大一(第一学期)高数期末考试题及答案

1、10.大一上学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1设f(x)cosx(xsinx),则在x设2.(A)f(0)2/、1x(x)，1x(B)f1(C)0处有(f(0)0(D).f(x)不可导.(x)33 次，则当 x1 时(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小；(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;无穷小.(D)是比(x)高阶的3.f.F若(x)x(x)0(2tx)fdt,其中f(x)在区间上(T)二阶可导且4.5.6.7.8.(A)(B)(C)0,则().函数F(x)必在 x0 处取得极大值；函数F(x)必在 x0 处取得极

2、小值；函数F(x)在 x0 处没有极值，但点(0,F(0)为曲线yF(xq拐点;(D)函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线yF(x)的拐点。设f(x)是连续函数,且f(x)120f(t)dt,则f(x)(A)2(B)22(C)x填空题(本大题有4小题，每小题2lim(13x)s1nxx0已知cos 二是 f(x)的一个原函数 xlimn12一(cos2-c-2.一xarcsinx1dx三、解答题 (本大题有9.设函数yy(x)由方程求dx.x(1x)(D)x2.4分，共16分)2n1、cos)n5小题,每小题8分，共40分)exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0)

3、.10.g(x)并讨论g(x)在 x0处的连续性.-yy13 .求微分方程xy2yx1nx满足四、解答题(本大题 10 分)14 .已知上半平面内一曲线yy(x)(x0),过点(01),且曲线上任一点M(xo,yo)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的 2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题 10 分)15 .过坐标原点作曲线y1nx的切线，该切线与曲线y1nx及 x 轴围成平面图形 D.(1)求 D 的面积 A;(2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分)16.设函数f(x)

4、在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q0,1,q1f(x)dxqf(x)dx00.f(x)dx0f(x)cosxdx017.设函数f(x)在 0,上连续，且0,0证明：在,内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.(提xF(x)f(x)dx示：设0)设f(x)11.12.g(x)设函数f(x)连续,x0q求0 x11f(xt)dtlim0且x0f(x)dx.f(x)x19的解.解答一、单项选择题(本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)1、D2、A3、C4、C二、填空题(本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)1,cosx、26()C5.e.6.2x.7.2.8

5、.3三、解答题(本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)9.解：方程两边求导exy(1y)cos(xy)(xyy)0y(x)10.解:原式u171.0,yx7(1u(1xexe0ycos(xy)xcos(xy)y(0)r6.7xdx以duu)du17(-u)duu111.解:12.解:7(ln|u|71n|x7|2ln|u1|)cx7|1303f(x)dx0 xe3xdx2xx20dxxd(xxe2e34由f(0)g(x)g(x)g(0)10031(x1)2dx0_cosd(令x21sin)1f(xt)dt0 xf(x)知g(0)0Oxf(u)duxtu0 xxf(u)du02x(x

6、0)(x0)xf(u)dulim2x0 x2ym0f(x)2xxf(x)f(u)du02xA5,g(x)在x0处连续。dy13.解：dx2一 yx2dxx(Inx2dxexlnxdxC)1.一 xlnx31-y(1)-,C9Cx21xlnx3四、解答题(本大题14.解：由已知且 y10 分)x20ydxy将此方程关于x求导得2y特征方程:其通解为yCeC2e解出特征根:2x1,2.代入初始条件y(0)(0)1故所求曲线方程为:覆1e3C12x五、解答题(本大题 10 分)15.解：(1)根据题意，先设切点为(x0,lnx)由于切线过原点，解出x0A则平面图形面积1(ey0(2)三角形绕直线3,

7、C2y，切线方程：e,从而切线方程为:ey)dy1e1x=e 一周所得圆锥体体积记为lnx0-(xXO)0VI则曲线y1nx与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 一周所得旋转体体积为 V21V2(eey)2dy0D 绕直线V旋转一周所得旋转体的体积VIV2-(5e212e3)六、证明题(本大题有qf(x)dx2 小题,每小题 4 分,1qqf(x)dx共 12 分)qf(x)dxq(f(x)dx1f(x)dx)16.证明：010,q2q,1q(1q)f(1)故有：q1f(1)f(2)q(1q)f(2)0f(x)dxqf(x)dx00证毕。17.xF(x)f(t)dt,0 x证：构造辅助函数：0。其满足在0,上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()00f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx由题设，有000，F(x)sinxdx0有0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()s