高等数学（9）向量值函数的积分

1、第八章第八章 向量值函数的向量值函数的 曲线与曲面积分曲线与曲面积分1.向量值函数在有向曲线上的积分；向量值函数在有向曲线上的积分；2.格林公式，格林公式， 平面曲线积分与路径无关的条件；平面曲线积分与路径无关的条件；3.向量值函数在有向曲面上的积分；向量值函数在有向曲面上的积分；4.高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式；5.场论简介场论简介8.1.向量值函数在有向曲线上的积分向量值函数在有向曲线上的积分1.向量场概念；向量场概念；2.第二型曲线积分的概念；第二型曲线积分的概念；3.第二型曲线积分的计算。第二型曲线积分的计算。1.向量场概念向量场概念（1）第二型曲线积分的常见形式）第

2、二型曲线积分的常见形式- 当当L是一条平面或空间曲线，分别有如下积分符号：是一条平面或空间曲线，分别有如下积分符号：( , , )( , , )( , , )Lf x y z dxg x y z dyh x y z dz ( , )( , )Lf x y dxg x y dy 那么，这样的积分符号表达的是什么意思呢？那么，这样的积分符号表达的是什么意思呢？它们又是怎样计算的呢？它们又是怎样计算的呢？（2）第二型曲线积分的向量表示：引入向量符号）第二型曲线积分的向量表示：引入向量符号（1）（2）TyxgyxfyxF),(),(),( (,)Tdsdx dy ；这样形式的积分被称作第二型曲线积分。

3、这样形式的积分被称作第二型曲线积分。则（则（1）式的积分可以记为）式的积分可以记为sdyxFL ),( 类似，积分（类似，积分（2）也可以表示为三维向量（值函数）也可以表示为三维向量（值函数）内积的积分。内积的积分。（3） 如上可以看出，第二型曲线积分与向量值函数有关。如上可以看出，第二型曲线积分与向量值函数有关。 从物理学的角度看，此类积分与从物理学的角度看，此类积分与“场场”的概念有密切的概念有密切的关系。的关系。（3）“场场”的概念的概念- 在物理学中，经常遇到各种所谓的在物理学中，经常遇到各种所谓的“场场”，比如说，比如说“磁场磁场”、“引力场引力场”、“流速场流速场”等等。从物理等等

4、。从物理学的角度讲，所有的场，其共同点是：学的角度讲，所有的场，其共同点是：在空间（三维的或二维）的每一个点处，都对应着一在空间（三维的或二维）的每一个点处，都对应着一个确定的数值或向量，前者称为数量场，后者称为向个确定的数值或向量，前者称为数量场，后者称为向量场（如果数值有正有负，都可以看做向量场）。量场（如果数值有正有负，都可以看做向量场）。 从数学的角度讲从数学的角度讲，所有的这些，所有的这些“场场”，都是函数，都是函数。 平面或空间平面或空间数量场（标量场数量场（标量场-仅取非负数值）仅取非负数值），可以，可以分别看做二元或三元数量值函数；分别看做二元或三元数量值函数；平面或空间向量平

5、面或空间向量场，分别是二元或三元的向量值函数（映射）。场，分别是二元或三元的向量值函数（映射）。因为力是向量，所以力场显然是向量场。因为力是向量，所以力场显然是向量场。 引入第二型曲线积分的一个基本问题是关于力场作功引入第二型曲线积分的一个基本问题是关于力场作功的计算问题。的计算问题。2.第二型曲线积分的概念第二型曲线积分的概念（1）引例）引例 一运动质点在一个力场中从一运动质点在一个力场中从A点运动到点运动到B点，其运点，其运动轨迹是一曲线动轨迹是一曲线L，求力场对该质点所做的功。，求力场对该质点所做的功。 假设向量值函数（力场）是常值函数，所求为一内假设向量值函数（力场）是常值函数，所求为

6、一内积。但是如果向量值函数不是常值函数，即在空间或积。但是如果向量值函数不是常值函数，即在空间或平面上不同的点所对应的向量（力）大小和方向也是平面上不同的点所对应的向量（力）大小和方向也是不同的，那么所求的功，可以考虑如下合理的近似计不同的，那么所求的功，可以考虑如下合理的近似计算方式：算方式：（i）分割运动轨迹为若干小段；）分割运动轨迹为若干小段；（ii）先做每小段的近似计算（替代）先做每小段的近似计算（替代-也是向量内积）；也是向量内积）；（iii）将所有各个小段上的近似值做和（称为积分和）；）将所有各个小段上的近似值做和（称为积分和）；（iv）求分割无限加细的时候，上述积分和的极限。）求

7、分割无限加细的时候，上述积分和的极限。isisPFi )(lim0即即该式便是第二型曲线积分（该式便是第二型曲线积分（1）或（）或（2）的定义式。）的定义式。（4）（2）第二型曲线积分的定义及其符号表示的说明）第二型曲线积分的定义及其符号表示的说明（i）有向曲线弧段有向曲线弧段-起始点与终点起始点与终点（注：如果用参数（注：如果用参数表示，这里暂时先表示，这里暂时先约定约定参数增加对应曲线的正方向）。参数增加对应曲线的正方向）。L L 如果如果 表示一条有向曲线，则表示一条有向曲线，则 表示与表示与 取向相反取向相反的曲线。的曲线。 L（ii）曲线有向分划，）曲线有向分划，“微小位移向量微小位

8、移向量”与位移微分：与位移微分：， ),(iiiizyxs., 2 , 1ni 空间曲线分割点表示：空间曲线分割点表示：(,)iiisx y，平面曲线分割点表示：平面曲线分割点表示：., 2 , 1ni 下面以空间曲线为主，约定有向曲线段的起始点为下面以空间曲线为主，约定有向曲线段的起始点为),(),(111 iiiiiiTiiiizzyyxxzyxs在这里我们称为在这里我们称为“微小位移向量微小位移向量”。有向弧微元，或有向弧微元，或0000(,)sxy zA；终点为；终点为(,)nnnnsxyzB。集合集合 称为有向曲线段称为有向曲线段L的一个有向分划（分割）。的一个有向分划（分割）。 并

9、且，并且， 从从 到到 的指向与弧段的定向一致，则分割点的指向与弧段的定向一致，则分割点1 isis记记),(dzdydxsd （iii）空间有向曲线段上的）空间有向曲线段上的第二型曲线积分第二型曲线积分定义：定义：isisPFi )(lim0TzyxhzyxgzyxfzyxF),(),(),(),( 设设或表示为或表示为( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zf x y z ig x y z jh x y z k L 是定义在三维空间某个区域中的向量值函数，是定义在三维空间某个区域中的向量值函数， 是在该是在该区域中的一条有向（从区域中的一条有向（从A到到B）曲

10、线段。）曲线段。 表示该曲线的表示该曲线的有向分划，如果对于从有向分划，如果对于从 到到 的弧段上选取的任意点的弧段上选取的任意点 ，存在极限，存在极限1 isisiP称称位移微元位移微元为：为：0lim()iiisF Ps sdzyxFL ),( , , )( , , )( , , )Lf x y z dxg x y z dyh x y z dz 记记称为有向曲线称为有向曲线L上的上的第二型曲线积分第二型曲线积分，并可记为，并可记为sdzyxFL ),(也称为也称为关于坐标的曲线积分关于坐标的曲线积分。注注1：如果是平面曲线，定义是类似的，但是坐标积：如果是平面曲线，定义是类似的，但是坐标积

11、分的记法就是分的记法就是( , )LF x yds ( , )( , )Lf x y dxg x y dy 注注2：很显然，这个积分与曲线的定向是有关的。：很显然，这个积分与曲线的定向是有关的。（iv）第二型曲线积分表示为第一型曲线积分）第二型曲线积分表示为第一型曲线积分注意到注意到(,) =(,)(0)TTiiiiiiiiiiiiiixyzsxyzssssex y z dsds （,）（,）弧微分弧微分(,)iiiex y z 其中其中 是曲线在点是曲线在点 处的切向量。处的切向量。),(iiizyx因此因此0lim()()iiisF PeP ds isisPFi )(lim0dszyxez

12、yxFL),(),( 第二个等号后面的式子，就是第一型曲线积分了。第二个等号后面的式子，就是第一型曲线积分了。注：这也是教材中所给出的定义，其中特别要求切向注：这也是教材中所给出的定义，其中特别要求切向量的指向与曲线的定向一致。量的指向与曲线的定向一致。（v）曲线参数表示情况下的第二型曲线积分表达）曲线参数表示情况下的第二型曲线积分表达假设平面或空间曲线假设平面或空间曲线L,由如下参数表示由如下参数表示( )( ) ,( )xx tyy tzz t 则弧微分是则弧微分是222( )( )( ( )dsx ty tz tdt单位切向量为单位切向量为222( )( )( )( )( )( ( )x

13、 ty tz tx ty tz t（，）（，）AzyxT )(),(),( 并且并且（起点）（起点）( ( ), ( ), ( )Txyz B（终点）（终点）于是于是( , , )LF x y zds ( , , )( , , )( , , )Lf x y z dxg x y z dyh x y z dz dttztztytxhtytztytxgtxtztytxf)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 这个关系也提供了计算第二型曲线积分的主要方法。这个关系也提供了计算第二型曲线积分的主要方法。( , , )( , , )LF x y zex y z ds （3）基本性质）

14、基本性质：（：（i）与函数的线性运算可交换；与函数的线性运算可交换；（ii）对曲线的可加性（与定向协调）；）对曲线的可加性（与定向协调）；（iii）相反定向曲线的第二型曲线积分值相反。）相反定向曲线的第二型曲线积分值相反。（5）3.第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算 （1）前面给出的关系式（）前面给出的关系式（5），就是计算第二型），就是计算第二型曲线积分的基本公式。不难验证：曲线积分的基本公式。不难验证： 由参数表示的定积分中上、下限的大小，与第二型由参数表示的定积分中上、下限的大小，与第二型曲线积分的计算结果没有关系。曲线积分的计算结果没有关系。 第二型曲线积分仅与其定向有关，与参数

15、表示形式第二型曲线积分仅与其定向有关，与参数表示形式无关。无关。 （2）如果平面有向曲线是函数曲线，比如可以由函）如果平面有向曲线是函数曲线，比如可以由函数数 或者或者 表示，则分别有表示，则分别有)(xyy )(yxx ( , )( , )Lf x y dxg x y dy badxygf)( , )( , )Lf x y dxg x y dy dygyxfdc)( 注：注：上、下限分别对应曲线段的起点与终点。上、下限分别对应曲线段的起点与终点。【例【例8-1】计算曲线积分】计算曲线积分 ，L为椭圆周为椭圆周x=acost，y=bsint上对应于上对应于t 从从0到到 的一段弧的一段弧 Lx

16、dyydxI2 【例【例8-2】设有一平面力场】设有一平面力场F(x,y)=(x+y,y-x)，一质点在，一质点在F(x,y)作用下运动，求下列情形下作用下运动，求下列情形下F(x,y)所作的功所作的功（1）质点从点）质点从点A(1,1)到点到点C(4,2)沿抛物线沿抛物线y2=x的一段弧；的一段弧； （2）质点从点）质点从点A(1,1)到点到点C(4,2) 的直线段；的直线段；（3）质点从点）质点从点A(1,1)沿直线到点沿直线到点B(1,2)，再沿直线到点，再沿直线到点C(4,2) 的折线。（参见下面图示的折线。（参见下面图示8-2）C(4,2)OyxA(1,1)B(1,2)（图（图8-2

17、）【例【例8-3】计算曲线积分】计算曲线积分 其中其中L是抛物面是抛物面 与平面与平面 z=3的交线，从的交线，从 z 轴正向往轴正向往负向看，其方向为逆时针这里积分号负向看，其方向为逆时针这里积分号 表示沿闭合表示沿闭合曲线曲线L积分积分,LIx y dxzdyydz 2323224yxz L0(, )Lg xy dy ( , )( , )Lf x y dxg x y dy 注：如果在一段曲线注：如果在一段曲线L上某上某个坐标不变，比如说个坐标不变，比如说x不不变（恒为变（恒为 ），则关于），则关于x坐标的积分就是坐标的积分就是0，即，即0 x 接续【例接续【例8-3】 解：由已知，解：由已

18、知，L的方程为的方程为 2243yxzz 消去消去z得得 3122zyx可设可设L的参数方程为：的参数方程为：x=cost，y=sint，z=3( ),所以所以 20 t2230cossin( sin )3cos0Ittttdt 224200sin(1sin)3costt dttdt 46204(sinsin)0tt dt .8)264253124231( 4 【例【例8-4】设质点在力场】设质点在力场ykxjxyxyzizyxF22),( 作用下，求从原点作用下，求从原点O到点到点A(1,0,0)，再到点，再到点B(1,1,0)，最，最后到终点后到终点C(1,1,1)的折线所作功的折线所作功

19、W（图（图8-3）（图（图8-3）OABCxyz讨论。讨论。 接续【例接续【例8-4】 解：有向线段解：有向线段OA的方程为的方程为 00zy x由由0变到变到1，因此，因此dy=0dx，dz=0dx，从而有，从而有有向线段有向线段AB的方程为的方程为1220(000)0.OAxyzdxxy dyx ydzdx 01zx y由由0变到变到1，因此，因此dx=0dy，dz=0dy，从而有，从而有有向线段有向线段BC的方程为的方程为 11yx z由由0变到变到1，因此，因此dx=0dz，dy=0dz，从而有，从而有12220(0011)1.BCxyzdxxy dyx ydzdx故故.3111310

20、 W122201(010).3ABxyzdxxy dyx ydzydy 8.2 8.2 格林公式格林公式平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件1.格林公式格林公式2.平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件3.原函数与全微分方程原函数与全微分方程1.格林公式格林公式 格林公式，可以看做一般的斯托克斯公式的特例，格林公式，可以看做一般的斯托克斯公式的特例，也可以看做牛顿也可以看做牛顿-莱布尼茨公式的推广。而一般形式莱布尼茨公式的推广。而一般形式的斯托克斯公式，也被称为整个微积分学的基本定的斯托克斯公式，也被称为整个微积分学的基本定理。牛顿莱布尼茨公式，仅仅是一元

21、微积分学的基理。牛顿莱布尼茨公式，仅仅是一元微积分学的基本定理。本定理。 解释和证明一般形式的斯多克斯公式属于高级微积解释和证明一般形式的斯多克斯公式属于高级微积分学，需要较多的其它方面的数学知识。分学，需要较多的其它方面的数学知识。 这里只对格林公式作较详细的阐述。理解其基本这里只对格林公式作较详细的阐述。理解其基本内涵，对于较深刻的理解微积分学是有意义的。内涵，对于较深刻的理解微积分学是有意义的。（1）几个预备概念）几个预备概念（i）平面区域的）平面区域的单连通单连通；复连通复连通；（ii）平面）平面连通区域边界曲线的定向约定连通区域边界曲线的定向约定；（iii）使复连通区域转换为单连通区

22、域的）使复连通区域转换为单连通区域的“手术手术”-增设边界曲线。增设边界曲线。（2）格林公式（定理）格林公式（定理）dxdyyPxQdyyxQdxyxPDL )(),(),(其中其中 是单连通区域；是单连通区域； 是该区域的定向边界曲线，是该区域的定向边界曲线，且分段光滑；且分段光滑； 与与 都是在区域内具有连都是在区域内具有连续偏导的二元函数。续偏导的二元函数。 ),(yxP),(yxQLD（i）定理内容：有如下等式）定理内容：有如下等式注：注：该公式对于有有限个洞的复连通区域也是成立的该公式对于有有限个洞的复连通区域也是成立的。 适当手术转换为单连通区域适当手术转换为单连通区域-增加区域内

23、的切割线，使其转换为单连通区域增加区域内的切割线，使其转换为单连通区域-并注意边界曲线的定向以及曲线积分的方向规定。并注意边界曲线的定向以及曲线积分的方向规定。（ii）公式证明简述）公式证明简述 首先考虑曲线所围区域兼有首先考虑曲线所围区域兼有x型区域和型区域和y型区域特型区域特点的情况，分析积分，可得公式成立；点的情况，分析积分，可得公式成立； 然后考虑将一般区域分割成若干此类区域（可以无然后考虑将一般区域分割成若干此类区域（可以无限），以及新增边界（复式边界）上积分的抵消。限），以及新增边界（复式边界）上积分的抵消。（3）利用格林公式做积分计算）利用格林公式做积分计算【例【例8-5】计算】

24、计算 其中其中L是是 （图（图8-8），取正向），取正向,LIydxxdy 2 21 yx（图（图8-8）O1xy1-1-1LD【例【例8-6】计算】计算 其中其中L是由直线是由直线 x+y=1位于第一象限的线段及圆弧位于第一象限的线段及圆弧 x2+y2=1位于第二象限的部分组成，方向如图位于第二象限的部分组成，方向如图8-9所示所示()(),yLIxy dxxyedy 2 22 23 3（图（图8-9）O1xy1-1LDABC 接续【例接续【例8-6】解：作线段解：作线段 ，则，则 构成闭曲线构成闭曲线ABCA，取正向，取正向，设其所围成的区域为设其所围成的区域为D，P=x2-2y，Q=3x

25、+ye y 在在D上满上满足格林公式条件，所以有足格林公式条件，所以有CACAL255(2 )(3)(32).24yABCADxy dxxyedydxdy 又又CA的方程为的方程为110 xy故有故有12212(2 )(3)(0).3yCAxy dxxyedyxdx 于是于是2(2 )(3)yABCAIxy dxxyedy 2(2 )(3)yCAxy dxxye dy .6114532)421(5 【例【例8-7】计算】计算.LydxxdyIxy 2 22 2（1）L为为x2+y2=a2（a 0），其方向取为逆时针方向；），其方向取为逆时针方向；（2）L为一条不过原点的光滑闭曲线，取逆时针方向

26、为一条不过原点的光滑闭曲线，取逆时针方向（图（图8-10）OxyLD1l 接续【例接续【例8-7】解：解： （1）因为被积函数中的）因为被积函数中的(x,y)位于曲线位于曲线L上，故满足上，故满足L的方程，因而先将的方程，因而先将L的方程的方程x2+y2=a2(a0)带入被积函数带入被积函数表达式化简，再用格林公式有表达式化简，再用格林公式有2222122 .LLDydxxdyIxdyydxdxdyxyaa （2）设）设D是闭曲线是闭曲线L所围的区域，当点所围的区域，当点 时，函时，函数数 在在D内具有一阶连续内具有一阶连续偏导数，且偏导数，且D )0 , 0(2222),(,),(yxxyx

27、QyxyyxP 由格林公式得由格林公式得220.Lydxxdyxy D )0 , 0(当点当点 时，时， 在在D内存在间断点内存在间断点(0,0)，故不，故不能直接应用格林公式。取充分小正数能直接应用格林公式。取充分小正数r，以原点，以原点O为圆心，为圆心，以以r为半径，在为半径，在D内作一个小圆周内作一个小圆周l，并设，并设L与与l所围成的所围成的区域为区域为D1，如图，如图8-10所示所示.xQyP ,函数函数P,Q在在D1上满足格林公式条件，所以上满足格林公式条件，所以.)(22222yxxyyPxQ 于是于是2222LlydxxdyydxxdyIxyxy 22lydxxdyxy 其中其

28、中l - 表示与表示与l方向相反的闭曲线方向相反的闭曲线.设设l - ： 则有则有,20 ,sin,cos ryrx22220sin (sin )cos ( cos )2 .lydxxdyrrrrdxyr 故故.2 I2222Llydxxdyydxxdyxyxy 1()0.DQPdxdyxy 注意：注意：在格林公式中，若取在格林公式中，若取P= -y, Q=x，则有，则有11(11),22LDxdyydxd 这恰是区域这恰是区域D的面积的面积.因而可用下列公式计算区域因而可用下列公式计算区域D的面的面积：积：1.2LSxdyydx 【例【例8-8】求椭圆】求椭圆 x=acost，y=bsint

29、 所围图形的面积所围图形的面积注：利用上述公式，代入参数直接计算。注：利用上述公式，代入参数直接计算。2.平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件（1）讨论两个问题）讨论两个问题（i）如果曲线积分与路径无关，仅仅与曲线的起）如果曲线积分与路径无关，仅仅与曲线的起点与终点有关，会给积分的计算带来什么便利？点与终点有关，会给积分的计算带来什么便利？（ii）能不能举一个物理学中的例子，说明积分与）能不能举一个物理学中的例子，说明积分与曲线所选择的路径无关。曲线所选择的路径无关。 什么情况下可能是有关的呢？什么情况下可能是有关的呢？（2）平面曲线积分与路径无关的条件（）平面曲线积分与路

30、径无关的条件（定理定理8-2） 在平面区域内两个被积函数都有连续的一阶偏导，在平面区域内两个被积函数都有连续的一阶偏导，则如下四个命题等价：则如下四个命题等价：（i）对区域内任意一条分段光滑的封闭曲线）对区域内任意一条分段光滑的封闭曲线L（ii）对于区域内的任何一条分段光滑的曲线段）对于区域内的任何一条分段光滑的曲线段L（不（不必封闭），曲线积分必封闭），曲线积分 的值与路径无关；的值与路径无关；LPdxQdy （iii）存在区域内的某个二元函数）存在区域内的某个二元函数u(x,y)，使得使得( , )du x yPdxQdy，即即 是某个函数的全微分；是某个函数的全微分；PdxQdy 0 L

31、QdyPdx；（iv）在区域内下面等式处处成立）在区域内下面等式处处成立.xQyP 注：显然（注：显然（i）（）（iii）（）（iv）都是平面曲线积分与路径）都是平面曲线积分与路径无关的充要条件。无关的充要条件。证明简述：循环证明，其它的都很显然，只有（证明简述：循环证明，其它的都很显然，只有（ii）推（推（iii）需要做一点说明。关键是构造一个原函数）需要做一点说明。关键是构造一个原函数 ),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu因为因为积分与路径无关，该函数是合理定义的积分与路径无关，该函数是合理定义的。注注1：这里也给出了：这里也给出了 是某个函数的全微分的是某个函数的全微分的充要

32、条件。在很多情况下是很有用处的。包括解方程。充要条件。在很多情况下是很有用处的。包括解方程。PdxQdy 注注2：条件中要求函数定义域是单连通的很重要。例如：条件中要求函数定义域是单连通的很重要。例如利用定义求偏导，根据条件得其微分。利用定义求偏导，根据条件得其微分。2222),(,),(yxxyxQyxyyxP 尽管有尽管有22222)(yxxyyPxQ 但在原点出，两个函数都不连续，上面的偏导自然在但在原点出，两个函数都不连续，上面的偏导自然在原点处不连续。前一节的例题原点处不连续。前一节的例题8-7表明，在曲线所围区表明，在曲线所围区域含有原点的情况下，围道积分的值不是域含有原点的情况下

33、，围道积分的值不是0.注注3：显然，在曲线积分与路径无关的时候，计算曲线：显然，在曲线积分与路径无关的时候，计算曲线积分，可以换一条易于计算的路线，不拘泥于原来所积分，可以换一条易于计算的路线，不拘泥于原来所给的曲线。给的曲线。（3）利用与路径无关的条件计算积分的例子）利用与路径无关的条件计算积分的例子【例【例8-9】计算曲线积分】计算曲线积分 LxxbadyaxyedxyxbyeI),0, 0(cos)(sin L为从点为从点A(2a,0)沿曲线沿曲线 到点到点(0,0)的弧的弧（图（图8-13）22xaxy （图（图8-13）OxyaA2a分析：先观察积分是否用分析：先观察积分是否用途路径

34、无关；如果积分途路径无关；如果积分与路径无关，寻找最简与路径无关，寻找最简明的积分路线。明的积分路线。 具体计算如下：具体计算如下： 接续【例接续【例8-9】解：解：12sincos ().xxLLIeydxeydyb xy dxaxdyII对于对于I1，由，由yeyyexyexxxcos)sin()cos( 知，积分与路径无关，选择线段知，积分与路径无关，选择线段 故故.0: xxyOA1sincos0.xxLIeydxeydy 对于对于I2，L的参数方程为：的参数方程为：)0(sin,cos ttaytaax故故2()LIb xy dxaxdy 0(cossin ) (sin )(cos

35、)cosb aatatat dta aatatdt .21212322ababa 所以所以原积分原积分.2)22(3221abaIII 接续【例接续【例8-9】【例【例8-10】设当】设当x0时，时，y=f (x)可导，且可导，且f (1)=2，对，对x0内任何光滑闭曲线内任何光滑闭曲线C有：有： （1）求函数）求函数f (x)的表达式；的表达式； （2）计算）计算 其中其中L是从点是从点A(1,0)到点到点B(2,3)的一段弧的一段弧 LdyxxfydxxI,)(43 Cdyxxfydxx. 0)(43（图（图8-14）Oxy1A2CB(2,3) 接续【例接续【例8-10】解解：（：（1）由

36、已知积分与路径无关，故）由已知积分与路径无关，故所以所以,yPxQ )()(43xfxfxx 即即.4)(1)(2xxfxxf 解一阶线性微分方程得解一阶线性微分方程得1123( ) 4.dxdxxxcf xex edxcxx 由由f (1)=2，可得，可得c=1，故，故.1)(3xxxf （2）由已知积分与路径无关，选择折线（图）由已知积分与路径无关，选择折线（图8-14）：）：.2:,0: yyxCByxxAC故故334( )4( )ACCBIx ydxxf x dyx ydxxf x dy23310102 (2)51.2dxdy3.全微分形式的原函数与全微分方程全微分形式的原函数与全微分

37、方程（1）二元函数的）二元函数的原函数原函数概念概念注：这里的原函数概念，是对一个全微分形式而言的，注：这里的原函数概念，是对一个全微分形式而言的，事实上是相对于一对函数二元而言。比如说一对函数事实上是相对于一对函数二元而言。比如说一对函数P，Q，如果满足都有连续的一阶导数，且满足如果满足都有连续的一阶导数，且满足QPxy 则有具有连续二阶偏导数的函数则有具有连续二阶偏导数的函数u(x,y)（可以相差一（可以相差一个常数项）个常数项）,使得：使得：QdyPdxduQyuPxu ;,（2）求二元原函数）求二元原函数-全微分求积全微分求积-解解全微分方程全微分方程（1）全微分求积，本质上是计算两个

38、一元函数的）全微分求积，本质上是计算两个一元函数的不定积分。不定积分。【例【例8-11】验证】验证 是是某一函数某一函数 u(x,y) 的全微分，并求出它的一个原函数的全微分，并求出它的一个原函数dyyxyxdxyxyx)2()2(2222 （2）求解全微分方程）求解全微分方程-假设微分方程具有如下形式假设微分方程具有如下形式0PdxQdyQPxy 且且则可以解出则可以解出 的原函数的原函数 ，从而得到，从而得到PdxQdy cyxu ),(xy,之间的关系。之间的关系。【例【例8-12】求微分方程】求微分方程 的通解的通解()()=xy dxxy dy2 22020解法一：直接利用全微分原函

39、数的形式，积分。解法一：直接利用全微分原函数的形式，积分。 注意选择方便的曲线起始点，可简化为注意选择方便的曲线起始点，可简化为cdxQdPyxuyx 00),()0 ,(),(解法二：利用偏导关系，分步求不定积分，如解法二：利用偏导关系，分步求不定积分，如)(332yxyxuyxxu )(22yyyxyu 接续【例接续【例8-12】-具体计算过程具体计算过程解解：因：因P=x2+y，Q=x-2y，且，且.1 yPxQ所以原方程是全微分方程，显然所以原方程是全微分方程，显然P,Q及及 在全平在全平面上连续，去面上连续，去x0=0，y0=0，故，故xQyP ,00( , )( ,0)( , )x

40、yu x yP xdxQ x y dy 200(2 )xyx dxxy dy .3123yxyx 所以原方程的通解为所以原方程的通解为.3123cyxyx 其中其中c为任意常数为任意常数. 接续【例接续【例8-12】另解】另解另解另解：由于原方程是全微分方程，所以有：由于原方程是全微分方程，所以有,2yxxu .3123cyxyx 方程通解为方程通解为两边对两边对x积分，得积分，得),(31),(3yxyxyxu ).()(3123yxyxyxyyxyu 所以所以由此得，由此得， ，故，故 . 从而从而yy2)( 2)(yy ,31),(23yxyxyxu 附录：附录：下节准备知识下节准备知识

41、-有向面积微元有向面积微元的几何解释。的几何解释。xydSrr dxdy (,)Tdydz dzdx dxdy （1） 考察向量积考察向量积 各个分量的几何意义各个分量的几何意义 xyrr 123(,) ,Txrxa a a 123(,) .Tyryb b b 设设 则则 在三个坐标平面上的投影（向量）为：在三个坐标平面上的投影（向量）为： ,xrx yry 122331Pr(,) ;Pr(,) ;Pr(,) ;TxyxTyzxTzxxrxa arxa arxa a 122331Pr ()(,) ;Pr ()(,) ;Pr ()(,) .TxyyTyzyTzxyryb bryb bryb b

42、根据向量积的代数表示，有根据向量积的代数表示，有 设有设有z型曲面，考虑如下定义和表示的向量（即所型曲面，考虑如下定义和表示的向量（即所谓谓有向面积微元有向面积微元）223311332211(,)xyxyTr dxr dyrxryabababababab 223311332211,abababababab由行列式的几何意义，下面三个行列式由行列式的几何意义，下面三个行列式恰好就是以恰好就是以 和和 为邻边的平行四边形，为邻边的平行四边形，在三个坐标平面上投影所得平行四边形的面积（有在三个坐标平面上投影所得平行四边形的面积（有向向-即即可正可负可正可负）。这三个面积可合理看做所在平）。这三个面积

43、可合理看做所在平面的面积微元（当然也是可正可负的），即有：面的面积微元（当然也是可正可负的），即有： yry xrx 2233,abdydzab 33112211,.ababdzdxdxdyabab注：有一个初等的几何结论注：有一个初等的几何结论-给定直角坐标空间一个给定直角坐标空间一个平行四边形平行四边形 ，则，则 面积的平方，等于该四边形在面积的平方，等于该四边形在三个坐标平面上投影所得三个平行四边形面积的平三个坐标平面上投影所得三个平行四边形面积的平方和，即方和，即SS222)()()()(zxyzxySSSS 这是勾股定理的一个推广（推论）。前面关于有向这是勾股定理的一个推广（推论）。

44、前面关于有向面积微元的几何解释，得到的就是这个结果。面积微元的几何解释，得到的就是这个结果。总结一下这里的结论，由定义和前述讨论可知：总结一下这里的结论，由定义和前述讨论可知：xydSrr dxdy (,)Tdydz dzdx dxdy 是曲面的法向向量，其三个分量恰好是法平面上近是曲面的法向向量，其三个分量恰好是法平面上近似替代小块曲面的那个平行四边形在三个坐标平面似替代小块曲面的那个平行四边形在三个坐标平面上投影的有向面积（可正可负）。而该向量（有向上投影的有向面积（可正可负）。而该向量（有向面积微元）的大小，正是该四边形的面积。面积微元）的大小，正是该四边形的面积。（2）依然考虑）依然考

45、虑有向面积微元有向面积微元 xydSrr dxdy |,xydSrrdxdy 回忆前面讨论第一型曲面积分时的面积微元（一个回忆前面讨论第一型曲面积分时的面积微元（一个数值）是数值）是 若记若记 0,xyxyrrnrr 则有则有xydSrr dxdy 0,xyxyxyrrrr dxdyn dSrr 作为空间直角坐标系中的单位向量作为空间直角坐标系中的单位向量 的坐标表的坐标表示可记为示可记为0n0(cos ,cos,cos )Tn 其中的其中的 分别是向量分别是向量 与与x,y,z三个坐标轴的夹角。三个坐标轴的夹角。 ,0n注意到面积微元注意到面积微元 就是法平面上一小块平行四边形就是法平面上一

46、小块平行四边形的面积的面积 ，而该法平面与三个坐标平面，而该法平面与三个坐标平面yOz,zOx,xOy之间的夹角也分别是之间的夹角也分别是 ，根据前面（，根据前面（1）的讨论，）的讨论，可知可知dS ,dSdSdS cos,cos,cos其实也分别是其实也分别是 在三个坐标平面上投影的面积（有在三个坐标平面上投影的面积（有向）。向）。dS注：根据定义方式可知注：根据定义方式可知 yrxrbabayrxrbabayrxrbabayxyxyx 221111333322cos,cos,cos 8.3向量值函数在有向曲面上的积分向量值函数在有向曲面上的积分1.曲面的侧与定向；曲面的侧与定向；2. .第

47、二类曲面积分的定义；第二类曲面积分的定义；3. .第二类曲面积分的计算。第二类曲面积分的计算。1.曲面的单、双曲面的单、双侧侧，曲面，曲面定向定向与有向与有向面积微元面积微元（1）可定向曲面可定向曲面-双侧曲面双侧曲面的概念；的概念；单侧曲面单侧曲面的例子的例子-莫（默）比乌斯带莫（默）比乌斯带。本教材约定本教材约定-只讨论可定向曲面，即双侧曲面。只讨论可定向曲面，即双侧曲面。 可定向曲面与可定向曲面与有向曲面有向曲面-可定向曲面总有两种不同的可定向曲面总有两种不同的定向。定向。 函数曲面定向的约定说法：上、下侧（函数曲面定向的约定说法：上、下侧（z型曲面）；型曲面）；前、后侧（前、后侧（y型

48、曲面）；左、右侧（考型曲面）；左、右侧（考x型曲面）；型曲面）；内、外侧（封闭曲面）。内、外侧（封闭曲面）。 封闭曲面的封闭曲面的内侧内侧与与外侧外侧。回顾前一章中回顾前一章中曲面类型的约定曲面类型的约定：x、y、z型曲面。型曲面。光滑曲面总可以适当分割，看做上述三种曲面的组合。光滑曲面总可以适当分割，看做上述三种曲面的组合。（2）有向面积微元有向面积微元：dSnSd0 上一节提到的面积微元是一个标量，现在是一个向量。上一节提到的面积微元是一个标量，现在是一个向量。该向量的方向就是给定的曲面方向该向量的方向就是给定的曲面方向-由一侧的法向量由一侧的法向量所确定。所确定。 一般以右手系作为三维空

49、间的定向，有如下的形式一般以右手系作为三维空间的定向，有如下的形式关系：关系：( , )( , );( , )( , )( , ).( , )y zz xdudvdydzdudvdzdxu vu vx ydudvdxdyu v ( , )( , )( , )(,)( , )( , )( , )(,)uvdSr dur dvy zz xx ydudvu vu vu vdydz dzdx dxdy ，便得到如下形式表示：便得到如下形式表示： 注意，假设调换注意，假设调换u、v的顺序，就给出相反定向的曲的顺序，就给出相反定向的曲面微元：面微元：( , )( , )( , )(,)( , )( , )

50、( , )vudSr dur dvy zz xx ydvduv uv uv u ，（1）（2）不难看出（不难看出（1）与（）与（2）式给出的是方向相反的向量。）式给出的是方向相反的向量。如果只是将空间的定向改为左手系，会怎样？如果只是将空间的定向改为左手系，会怎样？ 面积微元面积微元：假设曲面是由参数表示的，这也是最：假设曲面是由参数表示的，这也是最一般地表示方式，即有面积微元一般地表示方式，即有面积微元回顾一下前一章曾讨论过的一些内容回顾一下前一章曾讨论过的一些内容uvdSrr dudvxydSrr dxdy或者或者等等。等等。( , )( , )( , )(,)( , )( , )( ,

51、)uvy zz xx yrru vu vu v，）（1 ,)1 ,(yxyxzzyzxzrr 附录附录1：曲面的法向量（某一侧的）曲面的法向量（某一侧的）：附录附录2：二维空间线性变换下的某些几何关系：二维空间线性变换下的某些几何关系。设有。设有11122122xxaaxuuuvyaavyyvuv 下面给这个变换关于面积转换关系的一个解释。下面给这个变换关于面积转换关系的一个解释。 平面，一个是平面，一个是 平面。平面。 上面的（上面的（1）式，可以看做是从前一个平面（空间）式，可以看做是从前一个平面（空间）到后一个平面（空间）的线性映射。到后一个平面（空间）的线性映射。 设有两个由直角坐标系

52、给出的二维向量空间，一个是设有两个由直角坐标系给出的二维向量空间，一个是uOvxOy（1）根据这个映射，根据这个映射， 坐标空间中的标准正交基坐标空间中的标准正交基uOv 10,01vuee分别对应到分别对应到 中的向量为中的向量为xOy, uyuxeuyeuxyx和和.xyxxyveevvyv 于是于是 平面中由平面中由 （的线段长度为边）所（的线段长度为边）所确定的矩形，对应到确定的矩形，对应到 平面中由平面中由uOvvuveue ,xOy(),xyxxyueeuuuuyu ().xyxxyveevvvvyv 所确定的所确定的平行四边形。从面积的角度讲，这个线性映射平行四边形。从面积的角度

53、讲，这个线性映射将将 平面中面积为平面中面积为 的平行四边形，映射成的平行四边形，映射成 平面中面积为平面中面积为dudvuOvxOy( , )|( , )x ydudvu v uOvxOy的平行四边形。反之，这个映射的逆映射将的平行四边形。反之，这个映射的逆映射将 平面平面中面积为中面积为 的平行四边形，映射为的平行四边形，映射为 平面中面平面中面积为积为dxdy1( , )( , )|( , )( , )u vx ydxdydxdyx yu v 的平行四边形。的平行四边形。在计算积分在计算积分时，积分变换中面积微元的变换公式（时，积分变换中面积微元的变换公式（1）所反映的就是这种关系。所反

54、映的就是这种关系。 换句话说，如果我们要用换句话说，如果我们要用 平面中的面积微元表示平面中的面积微元表示uOvxOy 平面中的面积微元，便有如下形式等式：平面中的面积微元，便有如下形式等式：( , )|( , )x ydxdydudvu v 附录附录3：关于面积微元变换的另一个解释。：关于面积微元变换的另一个解释。 考虑二维平面向量空间到自身的一个变换。给这个考虑二维平面向量空间到自身的一个变换。给这个向量空间的一组基，基向量记为向量空间的一组基，基向量记为 ， 。设。设udvd( , )0 |( , )x yu v 因此在给定点（的偏导数）因此在给定点（的偏导数），以如下方式，以如下方式(

55、 , )|( , )x yu v xxdxdudvuv yydydudvuv 的坐标变换表示矩阵为：的坐标变换表示矩阵为：udvd给出二维向量空间的另一组基，由此也确定了空间到给出二维向量空间的另一组基，由此也确定了空间到自身的一个满秩线性变换，以自身的一个满秩线性变换，以 和和 这两个向量为基这两个向量为基；xyuuxyvv其行列式还是：其行列式还是：同样可得同样可得ydxd dudv ( , )|( , )x yu v 引入引入符号符号 （类似还有（类似还有 等）表示由向等）表示由向量量 与与 （几何表示的线段为邻边）所确定平行四（几何表示的线段为邻边）所确定平行四边形的有向面积。即有边形

56、的有向面积。即有ydxd dudv xdydxdydydxd |2.第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义TzyxRzyxQzyxPkzyxRjzyxQizyxPv),(),(),(),(),(),( （列向量表示）。（列向量表示）。（ii）问题解决的基本方法）问题解决的基本方法-分划成小的曲面块儿；分划成小的曲面块儿；小区域流量近似：小区域流量近似：（1）引例）引例 （i）问题的表述）问题的表述 -不可压缩流体在单位时间内，向指定一侧不可压缩流体在单位时间内，向指定一侧通过一通过一曲面曲面S的流量的流量 ； -假设知道流体在假设知道流体在每一点处的流速每一点处的流速（向量场）：（向量场）：

57、 iiiiiiiiiiiiSzyxnzyxvSzyxv ),(),(),(0；做和：做和：0(,)(,)(,)iiiiiiiiiiiv x y zSv x y zn x y zS ；取极限取极限0lim(,)lim(,)(,).iiiiiiiiiiiv x y zSv x y zn x y zS 如果该极限存在，记为如果该极限存在，记为 SSdSzyxnzyxvSdv),(),(00lim(,)lim(,)(,).iiiiiiiiiiiv x y zSv x y zn x y zS （2） 第二型曲面第二型曲面（对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分）的定义）的定义两种定义式及其常见表示形式：两种定

58、义式及其常见表示形式：SA dS 0( , , )( , , )SA x y zn x y z dS 0lim(,)(,).iiiiiiiA x y zn x y zS lim(,);iiiiA x y zS （i）.严格独立定义（简约符号表示）：严格独立定义（简约符号表示）：（ii）利用第一型曲面积分定义（简约符号表示）：）利用第一型曲面积分定义（简约符号表示）：（iii）第二型曲线积分表示为）第二型曲线积分表示为对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 SRdxdyQdzdxPdydz 在这个积分表达式中，需要了解一些转换关系。记在这个积分表达式中，需要了解一些转换关系。记2210(cos ,co

59、s,cos ) , coscoscos1.n 可知，可知， ， ， 分别是曲面法向量与分别是曲面法向量与x,y,z三个坐标三个坐标轴之间的夹角，也是在对应点处曲面切平面分别与轴之间的夹角，也是在对应点处曲面切平面分别与yOz，zOx，xOy平面的夹角。由平面的夹角。由 dydzdS coscosdSdzdx cos dSdxdy 可有关系式：可有关系式：coscosdxdydydz coscosdzdxdydz coscosdzdxdxdy 。或者（在分母不为或者（在分母不为0时）：时）： coscoscosdxdydzdxdydz 以及类似的：以及类似的：确定其一侧方向的定向曲面。由于面积微

60、元确定其一侧方向的定向曲面。由于面积微元dxdydzdxdydz,本身没有给定方向规定本身没有给定方向规定，所以在给出具体的第二型曲，所以在给出具体的第二型曲面积分时，不仅要给出曲面面积分时，不仅要给出曲面S的解析表示，还要说明的解析表示，还要说明其定向。其定向。 尽管这个表示形式是从前面的形式关系推导中给出尽管这个表示形式是从前面的形式关系推导中给出的，但它也仅仅是一个的，但它也仅仅是一个形式表达式形式表达式。其符号表示具有。其符号表示具有一定的局限性，不可能将所有蕴含的信息都表现出来。一定的局限性，不可能将所有蕴含的信息都表现出来。注：在这个表示中，曲面表示符号所标示的必须是注：在这个表示