 (x1x2)Rax2bx+c<0(a>0)x|x1<x<x2(x1x2)二含参数的一元二次型的不等式：在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三

2、个方面进行考虑：1. 关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a0.2. 关于不等式对应的方程根的讨论：二根(>0)，一根(0)，无根(<0)3. 关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1x2，x1<x2.三不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题1. 恒成立问题 若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A； 若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)max<B.2. 能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)max

3、>A； 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上f(x)min<B.3. 恰成立问题 若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D； 若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.四二次方程ax2bxc0(a>0)的根的分布分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象得出的结论分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象得出的结论二典例剖析题型一 一元二次不等式的解法【例1】1.（2013

4、83;重庆高考）关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B. C. D. 解: 法一：不等式x22ax8a2<0的解集为(x1,x2)，x1，x2是方程x22ax8a20的两根由韦达定理知x2x115，又a>0，a，故选A.解法二：由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，a>0，不等式x22ax8a2<0的解集为(2a,4a)，又不等式x22ax8a2<0的解集为(x1，x2)，x12a，x24a.x2x115，4a(2a)15，解得a，故选A.2.（2013·

5、江西高考）下列选项中，使不等式x<<x2成立的x的取值范围是()A. (,1) B. (1,0) C. (0,1) D. (1,)解析：当x>0时，原不等式可化为x2<1<x3，解得x，当x<0时，原不等式可化为解得x<1，选A.【课堂练习1】(2012·江苏)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_.解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)<c.2<c，即<x<.得26，c

6、9.题型二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】 1. 解不等式解： 当即时，解集为；当即0时，解集为；当或即,此时两根分别为，显然, 不等式的解集为2. 解不等式解：原不等式可化为：，令，可得：当或时， ，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；当或时, ,解集为。3. 解关于x的不等式ax2(2a1)x20.解不等式ax2(2a1)x20，即(ax1)(x2)0.(1)当a0时，不等式可以化为(x2)0.若0a，则2，此时不等式的解集为；若a，则不等式为(x2)20，不等式的解集为；若a，则2，此时不等式的解集为.(2)当a0时，不等式即x20，此时不等式的解集为(2，)(3)当a0时

7、，不等式可以化为(x2)0.由于2，故不等式的解集为(2，)综上所述，当a0时，不等式的解集为(2，)；当a0时，不等式的解集为(2，)；当0a时，不等式的解集为；当a时，不等式的解集为；当a时，不等式的解集为.【课堂练习2】 已知常数aR，解关于x的不等式ax22xa<0.解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a0时为一元一次不等式，当a0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解(1) a0时，解为x>0。(2)a>0时，44a2.当>0，即0<a<1时，方程ax22xa0的两根为，不等式的解集为x|<x<当0，即a1时，x；当&l

8、t;0，即a>1时，x.(3)当a<0时，>0，即1<a<0时，不等式的解集为x|x<或x>0，即a1时，不等式化为(x1)2>0，解为xR且x1.<0，即a<1时，xR.综上所述，当a1时，原不等式的解集为；当0<a<1时，解集为x|<x<；当a0时，解集为x|x>0；当1<a<0时，解集为x|x<或x>；当a1时，解集为x|xR且x1；当a<1时，解集为x|xR题型三 一元二次方程的根的分布【例3】1. 如果方程在(0，1上有解，求a的取值范围. 2. 已知方程在有两个实

9、根，求实数k的取值范围.3. 已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果方程f(x)=0在区间1,1上有解，求实数a的取值范围解当a0时，f(x)2x3，其零点x不在区间1,1上当a0时，函数f(x)在区间1,1分为两种情况：函数在区间1,1上只有一个零点，此时或解得1a5或a.函数在区间1,1上有两个零点，此时或【课堂练习3】1.（2015成都一诊）若关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.【答案】B 2. 已知函数是偶函数(1)求实数的值；(2)设,若有且只有一个实数解,求实数的取值范围解： (1)由函数是偶函数可知:, 1分 ，化简得, 即对一切

10、恒成立,. 3分(2)函数与的图象有且只有一个公共点,即方程有且只有一个实根4分化简得:方程有且只有一个实根,且成立, 则令,则有且只有一个正根6分设,注意到,所以当时, 有, 合题意; 当时,图象开口向下,且,则需满足,此时有;(舍去)当时,又,方程恒有一个正根与一个负根.综上可知,的取值范围是1,)10分题型四 二次函数中的恒成立问题【例4】已知函数，使对任意的恒成立的的取值范围。解法1：(利用根的分布)数形结合结合的草图可得：或得：。解法2：转化为最值研究 1. ，所以。 2. 若矛盾。 3. 若矛盾。综上：a的取值范围是。解法3：分离参数 1. 时，不等式显然成立，即此时a可为任意实数

11、； 2. 时，。因为上单调递减，所以； 3. 时，。因为在（0，1）上单调递减，所以。综上：a的范围是：。【课堂练习4】1. 当时，不等式恒成立.则的取值范围是 .2. 已知f(x)x22ax2(aR)，当x1,)时，f(x)a恒成立，则a的取值范围是_解析：解法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a<1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围为3,1解法二：令g(x)x22

12、ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.所求a的取值范围是3,13. 已知奇函数的定义域为，当时，.（1） 求在定义域上的解析式；（2） 若，不等式恒成立，求的取值范围；（3） 若，的最小值为-2，求实数的值.答案：（1）；（2）；（3）【例5】求使不等式x2(a6)x93a>0，|a|1恒成立的x的取值范围解：(1)将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x9>0.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)>0在|a|1时恒成立，所以若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去若x3，则由一次函数的单调性，可得，即

13、，解得x<2或x>4.【课堂练习5】1. （2014·湘潭模拟）对于满足0a4的实数a，使x2ax>4xa3恒成立的x取值范围是_解析：原不等式等价于x2ax4xa3>0，a(x1)x24x3>0，令f(a)a(x1)x24x3，则函数f(a)a(x1)x24x3表示直线，要使f(a)a(x1)x24x3>0，则有f(0)>0，f(4)>0，即x24x3>0且x21>0，得x>3或x<1，即不等式的解集为(,1)(3,)答案：(,1)(3,)2. 函数是奇函数，且在上单调递增，又，若 对所有的都成立，求的取值范围

14、 .解：据奇函数关于原点对称，又对所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1，即关于a的一次函数在-1，1上大于或等于0恒成立，即：题型五 存在性问题【例6】1. 已知m为常数，函数为奇函数.（1）求m的值；（2）若，试判断的单调性（不需证明）；（3）若，存在，使，求实数k的最大值解：（1）由，得,，即,4分（2）在R上单调递减7分（3）由，得，9分即.而的最大值为，从而12分2. 已知函数（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，若对任意，总存在，使成立，求实数m取值范围.解：解函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，则即所以所求实数a的取值范围是. 4分 当时，所以当时

15、，记.由题意，知当时，在上是增函数，记.由题意，知解得 7分当时，在上是减函数，记.由题意，知解得 7分综上所述，实数m的取值范围是【课堂练习6】 已知二次函数的最小值为，且关于的一元二次不等式的解集为。 （）求函数的解析式； （）设其中，求函数在时的最大值（）若（为实数），对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围。解：的两根，又的最小值即, .（4分） （） 分以下情况讨论的最大值 （1）当时，在上是减函数， （6分）（2）当时，的图像关于直线对称，故只需比较与的大小. 当时，即时，. （8分）当时，即时，； .（9分）综上所得. .（10分）（），函数的值域为在区间上单调递增，故值域为，对

16、任意，总存在使得成立，则 .（14分）三 家庭作业1若关于x的不等式x24xm0对任意x(0,1恒成立，则m的最大值为()A1 B1 C3 D3解析由已知可得mx24x对一切x(0,1恒成立，又f(x)x24x在(0,1上为减函数，f(x)minf(1)3，m3.答案C2. 已知函数,(a>0),若,使得f(x1)= g(x2),则实数a的取值范围是（）AB CD【答案】D 3. (2015·丽水模拟)当x(，1时，不等式(m2m)·4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是() A(2,1) B(4,3) C(1,2) D(3,4)解析：选C原不等式变形为m2mx，函数

17、yx在(，1上是减函数，x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m2.4. （2012广东）设a1，集合，（1）求集合D（用区间表示）；解析：（）设，其对称轴为，判别式，当时，B=R，；当时，的两根为，当即a>0时，；当即时，；当即时，；综上所述：当时， ；当时，当时，.5. 已知函数.（1）若，求；（2）若时，函数恒有意义，求实数的取值范围；（3）函数在区间上的最大值与最小值之差为1，求实数的值。解答 (1) 所以3分 (2) 即：当时恒成立，当时，当时,恒成立，当时恒成立即：，所以7分(3) 令由（2）知，(i)若，则的对称轴，则,所以,(ii)若，则的对称轴，则,

18、所以,与矛盾（iii）若，则的对称轴，则所以，根据题意，有,其中满足条件，综上：或12分6. 已知函数是定义在(-,+)上的奇函数.(1)求的值；(2)求函数的值域；(3)当，恒成立，求实数t的取值范围.高&考%资(源、网 c解析 (1)f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,即f(-x)=-f(x)恒成立,f(0)=0. 即1-=0, 解得a=2. (2)y=,2x=,由2x>0知>0, -1<y<1,即f(x)的值域为(-1,1). (3)不等式tf(x)2x-2即为2x-2. 即:(2x)2-(t+1)·2x+t-20.设2x=u, x(0,1,u(1,2. u(1,2时u2-(t+1)·u+t-20恒成立. ,解得t0. 5. 2014·江苏卷 已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：