太阳能小屋的设计

1、2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，

2、在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）

3、：B题 太阳能小屋的设计摘要 在建筑物外表面铺设光伏电池，使建筑物的全年发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小。本文建立数学模型，对此问题进行分析。分析发现，当贴附安装时，利用多目标优化与遗传算法得出了一种最优铺设方案，铺设费用约为20万元，35年的发电总量约为49万千瓦时，在第29年可以收回成本。当架空方式安装时，最佳的朝向为正南方向，最佳倾角为37.4，总收益比贴附安装时提高了27.5%。同时，为追求效益的最大化，我们对太阳能小屋进行了重新设计，发现小屋最佳的朝向为正南方向，屋顶夹角设计为37.4，并可求得相应最长、宽、高的具体值。关键字 光伏电池板 逆变器 优化铺设 遗传算法一问题

4、重述1.1问题背景 随着能源的逐渐枯竭，自然环境的恶化。太阳能作为一种新能源，以其无害、普遍、巨大、长久等显著优势吸引着人类的眼球，随着技术的不断提高，人们开始将建筑物与太阳能结合在一起，在不占用土地的情况下，既利用了绿色能源，又做到了“自给自足”甚至是“一给多足”，可是这种方法造价高，投资收益率低，在实际应用中存在困难，是一个需要解决的重要课题。1.2问题提炼 根据题目给出要求，有以下三个问题需要解决：问题一 贴附安装时，要使小屋的全年太阳能光伏发电总量、单位发电量的费用两个目标最优，选定光伏电池组件和相应的逆变器的容量和数量。问题二 将问题一中的贴附方式换为架空方式，根据实际气象资料可以确

5、定电池板的最佳朝向使得发电量最大。问题三 结合小屋建筑要求对小屋进行优化铺设，给出铺设及分组连接方式及逆变器的选配。1.3问题分析 对于问题一，可分为两步：a.分别考虑顶面、东、南、西、北面各自的优化铺设得出各外表面电池组的铺设。b.根据电池组件分组阵列的输出电压和总功率选配相应工作电压和功率的逆变器。对于问题二，电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，求解顶面电池最佳铺设角度，可以转化为这样的问题：假设小屋顶面与水平面的夹角可变，考察顶面与水平面夹角为多少度时全年接受的辐射量最大。对于问题三，建立在前两问的基础之上，屋顶夹角为第二问所求得的最佳倾角，设计出后，按照问题一的方法优化铺设

6、光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器。二模型假设1.在不同的时点，同一块太阳能电池的输出功率是不同的，我们认为附件给出的组件功率是一个可以代表其工作能力的均值。2.在分割后的小区域有规则的铺设，一个矩形区域只铺一种型号电池。3.当前民用电价为0.5元/kWh,假定未来35年的电价基本保持不变。4.所确定的优化铺设电池板串并联和逆变器的复杂连接在实际当中均可操作。5.假设逆变器不占用屋顶的面积，不需要考虑它的排放问题。三符号约定PV电池的序号（=1,2,324）逆变器的序号（=1,2,318）PV电池的数量逆变器的数量编号为的电池每峰瓦的价格逆变器的价格编号为的电池的峰值功率光伏电池组与

7、逆变器的总成本发电总量净收益编号为的电池的面积编号为的电池在已定铺设面一年可接收的辐射强度编号为的电池的转换效率存在倾角的屋顶的宽太阳能小屋的高太阳能小屋的宽太阳能小屋的长太阳能小屋的窗户面积（为了区别小屋的各面）四数学模型的建立及求解4.1问题一的模型结合山西省大同市的气象资料分析，北立面的光照强度很弱，不适合铺设电池板，这与遗传算法得出的结果一致，如果北立面铺设电池板会降低总体的收益。分步思考，建立模型：4.1.1切割区域由于建筑物各表面存在不能铺设的区域，所以先对每个面进行小区域的划分，下图是对南立面进行简单切割后的效果图，图中将南立面切割为S1-S9等9个形状大小各异的矩形，其他各面也

8、进行类似的切割。（具体见附件1） 图1 南立面区域切割图S2S6S7S9S3S4S5S8S14.1.2寻找切割后每个矩形区域中的最优铺设为了保证光伏组件正常工作，只允许相同型号的光伏组件进行串联，原因如下：1因为多个光伏组件串联后可以再进行并联，但是只有并联的光伏组件端电压相差不超过10%时，逆变器才可以正常工作，不同型号的电池很难满足2作为建筑物，美观也应该是我们考虑的一个因素，因此我们认为每个小矩形区域中只能铺设一种型号的电池板。尽管每个小矩形区域中只能铺设一种型号的电池板，但是对任意一个面铺设电池，铺设方案还是有很多种，我们希望是找到一种铺设尽可能使得（净收益）最大。4.1.3遗传算法求

9、解为了实现上述要求，我们采取遗传算法寻找净收益最大的铺设方案。南立面的分区最多，求解铺设方案最为复杂，以下是对南立面进行研究设计遗传算法的具体思路，其他面的设计均可用。求解南立面的遗传算法运算过程如下：1、 初始化南立面共有九个区域，因此将一个染色体分为九个基因，分别对应九个区域使用的电池编号，随机生成1000个染色体作为初始群体。生成初始种群时在一个限制条件下进行，即生成的染色体的一个基因对应电池尺寸可以被对应区域容纳。2、 计算适应度计算种群中每个个体铺设方案的年净经济效益（NR），年净经济效益为该方案年发电量乘以电价减去该方案年均成本（该方案电池总价除以使用年限35）。年净经济效益的高低

10、恰好可以作为个体的适应度。3、 选择根据适应度丢弃掉适应度最低的一半个体，即舍弃经济效益最低的一半方案。4、 交叉将种群中留下的个体两两配对，生成新的个体。5、变异以0.01的变异率将铺设方案的具体区域铺设的电池换成其它符合要求的电池。不断重复计算适应度选择交叉变异操作，进化100代后，种群中的铺设方案收敛于一种最优方案。按照以上思想写好求解程序，程序见“附录1”要想进行以上编程需要各面区域分割数据、各面辐射量数据和电池接受辐射数据。具体见下：1.各面区域分割数据根据上述的切割可以将各个面分成若干个小区域，各面区域划分数据见下表：表1 各面区域划分表所属面区域区域编号区域高区域宽顶面T1165

11、11.533700T221770.323600T333357.513600T446511.532800东立面E1532003400E2632002600南立面S173200850S286001800S398001800S4103200850S5117003600S6123200700S7139001100S8149001100S91532001200西立面W116320071002.各面辐射量数据对于各面辐射量数据，我们将大同气象数据中各个方向分三个区间进行加总，得到个方向辐射强度在区间30 200)，80 200)和200 +)的辐射量：表2 各面辐射量（单位均为W/m2）辐射强度范围全年水

12、平总辐射量全年东向总辐射量全年南向总辐射量全年西向总辐射量全年北向总辐射量30 200)12999717523317318017845719729280 200)10779111895913747910079186111200 +)1330041403440870222694344458893.电池接受辐射数据根据各面辐射量数据可以计算不同类型的电池在小屋各面全年可接受的辐射量。计算中注意以下两点：a.A型电池和B型电池都能接受大于等于80 W/m2的辐射强度，因此A型B型电池可接受的全年总辐射量是相同的，但是考虑到太阳光辐照阀值问题，辐照强度低于200W/时，A种电池转换效率转换效率的5%，

13、所以A型电池在80 200)辐射强度内需要比其它电池多乘以5%。b.小屋顶面是一个倾斜的平面，可以将其投影在水平和南面分面别计算在加总。综上求得三种类型的电池在小屋各面全年可接受的辐射量如下：表3 电池接受辐射量（单位为KWh）辐射强度范围全年顶面总辐射量全年东立面总辐射量全年南立面总辐射量全年西立面总辐射量全年北立面总辐射量A型电池可接受总辐射1474195.874409387.95877095.95699383.5550194.55B型电池可接受总辐射1598912.3915223991007701795135132000C型电池可接受总辐射1627317.3285786731043402

14、872801243181我们将这三个数据整理在“各面区域划分数据.xls”、 “各面辐射量数据.xls”和“电池接受辐射的数据.xls”三个Excel文档中， 将三个表格中需要的数据导入matlab中tqydata、fsdata和dcdata三个矩阵中，在程序中设定要求解的面运行程序，可以得到各面最优的电池铺设方案。（具体程序见附件2）4.1.4根据电池最优铺设方案选取逆变器相同型号的电池板可以直接并联接入，也可以先串联再并联接入，将每种可能性考虑在内，挑选逆变器的原则如下：1.光伏分组阵列的端电压应满足逆变器直流输入电压范围。2.光伏电池组件工作达到峰值时的总功率小于逆变器的额定功率。3.成

15、本最低原则，当逆变效率与成本最低原则发生冲突，则根据投资收益来取舍。对所得到的最优逆变器与之前求得的最优电池铺设结合成以下的电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图： 图2南立面电池组件铺设分组阵列图图3 串并联示意图 图5 串并联示意图图4东立面电池组件铺设分组阵列图 图7串并联示意图图6西立面电池组件铺设分组阵列图 图9串并联示意图图8西立面电池组件铺设分组阵列图4.1.5根据铺设计算值根据以上得出的优化铺设方案，计算小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限如下表：表4 最优铺设方案经济效益表东立面西立面南立面顶面

16、总体成本C（元）13123143671703615492019944635年发电总量Q（kWh）17139310202122741683448622135年产生的经济效益（元）43665投资回收年限（年）27.9注意：在中用到峰值功率，需要利用已知信息计算，文件中只给出开路电压Voc和短路电流Isc，查得短路电流与峰值电流存在着线性关系，开路电压与峰值电压也存在线性关系具体为Isc（短路电流）=1.05 Im（峰值电流）Voc（开路电压）=1.2 Vm(峰值电压) 1= ImVm，即可以求得峰值功率。4.2问题二的模型求解顶面电池最佳铺设角度，可以转化为这样的问题：假设小屋顶面与水平面的夹角可

17、变，考察顶面与水平面夹角为多少度时全年接受的辐射量最大。根据题目所给的附件六提供的算法和公式，设计出了两个函数，给定第几天的某个时刻，求出对应的太阳高度角和太阳方位角，根据太阳高度角、太阳方位角和顶面与水平面夹角可以求出太阳直射方向与顶面的夹角，求这个夹角时解决这一问的关键。设太阳方位角为a，太阳高度较为b，顶面与水平面夹角为c，太阳光直射方向与顶面的夹角为，是表示太阳光直射方向的向量，是顶面的一个法向量。建立空间坐标参考系，以正南为x轴正方向，正东为y轴正方向，正上方为z轴正方向，随便找出顶面上相互垂直的两个向量, 。由且得。取由求出太阳光直射方向与顶面的夹角为。顶面在太阳方位角为a，太阳高

18、度角为b的时刻接受的辐射强度可表示为：该时刻法相直射辐射强度*+该时刻水平面散射辐射强度*(180-a)/180。解决了这些问题就可以编写程序从0到90度按照0.1度的梯度寻找年发电量最大的角度。程序见附件3。求出的结果为： 表5 最优铺设方案经济效益表东立面西立面南立面顶面总体成本C（元）13123143671703615492019944635年发电总量Q（kWh）17139310202122755030361969035年产生的经济效益（元）110399投资回收年限（年）20总效益提高27.5%。4.3问题三的模型a.山西大同市位于北半球，我们选择朝向为南面b.根据问题一的分析，顶面接受

19、辐射最强，南立面次之，所以在建造房屋时我们尽可能使这两个面的面积最大，建立目标函数，根据题目确定约束条件如下，其中已知为37.4c.根据问题二的分析，为了使发电量大，我们将屋顶的夹角建为问题二中求出的最佳倾角对上述求解即可设计出一组较优的、的组合，按照这个数据建造太阳能小屋。d.对于一般屋子，窗户越大，采光越好，但对于太阳能小屋窗户大就意味着牺牲了发电量，所以在满足采光要求之下，我们希望窗户越小越好，则可以建立目标函数：对其求解可以得到东，南，北各个面窗户面积的大小。根据这些数值，设计出的太阳能小屋见下：图10 太阳能小屋示意图综上可以建造出一个实体小屋，根据问题一的方法对其进行铺设，可以得到

20、小屋的外表面优化铺设方案及分组连接方式及逆变器。五模型分析5.1模型的优点a.遗传算法在繁衍100代之后，表现出了明显的收敛性，这样求得的最优解是可靠的。b.本模型使用的方法不仅可以在小屋上可以找到优化铺设，也可以应用推广到一切可附着电池板的表面，如高速公路。c.解决问题三时，将屋顶的夹角建为37.4，即问题二得出的最优倾角，这样就没有了支架安装的费用且避免了阴影的干扰。d.问题三设计出的小屋存在挑檐、挑雨棚，很大的增加了顶面面积，从而提高发电量。5.2模型的缺点a.本模型并未考虑蓄电池在内，其实 在独立光伏系统中，蓄电池有着均衡充电的要求，因此，要尽量增加方阵在太阳强度较弱月份的发电量2.b

21、.本模型考虑尽可能使得发电量大，成本小，但是对于一个现实生活中的家庭来讲，发电量只需要满足自己的需求，即光伏电池板的产电量与实际耗电需求相近，达到供需平衡。c.问题三的解决时，为了更大的发电量，牺牲了采光面积，也就降低了这间屋子的舒适度。d.不足之处：大同处于中国北方，每年冬天都会有出现电池板被积雪覆盖的情况，这会影响太阳能电池板的正常工作。未考虑被雪覆盖时的倾斜程度。e.问题二计算最佳倾角的时候，尚未考虑到因太阳光照角度变幻引起的光伏电池那部分光照面积处于阴影之中。f.问题三设计出的小屋存在挑檐、挑雨棚，在南立面形成阴影，一定程度上影响了南立面电池的工作效率。六评价与改进a.将优化条件尽可能

22、使得发电量大改进为尽可能使得收支相抵，同时考虑蓄电池在内，可以使用最小二乘法使各月辐射量与负载的比例差的平方和最小求解最优。 b.虽然问题二选择出了最优的倾角使得电池板工作效率最高，但这只是综合考虑后的结果，对于某些月份却不是很好，所以可以在电池板的上考虑，如果有智能化控制技术，如自动跟踪太阳光的辐射，当然这样的成本会提高，但是随着科技的发展不失为一条策略。c.本题目中是将太阳板附着于建筑物之上，随着光伏建筑一体化技术的发展，我们可以直接将太阳板直接作为建筑材料，这样就避免了电池板之间存在缝隙的问题，使得利用的面积更大，也更加符合美学观念。七参考文献1企业培训网，如何选购太阳能灯具产品(doc

23、 4)，2百度文库，独立光伏系统最佳倾角计算研究 ，八附录附录1：各面分割后的具体情况南立面分割图东立面分割图西立面分割图顶面分割图附录2：求解各面电池铺设方案的遗传算法程序，在matlab R2011a中运行通过。运行之前需将“电池数据.xls”中B2:I25中的数据导入到matlab的dcdata矩阵中，将“各面区域划分数据.xls”中C3:E18的数据导入到matlab的tqydata矩阵中，将“大同辐射数据.xls” 中B7:F9的数据导入到matlab的fsdata矩阵中。%初始化函数生成一个大小为zqrongliang的种群jiyin，qydata是房子某一面墙划分区域数据，dcd

24、ata是电池数据。function jiyin,qydc=init(qydata,dcdata,zqrongliang)qydc=zeros(size(qydata,1),25);for i=1:size(qydata,1) k=1; for j=1:24 if (qydata(i,2)=dcdata(j,3)&qydata(i,3)=dcdata(j,4)|. (qydata(i,3)=dcdata(j,3)&qydata(i,2)=dcdata(j,4) qydc(i,k)=j; k=k+1; end end qydc(i,25)=k-1;endjiyin=rand(zqrongliang

25、,size(qydata,1);for i=1:size(qydata,1) jiyin(:,i)=qydc(i,ceil(jiyin(:,i)*qydc(i,25);end%求各区域选定电池最大数量function sl=maxsl(jiyin,qydata,dcdata,i,j)sl1=0;sl2=0;if dcdata(jiyin(i,j),3)=qydata(j,2) & dcdata(jiyin(i,j),4)=qydata(j,3) sl1=floor(qydata(j,2)/dcdata(jiyin(i,j),3)*floor(qydata(j,3)/. dcdata(jiyin

26、(i,j),4);endif dcdata(jiyin(i,j),3)=qydata(j,3) & dcdata(jiyin(i,j),4)sl2 sl=sl1;else sl=sl2;end%定义适应值函数，计算每种方案的近似年平均净收益作为适应值%dcdata是所有电池的数据，fsa是该面一年当中能被A类电池接受的总辐射量，fsb是该面一年当中能被B类电池接受的总辐射量，fsc是该面一年当中能被C类电池接受的总辐射量function syz=shiyingzhi(jiyin,qydata,dcdata,fsa,fsb,fsc)zqsize=size(jiyin,1);fdl=zeros(z

27、qsize,1); %该组合年发电量cb=zeros(zqsize,1); %该组合年均成本syz=zeros(zqsize,1);for i=1:zqsize for j=1:size(qydata,1) sl=maxsl(jiyin,qydata,dcdata,i,j); if jiyin(i,j)=6 fsl=fsa; elseif jiyin(i,j)=13 fsl=fsb; else fsl=fsc; end fdl(i)=fdl(i)+sl*dcdata(jiyin(i,j),3)*. dcdata(jiyin(i,j),4)/106*fsl*dcdata(jiyin(i,j),5

28、); cb(i)=cb(i)+sl*dcdata(jiyin(i,j),2)*dcdata(jiyin(i,j),9)/35; end syz(i)=fdl(i)/1000/2-cb(i); %求解南立面铺设问题时求出在S9区域铺设2块B3，但2块B3无论怎样连接都找不到合 %适的逆变器，故加入以下五行代码排除S9区域B3的使用，重新得到南立面铺设问题 %的最优解。加入这段代码并不影响其他面的求解。 if size(jiyin,2)=9 if jiyin(i,9)=9 syz(i)=0; end endend%对种群按照适应值大小采取优胜劣汰，淘汰掉年均净收益最低的一半个体 function

29、xjiyin=xuanze(qydata,dcdata,jiyin,fsa,fsb,fsc)zqsize=size(jiyin,1);syz=shiyingzhi(jiyin,qydata,dcdata,fsa,fsb,fsc);sortsyz=sort(syz(:,1); %对适应值从小到大排序ljsyz=sortsyz(floor(zqsize/2); %决定是否被淘汰的临界适应值xjiyin=zeros(floor(zqsize/2),size(qydata,1);k=1;i=1;while k=ljsyz xjiyin(k,:)=jiyin(i,:); k=k+1; end i=i+1

30、;end%将个体两两配对进行交叉，重组产生一批新个体，将个体总数补充至种群容量function xjiyin=jiaocha(zqrongliang,jiyin)machang=size(jiyin,2);zqsize=size(jiyin,1);xjiyin=zeros(zqrongliang-zqsize,machang);for i=1:floor(zqrongliang-zqsize)/2) jiaochadian=floor(machang*rand); xjiyin(i*2-1,:)=jiyin(i,1:jiaochadian) jiyin(zqsize-i+1,. jiaocha

31、dian+1:machang); xjiyin(i*2,:)=jiyin(zqsize-i+1,1:jiaochadian) . jiyin(i,jiaochadian+1:machang);endif rem(zqrongliang-zqsize,2)=1 jiaochadian=floor(machang*rand); xjiyin(zqrongliang-zqsize,:)=jiyin(i,1:jiaochadian) . jiyin(zqsize-i+1,jiaochadian+1:machang);endxjiyin=jiyin;xjiyin;%随机对某些个个体的基因进行变异操作fu

32、nction xjiyin=bianyi(jiyin,bianyilv,qydc)zqsize=size(jiyin,1);machang=size(jiyin,2);for i=1:zqsize*bianyilv bianyidian=ceil(rand*machang); jiyin(ceil(rand*zqsize),bianyidian)=qydc(bianyidian,. ceil(rand*qydc(bianyidian,25);endxjiyin=jiyin;%求解程序，设置fangxiang的数值运行程序求解对应面的铺设方案。fangxiang=1; %1,2,3,4分别代表求

33、解顶、东、南、西面的铺设问题zqrongliang=1000; %种群容量if fangxiang=1 %根据求解面读取相应面的区域划分数据 qydata=tqydata(1:4,:);elseif fangxiang=2 qydata=tqydata(5:6,:);elseif fangxiang=3 qydata=tqydata(7:15,:);else qydata=tqydata(16,:);endgens,qydc=init(qydata,dcdata,zqrongliang);for i=1:100 %进化100代终止循环 gens=xuanze(qydata,dcdata,gen

34、s,fsdata(1,fangxiang),. fsdata(2,fangxiang),fsdata(3,fangxiang); gens=jiaocha(zqrongliang,gens); gens=bianyi(gens,0.01,qydc);endsyz=shiyingzhi(gens,qydata,dcdata,fsdata(1,fangxiang),. fsdata(2,fangxiang),fsdata(3,fangxiang);m=1;for i=1:size(syz,1) if syz(i)syz(m) m=i; endendsl=zeros(1,size(qydata,1)

35、;for i=1:size(qydata,1) sl(1,i)=maxsl(gens,qydata,dcdata,m,i);enddisp(找到的电池铺设组合为：);disp(gens(m,:);disp(对应铺设数量为：);disp(sl);附录3：求解顶面电池最佳铺设角度的程序，在matlab R2011a中运行通过。需要将“电池数据.xls”中B2:I25中的数据导入到matlab的dcdata矩阵中，将题目提供的附件4_山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度表格中F4:G8763的数据导入matlab的qxdata矩阵中。%根据大同的经度求大同在t时刻的太阳时function ts=taiyangshi(t)ts=t-(120-113-18/60)/15;%计算时角function w=shijiao(t)ts=taiyangshi(t);w=15*(ts-12);%求大同市从元旦开始数第n天的赤纬角function cw=chiweijiao(n)cw=23.45*sin(2*pi*(284+n)/365);%求大同市第n天t时