双曲线教学设计.docx

1、2.2双曲线问题：我们知道，平面内与两定点的距离之和为常数(大于两个定点间的距 离)的点的轨迹是椭圆。那么，平面内与两个定点的距离之差为非零常数(小于两 个定点间的距离)的点的轨迹是什么呢？2. 2.1双曲线的标准方程如图2-2-1-L取一条拉链，先拉开一部分，将一支剪短，把长的一支的端 点固定在昌处，短的一支的端点固定在F2处，把笔尖放在M处，笔尖随拉链的 拉开或合上，就画出一条曲线，再把短的一支的端点固定在R处，把长的一支 的端点固定在F2处，同样画出另一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，每图 2-2-1-1一条叫做双曲线的一支【想一想】类比椭圆方程的推导过程,应当怎样建立坐标系，推导双

2、曲线的方程？平面内与两个定点Fi,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|FR|且不等于 零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点Fi, F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间 的距离叫做焦距。如图2-2-1-2,取过焦点国,F2的直线为x轴, 线段FB的垂直平分线为)，轴，建立平面直角坐标 系。设M(x, y)是双曲线上的任意一点，双曲线的 焦距是2c (c>0),那么R, F2的坐标分别是(-c, 0), (c, 0).又设点M与Fi,F2的距离之差的绝对值等 于常数 2a (c>a>0),则点M适合条件|岫|"| = ±2。又因为"| =J(x +

3、c)2 + y2,|ME | = J(x-c)2 + y2 于是得方程J(+ C)2 + -2 - J(x_c)2 + .2 = ±2a化简，得由双曲线的定义可知2c>2a>0,即c>a,所以c2-a2 >0.设决-疽二胪(b>0)，代入上式得【想一想】类比焦点在y轴上 的椭圆的标准方程，你能 说出，焦点在y轴上的双 曲线的标准方程吗？b2x2 -a2y2 =a2b2 ,22二一与=1 (a>0,b>0)a b两边同时除以"得因此，双曲线上任意一点的坐标都满足方程;反之，我们可以证明，如果点M(x, y) 的坐标满足方程，那么点M一

4、定在双 曲线上，因此，方程是双曲线的方程，通 常把方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在X轴上，焦点是Fi (-c, 0), F2(c, 0),这里 c2 =a2 +b2 o如图2-2-1-3,如果双曲线的焦点在y轴 上，焦点是R(0, -c), F2(O, c),则只要将方 程中的X, y互换，就可以得到它的方程为东专 T(a>O，b>。)这个方程也是双曲线的标准方程.22尤 y 1一例1.求双曲线77一云=1的焦点坐标与焦距。169解：由双曲线的标准方程可知。2=16,。2=9,又因为c2=a2+b2,所以c = Jq2 + 力2 = J16 + 9 = 5从方程可

5、以看出，焦点在X轴上，因此焦点是F1 (-5, 0), F2(5, 0),焦距为10。例2.已知两点R (-5, 0), F2(5,0),求与它们的距离之差的绝对值是6的点的轨迹方程.解：由双曲线定义可以知道，所求点的轨迹是双曲线，且该双曲线的焦点在x轴上，由题意可知c=5,2a二6,所以b2=c2=52 32=42因此，所求方程是:x2即:例3.x216=1已知双曲线的焦点在x轴上，a=2,并且双曲线经过点A(),求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在工轴上，且a二2,因此可设双曲线的标准方程为又因为双曲线经过点A(-妤|),所以解得 时=5 所以这个双曲线的标准方程为土 一土_ = 1

6、；A组j 1、口答下列各题：22|(1)双曲线土-匕=1的焦点在轴上，焦点坐标是!16 922|(2)双曲线土 = 1的焦点在轴上，焦点坐标是!88；2、写出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) a=2,焦点为 Fi(-3, 0), F2(3,0)；:(2) a=2,焦点为 Fi(0,3), F2(0, 3).1.求下列双曲线的焦点坐标与焦距:(1) x2-y2=4； y2-x2=l ；(3) 9r -16x2认为双曲线与-土 = 1 (aO,bO)cT b =144j 2.已知双曲线的焦点在y轴上，。=2灰,并且双曲线经过点A(2, 一 5),。求双曲线的标准!方程.I2. 2.2双曲线的

7、几何性质类比研究椭圆几何性质的方法，我们根据双曲线的标准方程来研究它的几何性质.22x y异一 p = l (a>。，b>0)【想一想】类比椭圆几何性质的研究，你(1)范围由标准方程可知,双曲线上的点的坐标有哪些性质?如何研究这(X, J )都满足不等式些性质?2->1,即x2>«2a所以这说明双曲线在两条直线二a, X二-a的外侧.(2) 对称性类比研究椭圆对称性的方法，容易得到，双曲线关于坐标轴和坐标原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，坐标原点是双曲线的对称中心，双曲 线的对称中心叫做双曲线的中心。(3) 顶点在标准方程中，令y二0,得I二土 a

8、,因此双曲线和x轴有两个交点A, (-a, 0)，A2(a, 0).因为工轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点， 它们叫做双曲线的顶点。令尸0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点，但 我们也把Bi (0, -b), B2(0, b) El在y轴上,如图2-2-2-1所示。线段A02叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴,BR叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长【想一想】椭圆的离心率刻画了椭圆 的扁平程度，双曲线的离心率 刻画了双曲线的什么几何特 征？(4) 渐近线如图2-2-2-2,经过点MA2分别作y轴的平行线

9、户土a,经过点B” B?分别 作工轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线 的方程是y = ±-x,从图13-11中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两 a条直线逐渐接近但不相交。x2 /_1我们把这两条直线> =±工叫做双曲线= 1的渐近线。aa b(5) 离心率双曲线的焦距与实轴长之比e =',a叫做双曲线的离心率，因为c>a>0,所以双曲线的离心率e>l.由等式 C2-a1 =b2可得a2-1=妒旨，因此e越大，2也越大，即渐近线ay=±°尤斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就

10、从扁狭逐渐变得开阔，由 a此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。22在方程&-J = l中，如果。=饥那么双曲线方程为注y2=/,它的实轴和 a b虚轴长都等于M,这时，四条直线x = ±a,y = ±a围成正方形，渐近线方程为y = ±x,它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。像这样实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。它的离心率为2 = 后例1.求双曲线5/一4、2=20的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率和渐近线方程，并画出它的近似图形.解：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长q = 2,虚半轴长人=右,因此=疽 +方2 =。4

11、 + 5=3所以两焦点的坐标是R(-3, 0), F2(3, 0)o离心率渐近线方程为y=±4x双曲线的图形如图2-2-2-3示。图 2-2-2-3例2.已知双曲线的两个顶点的坐标是(0, -4) , (0,4),离心率为°,求双曲线的标准方程。解：由已知条件得,a = 4,e = l，焦点在y轴上，因此从而 b5 I B组iI221'I 1、己知双曲线与-与=1的焦距等于8,渐近线的斜率等于±上，求”a,b,e的|aI 2 b23j = c2 a2 =62 A2 = 20因此双曲线的标准方程是16 20说出下列双曲线的顶点坐标: 尤2一 "=6 ； y2-4x2 =16。! 2、求下列双曲线的实轴、虚轴的长和离心率：22(1) - 土 = 1