2026年江苏高中提前自主招生考试数学试卷试题（含答案详解）

南通市2026年九年级提前自主招生模拟试卷数学试题卷·试卷类型:B卷·注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共4页，满分共100分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置。3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。第I卷（选择题）（共30分）选择题（共10题，每题3分，共30分）1．如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．求的值，可令，则，因此．参照以上推理，计算的值为（

）A． B． C． D．3．已知，，，是非零实数，和是方程的解，和是方程的解，则的值为（

）A． B． C．1 D．4．对于函数，下列说法正确的有（）个①图象关于轴对称；②有最小值；③当方程有两个不相等的实数根时，；④直线与的图象有三个交点时，A．1 B．2 C．3 D．45．如图，菱形中对角线与相交于点F，且，若点P是对角线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，使得，连接，则在点P的运动过程中，线段最小值为（

）

A．4 B．6 C．6 D．126．如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（

）．A． B．C． D．与的长短关系不确定7．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（）

A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）8．如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则等于（）A． B． C． D．9．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（）A．18° B．20° C．28° D．30°10．在中，，且边，分别以三边为边作三个正方形（如图所示放置），顶点恰好在边上，边与边交于点，构造矩形，记其面积为，边与边交于点，构造矩形，记其面积为，则当时的长为（

） B．9 C． D．第II卷（非选择题）（共70分）二．填空题（共5题，每题4分，共20分）11．已知：，则________．12．如图，的弦，直径于是劣弧上一点，连结并延长交的延长线于点，连结，则的值为___________．13．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为___________．14．如图，四边形是边长为4的菱形，分别以A、B两点为圆心，大于2的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，直线交边于点E，且，连接，则________．15.平面直角坐标系中，已知点在直线上，且满足，则______．三．解答题（共5题，每题10分，共50分）16．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”．(1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是________；(2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为________；(3)如图2，A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8．①若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过________秒时，点R是P和Q的幸福中心；②若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．17．阅读下面材料：子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．请回答：在图2中，的度数是．参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点，若，，求BE的长度．（2）如图4，已知线段，线段绕点旋转，且，连接，以为边作正方形，连接．求线段的最大值．18．如图直角坐标系中，以M（3，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．（1）若C点坐标为（0，4），求点A坐标．（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM=45°，若存在，求出满足条件的点P．（3）过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．19．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合），①求证：△ABD≌△ACE；②求证：（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．

20．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．答案选择题题号12345678910答案DCDBBADBAA填空题11.12.8013.14.15.解答题16.(1)或1(2)7①或；②当时，的值为定值30（1）解：设点F表示的数为x，由题意得，，∴或，∴或，∴A的幸福点F所表示的数应该是或1，故答案为：或1；（2）解：设点F表示的数为m，由题意得，∴，当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；∴当时，，即此时点F和点M和点N的幸福中心，∴满足题意的整数m有，∴F所表示的所有数中，整数之和为，故答案为：7；（3）解：①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心，∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，∵点R是P和Q的幸福中心，∴，∴，当时，，解得，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，解得，符合题意；综上所述，经过秒或秒，点R是P和Q的幸福中心；故答案为：或；②设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，∴，，，∴，∵的值为定值，∴的值与t无关，∴，∴，∴，∴当时，的值为定值30．（1）（2）解：绕点顺时针旋转得到，，四边形是正方形，，，，，，，，故答案为：；（1）解：过点作交的延长线于点，如图3所示：，，，四边形是正方形，设，根据子薇的结论，，，，，，在中，，即，整理得，，解得，即；（2）解：过点作，取，连接，如图所示：在等腰中，，在正方形中，，，，，，在和中，，，，在中，利用三角形三边关系可知，且当三点共线时，，即，线段的最大值为．（1）A（﹣2，0）；（2）P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；（3）AN的长不变为6．（1）如图①，连接CM，在Rt△COM中，OC=4，OM=3，CM==5，∴AM=5，∴OA=2，∴A（-2，0）；（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，可得△CMP为等腰直角三角形，且CM=PM=5，故CP=5；结合题意有，；解之得：，即存在两个这样的点P；P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；（3）AN的长不变为6．如图②，连接CM，作MH⊥AN于H，则AH=HN，∵EC切⊙M，∴∠ECM=90°，∴四边形DMCF是矩形，∴∠CMH=90°，在△AMH和△MCO中，∵∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH，∠COM=∠ADM=90°，CM=AM，∴△AMH≌△MCO，∴AH=MO=3，即AN=HN+AH=3+3=6．（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）（1）①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°，；（2）过点A作AF⊥DE于点F．

∵AD＝AE，∴点F是DE的中点，∵∠DAE＝90°，∴AF＝DE，同理可证△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，∵DB＝5，BC＝7，∴EC＝5，DC＝12，∵∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠ADC＋∠CDE＋∠AED＝90°，∴∠AEC＋∠AED＋∠CDE＝90°，即∠CED＋∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°，∴DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169，∵DE＞0，∴DE＝13，∴AF＝，∴△ADE的面积为＝DE•AF＝×13×＝；（3）由（1）可知：△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，