巧用点在圆锥曲线的[内部]解题

1、巧用点在圆锥曲线的内部解题电子邮箱zyl2518006,手机号电话07342518006；QQ：406426941湖南祁东育贤中学 周友良 421600湖南祁东一中 曾令军 421600类比点在圆内、圆上、圆外我们得到：在直角坐标平面上，含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，那么容易得到：点P（x0、y0）在椭圆内部的充要条件是；在双曲线内部的充要条件是；在抛物线y2=2px内部的充要条件是y02<2px0（注：若将以上条件中的“ < ”（或“>”）改为“>”（或“<”），则条件变为点P 在圆锥曲线外部的充要条件），巧妙地应用上述结论，能使许多

2、数学问题的解决简捷明快，新颖别致。一 、求一类参数的取值范围例1 若椭圆与连结A（1，2）、B（3，4）的线段没有公共点 ，求实数的取值范围。解：因为线段AB在第一象限且斜率大于零，由图象知：当椭圆与线段AB没有公共点时，端点A、B同时在椭圆内部或同时在椭圆外部，又由A、B两点坐标的特征知，当A、B两点同时在椭圆内部时，只需 ；当A、B两点同时在椭圆外部时，只需即可，从而有或 ，结合>0，得实数的取值范围是或。例2 已知2x2+y24x0，试求满足y2mx (m>0 )的实数m的最小值。解：将2x2+y24x0, 化为（x1）2+ ，它表示中心为（1，0）的椭圆内部（包括边界），其

3、中0x2显然y2mx (m>0 )表示顶点在原点、开口向右的含焦点的区域（包括边界），如右图所示。要使椭圆内的任一点一定在抛物线的含焦点的区域内，必须且只须它们以原点为惟一的公共点，由方程组，消去 y2 得x2+(2) =0.结合图象知，当=0时，m 取得最小值。故易求得m 的最小值为4。二、解决一类对称问题例3 直线过抛物线 y2= 2px（p0）的焦点，斜率存在且不为0，试问：在抛物线上是否存在关于直线对称的两点？说明理由。解：设直线的斜率为k（k0），则其方程为y=k(x)，假设抛物线上存在两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x2y2）关于对称 ，M（x0，y0）是线段AB的中

4、点，则（y1+y2）(y1y2)=2p(x1x2) 将 y1+y2=2 y0 ，y0=k (x0)代入上式，得M（ ，pk）.由题意，点M在抛物线内部，即（pk）2<2p( )p2(1+k2)<0，这显然是不可能的，因此原假设不成立，即在抛物线上不存在关于直线对称的两点。例4、（曲线上关于某直线对称点存在的条件）若抛物线y=x2上存在两点P,Q关于直线y=m(x-3)对称，求m的数值范围。解：设P(x1,x12)Q(x2,x22)这两点斜率PQ的中点坐标又由由于中点总在抛物线之内部（横坐标为的抛物线上的点的纵坐标）例5 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。 分析：椭圆上两点，代入方程，相减得。 又，代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，则有 。 得。例6。为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。 略解：两点所在直线与联立求出交点，代入抛物线内，有，解得。三、处理一类不等式问题例7 设，求证：.证明：原不等式