二次函数中的几何变换问题

1、精选优质文档-倾情为你奉上【中考压轴题专题突破】二次函数中的几何变换问题1如图，已知二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，且a0）的图象经过点A（3，6），并与x轴相交于B、C两点（点B在点C右侧），且SABC12，ACB45°（1）求二次函数的解析式；（2）若D是线段AC上一点，且以D、O、C为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标；（3）设直线y1为直线l，将二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l的上方，图象其余的部分不变，得到一个新图象，问是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于AC的直线？若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由2

2、已知二次函数yax22ax+c（a0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB1：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，Q（m，0）是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M，是否存在点Q，使得M恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3已知二次函数yax2+4x+c（a0）的图象是经过y轴上点C（0，2）的一条抛物线，顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）且平

3、行于y轴的一条直线点P是对称轴上位于点A下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB（1）求这个二次函数的表达式及顶点A的坐标；（2）当ACB45°时，求点P的坐标；（3）将CAB沿CB翻折后得到CDB，问点D能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P的坐标，若不能，说明理由4小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数ya1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与ya2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1+a20，b1b2，c1+c20，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数yx2+3x2的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数yx2+

4、3x2可知，a11，b13，c12，根据：a1+a20，b1b2，c1+c20，求出a2、b2、c2，就能确定这函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数yx2+3x2的“旋转函数”；（2）若函数yx2+mx2与yx22nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2018；（3）已知函数y的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y互为“旋转函数”5如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数yx2+4x1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为

5、直线与y轴和 x轴的交点，点E 是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 （2）求直线BD的表达式（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由6把二次函数yx2+bx+c的图象沿y轴向下平移3个单位长度，再沿x轴向左平移1个单位长度后，得抛物线M，其顶点恰好落在y轴上点（0，1）【解决问题】请直接写出抛物线M的函数表达式，并求b、c的值【探索研究】小明在抛物线M上

6、任意找了一个点P（m，n），以点P为圆心，OP长为半径画圆，他观察发现所画出的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线相切，请判断他的发现是否正确？并说明理由【理解应用】将抛物线M的图象绕原点O顺时针旋转90°得抛物线N，C为抛物线N上一动点，点Q的坐标为（1，1）、直接写出OCQ周长的最小值 【中考压轴题专题突破】二次函数中的几何变换问题参考答案与试题解析1解：（1）如图1中，作AEx轴于EA（3.6），SABC12，×BC×612，BC4，ACB45°，CEAE6，BE2，B（1，0），C（3，0），二次函数经过A、B、C三点，解得，抛物线的解析式为yx

7、2+x（2）如图2中，由（1）可知B（1，0），C（3，0），A（3，6）BC4，AC6，当DOCABC时，有，即，DC，过D作DMx轴于M，则CDE是等腰直角三角形，CEDE，OE，D（，）当ODCABC时，有，即，CD，同理可得D（2，1），综上所述点D坐标为（2，1）或（，）（3）如图3中，直线AC的解析式为yx+3，设所求直线的解析式为yx+m，设直线l：y1与抛物线的左边的交点为P，则过P平行AC的直线与新图象有3个不同公共点，令y1，则x2+x1，交点x1，P（1，1），代入yx+m得m2+，yx+2+设l下方部分翻折后的抛物线为L，则与AC平行且和L相切的直线也符合条件，L的解析

8、式为y（x+1）2+4，由消去y得x2+4x+2m70，由题意0，164（2m7）0，m，直线为yx+，综上所述返回条件的直线的解析式为yx+2+或yx+2解：（1）由题意画出草图，如图1，在二次函数yax22ax+c中，对称轴为直线x1，则OH1，FHOC，HB3，B（4，0），由抛物线的对称性知A（2，0），A（2，0），B（4，0）；（2）如图2，COB的内心I在对称轴上，对称轴为x1，I（1，1），过点I作IMOC于M，作INBC于N，则IMCINC90°，IMIN，ICIC，CMICNI（HL），CNCMc1，同理，BIHBIN（HL），BNBH3，BCCN+BNc+2，在

9、RtOCB中，OC2+OB2BC2，即c2+42（c+2）2，解得，c3，将点B（4，0）代入yax22ax+3中，得，16a8a+30，解得，a，yx2+x+3；（3）如图3，点M'落在y轴上时，过点M作MHy轴于H，则HMOB，CHMCOB，由翻折可知，MCM'C，M'CNMCN，MNy轴，M'CNMNC，MCNMNC，MCMN，将B（4，0）代入ykx+3，得，k，yBCx+3，Q（m，0），M（m，m+3），N（m，m2+m+3），当点N在点M上方时，CMNMm2+m，HMm，解得，m10（舍去），m2，Q（，0）；当点N在点M下方时，CMNM（m2+m

10、），HMm，解得，m10（舍去），m2，Q（，0）；综上所述，Q的坐标为（，0）或（，0）3解：（1）由抛物线的对称性可知，抛物线的图象经过点（0，2）和点（4，2），则，解得，yx2+4x+2，当x2时，y6，点A的坐标是（2，6）；（2）如图1，过点C作CEAH，过点P作PFAC于F，则CE2，AE4，AC，AFPAEC90°，FAPEAC，AFPAEC，FCP45°，CFPF设CFPFm，则AF2m，m+2m2，m，PH，P（2，）；（3）当点D落在x轴的正半轴上时，如图2，CDAC，又OC2，OD4，由对称性可知APPD，设PHm，则APPD6m，在RtDPH中，有

11、PH2+HD2PD2，即m2+22（6m）2，解得，；当点D落在y轴的负半轴上时，如图3，CDAC，由对称性可知DCPACP，又AHOC，DCPAPC，APCACP，；当点D落在x轴的负半轴上时，如图4，CDAC，又OC2，OD4，DHAP6，连接AD，直线CH是线段AD的中垂线，又点P在直线AH上，点P与点H重合，P3（2，0）综上所述，点P的坐标为：、P3（2，0）4解：（1）由yx2+3x2函数可知a11，b13，c12由a1+a20，b1b2，c1+c20，得a21，b23，c22函数yx2+3x2的“旋转函数”为yx2+3x+2；（2）由yx2+mx2与yx22nx+n互为“旋转函数

12、“，得2nm，2+n0解得n2，m3当m2，n3时，（m+n）2018（23）2018（1）20181；（3）当y0时，（x+1）（x4）0，解得x1，x4，A（1，0），B（4，0）当x0时，y×（4）2，即C（0，2）由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（4，0），C1（0，2）设过点A1，B1，C1的二次函数yax2+bx+c，将A1，B1，C1代入，得，解得，过点A1，B1，C1的二次函数yx2+x2y（x+1）（x4）x2+x+2函数可知a1，b1，c12由a1+a20，b1b2，c1+c20，得a2，b2，c22y（x+1）（x4）

13、的“旋转函数”为yx2+x2经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y（x+1）（x4）互为“旋转函数”5解：（1）yx2+4x1图象的顶点x2，y3，点A的坐标为（2，3），当x0时，y1，点C的坐标为（0，1）；（2）直线AC的解析式是y2x1，过点A并与AC垂直的直线记为BD，k，直线BD的表达式为：；（3）存在菱形DERP时，P1（8，0），Q1（0，），R1（4，1）；菱形DREP时，P2（，0），Q2（0，），R2（，1）6解：【解决问题】平移后的抛物线M，顶点为（0，1），a抛物线M的函数表达式为：yx21根据平移规则，抛物线M向上平移3个单位长度，向右平移1个单位长度得原抛物线原抛物线函数表达式为：y（x1）21+3x2x+b，c【探索研究】小明的判断正确，理由如下：过点（0，2）且平行于x轴的直线即直线y2过点P作PA直线y2于点A，如图1点P（m，n）在抛物线M上nm21OP2m2+n2m2+（m21）2m2+m4m2+1m4+m2+