北师大版八级上册 第五章 5.8 三元一次方程组 教案

1、.5.8三元一次方程组教案教学目的知识与技能：1.理解三元一次方程和三元一次方程组的概念.2.会解简单的三元一次方程组.3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想.过程与方法：通过三元一次方程组的解法练习,培养学生的分析才能,能根据题目的特点,确定消元方法、消元对象.培养学生的计算才能、训练解题技巧.情感态度与价值观：让学生通过自己的探究、尝试、比较等活动去发现一些规律,体会一些数学思想,从而激发学生的求知欲望和学习兴趣.教学重难点【重点】使学生会解简单的三元一次方程组,经过本课教学,进一步熟悉解方程组时“消元的根本思想和灵敏运用代入法、加减法等解方程组.【难点】针对方程组的特

2、点,选择最正确的消元方法.教学准备【老师准备】料想学生在解三元一次方程组过程中存在的困难.【学生准备】总结、回忆解二元一次方程组的方法.教学过程一、导入新课导入一:有甲、乙、丙三种货物,假设购进甲3件、乙7件、丙1件,共需3.15元;假设购进甲4件、乙10件、丙1件,共需4.20元.如今购进甲、乙、丙各1件,共需多少钱?处理方式想一想,如何列方程组解决实际问题,让学生在回忆二元一次方程组应用的根底上列出方程组,这里有三个要求的量,怎么办?学生预设直接设单价分别为x,y,z元,用它们可以表示哪些等量关系?顺理成章,直截了当,容易理解.解:设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元,y元,z元.根据题意

3、得3x+7y+z=3.15,4x+10y+z=4.20.这是一个一次方程组,这里有几个未知数?怎样解这个方程组呢?板书课题:8三元一次方程组今天,我们就一起来研究如何解三元一次方程组.导入二:过渡语为了创立省级文明城市,我校参加区中学生运动会的有28名运发动,其中男运发动比女运发动的2倍多4人,求男、女运发动各多少人.、处理方式在多媒体上展示,让学生说出如何解、设、列出方程组,也是对二元一次方程组的回忆.实际上,有不少问题中会含有更多的未知数,对于这样的问题,我们将如何来解决呢?板书课题出示教材引例:甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的2倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.处理方

4、式让学生在回忆二元一次方程组应用的根底上列出方程组,这里有三个要求的量,直接设这三数分别为x,y,z,用它们可以表示哪些等量关系?顺理成章,直截了当,容易理解.设计意图在二元一次方程组的根底上,让学生理解这个方程组和前面学过的二元一次方程组的区别和联络,未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个,所含未知数的项的次数都是一次.2、 新知构建过渡语什么是三元一次方程及三元一次方程组呢?1、三元一次方程及三元一次方程组思路一:过渡语请同学们想一想,通过观察,方程所含未知数的个数及次数与之前所学的方程组有何区别?用自己的语言表达规律.在这个方程组中,x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数

5、,并且所含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做三元一次方程.像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组.三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解.处理方式鼓励学生进展大胆的发现,用比较发现的方法总结相关结论.在活动中让学生发现不同,得出相关结论,尽量由学生归纳得出,老师可以给予适当的指导.对定义的理解给学生留足时间.设计意图通过创设问题情境,引入新课,使学生理解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题,强调审题时抓住的三个等量关系,从而表示成以上三个方程,这个问题的解答必须同时满足这三个条件,因此,把这三个方程联立起来,成为x+y+z=23,

6、2x+y-z=20,x-y=1,引出三元一次方程组的概念.思路二:出示以下问题:有人问甲、乙、丙三人的年龄.甲说:“我们三个人的年龄之和为23.丙说:“甲的年龄比乙大1岁,甲年龄的2倍与乙年龄的和比丙大20岁.聪明的你能算出甲、乙、丙的年龄各是多少吗?师:我们先尝试下设3个未知数怎么解决这个问题.解:设甲的年龄为x岁,乙的年龄为y岁,丙的年龄为z岁,根据题意得x+y+z=23,x-y=1,2x+y-z=20.在老师的引导下,让学生认真观察这三个方程的特点,给此方程组下一个定义.师:出示三元一次方程组的概念:这种由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组.提示三元一次方程组与一

7、元一次方程及二元一次方程组的关系.2、三元一次方程组的解法引导学生回忆前面所学二元一次方程组解法的根本思想消元,以及消元的根本方法代入消元、加减消元,尝试对x+y+z=23,2x+y-z=20,x-y=1进展消元,从而解决教材引例.步骤1:选取一种方法解此三元一次方程组,由学生独立考虑解决,老师注意标准板书.步骤2:在学生独立选择方法解决的根底上,引导学生进展比较:在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组时的消元有什么不同?解上面的方程组时,你能先消去未知数y或z,从而得到方程组的解吗?处理方式先让学生独立考虑,然后在学生充分考虑的前提下,进展小组讨论,在此根底上由学生代表答复,老师适时地

8、引导与补充,力求通过学生观察、考虑与讨论后能得出要点,老师板书用代入法消元的求解过程,强调解题的格式.多媒体展示解题方法及过程设计意图让学生体会将三元转化成二元的消元思路,尝试用代入或加减的消元方法来解决.3、自主探究1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进展.2.用代入消元法:由于方程组中式的特点,可将式分别代入,式,消去x,从而转化为关于y,z的二元一次方程组再求解.3.用加减消元法:由于式中没有含z,可以将,式联立相加,消掉z,从而转化为关于x,y的二元一次方程组再求解.4.总结求解三元一次方程组的整体思路消元,实现三元二元一元的转化.在消元过程中,消“谁都行,用哪种消元方

9、法代入法、加减法均可,但假如选择方法适宜,可进步计算的效率.处理方式给学生留3分钟的时间交流,比较一下两种方法的特点,针对不同的方程组,先分析其特点,再选取消元法.设计意图想让学生深化理解代入消元法和加减消元法的特点,在解题时直接选对方法,少走弯路,进步解题效率.4、跟踪训练解方程.1x+y+z=26,2x-y+z=18,x-y=18. 2x+y+z=10,2x+3y+z=17,3x+2y-z=8.处理方式方程组1是在课本例题的根底上,改变数据所得,因为此题的意图是让学生模拟老师的做法自行操作的题,所以尽量让各项系数简单一些,让学生练习时感觉愉悦一些.方程组2是三个方程均含有三个未知数的三元一

10、次方程组,和学生一起探求出解决的整体思路.然后让学生自行求解,使其进一步理解三元一次方程组的求解方法,培养计算才能.设计意图结合新课导入二中列出的方程组,类比前面所学二元一次方程组的解法,得到解三元一次方程组的整体思路消元,并找出相应的消元方法.求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路:三元二元一元,关键在于消元.知识拓展1.三元一次方程组中一共含有三个未知数,并不一定每个方程都含有三个未知数.2. 三元一次方程组与二元一次方程组有很多类似的地方,学习时可运用类比的思想方法比较三元一次方程组与二元一次方程组有关概念的一样点和不同点,这样不仅能加深对概念的理解,还能进步对“元和“次的认识,而

11、且可以逐步进步类比分析和归纳概括的才能.三、课堂总结四、课堂练习1.以下方程组不是三元一次方程组的是A.x+y=12y+z=-23y=6B.x2-4=0y+1=xxy-z=-3C.x=22y=-3x-z=1D.y-x=-1x+z=32y-z=0解析:由题意知含有三个不同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1次,并且一共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组.A.满足三元一次方程组的定义,故A选项错误;B.x2-4=0,未知数x的次数为2次,不是三元一次方程,故B选项正确;C.满足三元一次方程组的定义,故C选项错误;D.满足三元一次方程组的定义,故D选项错误.应选B.2.三元一次方程组

12、x+y=1,y+z=5,z+x=6的解是A.x=1y=0z=5B.x=1y=2z=4C.x=1y=0z=4D.x=4y=1z=0解析:由得y=5-z,由得x=6-z,将和代入,得11-2z=1,z=5,x=1,y=0,方程组的解为x=1,y=0,z=5.应选A.3.解三元一次方程组3x-y+z=4,2x+3y-z=12,x+y+z=6.解析:因为三个方程中z的系数一样或互为相反数,所以应用加减法来解.解:+得5x+2y=16,+得3x+4y=18,得方程组5x+2y=16,3x+4y=18,解得x=2,y=3.代入得2+3+z=6,z=1.方程组的解为x=2,y=3,z=1.五、板书设计8三元

13、一次方程组一、三元一次方程及三元一次方程组二、三元一次方程组的解法三、自主探究四、跟踪训练六、布置作业、教材作业【必做题】教材习题5.9第1,2题.【选做题】教材习题5.9第4题.、课后作业【根底稳固】1.方程组z=x+y,2x-3y+2z=5,x+2y-z=3的解是A.x=3y=2z=5B.x=4y=3z=7C.x=2y=3z=5D.x=2y=2z=32.解方程组x-z=4,2y-z=1,x+y-z=-1,最简便的方法是A.直接用代入法消去xB.先用-消去x,zC.用-,-先消去zD.先用2-消去y3.解方程组3x-y+2z=3,2x+y-4z=11,7x+y-5z=1,假设要使运算简便,消

14、元的方法应选取A.先消去xB.先消去y C.先消去zD.以上说法都不对4.解以下方程组.13x-y+2z=3,2x+y-3z=11,x+y+z=12. 22x+4y-3z=9,3x-2y-4z=8,5x-6y-5z=7.【才能提升】5.设“表示三种不同的物体,现用天平称了三次,如以下图所示,那么这三种物体的质量分别是6. 甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的13等于丙数的12.求这三个数.7. 某步行街摆放有假设干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成,乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成,丙种盆景由10朵红花,18朵黄花和25

15、朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花、3750朵紫花,那么黄花一共用了多少朵?【拓展探究】8.为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗游活动,旅游团住村民家,住宿客房有三人间、二人间、单人间三种,收费标准是三人间每人每晚20元,二人间每人每晚30元,单人间每人每晚50元,旅游团共住20间客房每间都住满,旅游团如何安排住宿才可以使得住宿费用最低?并说明理由.【答案与解析】1.C解析:代入方程组,能使方程组中每个方程都成立的就是方程组的解.2.B解析:和中x,z的系数正好都一样,相减可做到“一箭双雕.3.B解析:y的系数最简单而且绝对值相等.4.提示:1x=3,y=8,z=1.2x=-1

16、,y=12,z=-3.5.34 g,28 g,8 g解析:设“的质量分别为x g,y g,z g,依三个图中的信息列出三元一次方程组x+2z=50,x+y+z=70,x+y+z=x+36,求解即可.6.解:设甲、乙、丙三个数分别为x,y,z,依题意得x+y+z=35,2x-y=5,y3=z2,解得x=10,y=15,z=10.故甲、乙、丙三个数分别为10,15,10.7.解:设步行街摆放甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆,y盆,z盆.由题意,得15x+10y+10z=2900,25x+25z=3750.由得3x+2y+2z=580,由得x+z=150,把代入,得x+2y=280,所以2y=280-x,由得z=150-x,所以4x+2y+3z=4x+280-x+3150-x=730,所以黄花一共用了24x+12y+18z=64x+2y+3z=6730=4380朵.答:黄花一共用了4380朵.8.解:设三人间、二人间、