最大线性无关组

1、第十二讲 向量组的最大线性无关组一、考试内容与考试要求考试内容向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基考试要求（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组；（2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩； （3）理解向量组等价的概念；（4）了解内积的概念，了解规范正交基；（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵注 考研数学二、三不考向量空间等概念，

2、对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容二、知识要点引入 当方程组（）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。线性表示：，对没有要求，且线性相关：，存在不全为零；线性无关：，只能全为零n维向量组1定义定义1 设有向量组（I）：，满足（1）有个向量线性无关，不妨设向量组：线性无关；（2）向量组（I）中任意个向量（若有的话）都线性相关称向量组是向量组（I）的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无

3、关向量组）最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记作或例：向量组，是线性相关的但：，；：，；：，都是线性无关，都是最大无关组定义1有等价的描述形式如下：定义 设有向量组（I）：，满足（1）有个向量线性无关，不妨设向量组：线性无关；（2）向量组（I）中任一向量都能由向量组线性表示；称向量组是向量组（I）的一个最大线性无关向量组证明 由定义1证明定义在向量组（I）中任取一个向量，若在中，则可由所在的向量组线性表示，如若不在中，由的线性无关性及向量组（I）中任意都线性相关性，知可由线性表示由定义证明定义1自己证明2注意（1）向量组最大无关组一般不惟一；（2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的

4、秩惟一；（3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身；（4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法： 由的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n维向量组 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性：若，向量组线性相关；若，向量组线性无关（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示但应注意，若矩阵与矩阵行（或列）等价，则的行（或列）向量组与的行（或列）向量组等价。3性质（1）单位坐标向量组是的一个最大无关组；证明 线性无关，而中的任意n+1个n维向量一定线性相关，由定义得证

5、另外，除单位坐标向量组是最大无关组外，还可以有多个最大无关组如：，；：，；：，都是的最大无关组（2）向量组（I）与它的最大无关组是等价的；证明 设（I）：有一个最大无关组：由定义知向量组（I）中每个向量可由线性表示再证明向量组中每个向量可由（I）线性表示由于中每个向量可由线性表示，如，则，向量组中每个向量可由（I）线性表示（3）同一向量组的任意两个最大无关组是等价的；证明 设，是向量组的两个最大无关组，故由等价的对称性和传递性，有（4）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同；证明 设向量组（I）：与（II）：都线性无关，（II）可由（I）线性表示，则（见第十讲的注意2），（I）可由（II）

6、线性表示，则（见第十讲的注意2），所以（5）等价的向量组具有相同的秩；证明 设向量组（I）有一最大无关组，向量组（II）有一最大无关组，且（I）（II）由性质（2）知（I），（II），又（I）（II），所以（传递性）由性质（3）知，所以（I）=（II）（最大无关组定义）（6）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩证明 =，=，知中有一阶子式，所有阶子式均为零由本节的复习知，所在的列线性无关（添分量仍无关）；再证明的任意列向量线性相关反证法，假使中有列向量线性无关，必有阶子式不为零（见复习），又由中所有阶子式均为零，矛盾，假使不成立三、基础及综合训练例12.1 判断向量组=，=，=

7、是线性相关还是线性无关解 记，由于=，=2<向量组中向量个数，向量组线性相关例12.2问为何值时，向量组=，=，=线性无关解 存在数，使得 当 = 即时，只有零解，故线性无关例12. 3 对任意数a,b,c,线性无关的向量组是 .（A）(a,1,2), (2,b,c), (0,0,0); （B）(b,1,1), (1,a,3), (2,3,c), (a,0,c);（C）(1,a,1,1),(1,b,1,0),(1,c,0,0); (D) (1,1,1,a),(2,2,2,b),(0,0,0,c).解（C）正确。因为（A）中有零向量，必线性相关；（B）中有4个3维向量，必线性相关；对（C）

8、中向量，有而中有一个3阶子式,即，从而向量组线性无关;对(D)中向量，有 可见，从而向量组线性相关例12.4 求向量组，的秩和它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组表示解 = 为一个极大线性无关组，例12.5 设向量组（II）：能由向量组（I）：线性表示，且它们的秩相等，求证向量组（I）与向量组（II）等价证 记=，.设，故，由已知，故=由第十讲的注意2中的（2），知向量组（I）与向量组（II）等价 例12.6（数一，00，3分）设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关的充分必要条件为（ ）（A）向量组可由向量组线性表示（B）向量组可由向量组线性表示（C）向量组与向量组等价（D）矩阵

9、与矩阵等价（D）正确。（A），（B），（C）均不是线性无关的必要条件例如：，则线性无关，但（A），（B），（C）均不成立例12.7 （数二，00，7分）已知向量组与向量组 具有相同的秩，且可由线性表示,求的值.解 已知向量组的秩为2，由于的对应坐标不成比例，故线性无关，是向量组的一个最大无关组;由于与的秩相同，故其秩为2,从而 ，即 =0 （12.1）又可由线性表示,从而可由线性表示,所以线性相关,于是，即 =0 （12.2）联立（12.1）、（12.2）式得.例12.8（数三，97，3分）设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） （B）（C） （D）解 （C）正确这一类题目，把观察

10、法与=两种技巧相结合来求解对于（A），对于（B），所以（A）、（B）均线性相关对于（C）简单加减得不到，没法直接观察而0所以（C）组线性无关解 要用到向量组的秩与向量组线性相关之间的关系，所以要用秩的性质：若，则由题设，知又是两个非零矩阵，所以有0，0得，故的列向量组线性相关，的行向量组线性相关例12.10（数三，99，3分）设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（I）：线性表示，记向量组（II）：，则（ ）（A）不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示（B）不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示（C）可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示（D）可由（I）线性表示，但不可由（

11、II）线性表示解 （B）正确提示：由题设存在，使得，这里，否则与不能由线性表示矛盾从而有即可由线性表示，可排除（A），（D）若可由（I）线性表示，即存在，使得，则有 =即可由线性表示，矛盾，可排除（C）例12.11 （数二，02，3分）设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数必有（ ）.（A）线性无关 （B）线性相关（C）线性无关 （D）线性相关解（A）正确.由题意，；因为不能由线性表示，所以线性无关.设将代入上式得 由线性无关得，即对于任意常数都有，故线性无关. 对于向量组，当时是线性相关的；而当时，可证明它是线性无关的.例12.12 已知向量组 (I): 的

12、秩为3，向量组 (II): 的秩序为3,向量组 (III) ：的秩为4证明向量组的秩序为4.证 方法1只要证明向量组线性无关.由于=3=向量的个数，故向量组(I)线性无关,而向量组(II)线性相关，从而可由线性表出，即存在一组数，有 （12.3）又设有一组数,使将代入上式并整理得由于线性无关，所以由此可得.故线性无关，即它的秩为4.方法2 利用初等变换不改变矩阵的秩，直接计算.由方法1中的式（12.3）知，对进行初等列变换有即 =4例12.13 已知线性空间的基到基的过渡矩阵为，且 ，；试求出在基 下有相同坐标的全体向量解 设,则设所求向量的坐标为 ，则，即。 因为为可逆矩阵，得，由 得，故 例12.14 设的两个基，；， （1） 求由基 的过渡矩阵； （2） 已知向量，求向量在基下的坐标；(3) 求在基下有相同坐标的所有向量解 (1) 记, (2) 由于=，并设在基下的坐标为，故有，即， 得坐标， (3) 设则 解得，故 例12.15（数三，02年，13分） 设4维向量组，,问为何值时，线性相关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出 解 方法1 由于向量组所含向量的个数等于向量的维数，故可以各向量为列构成矩阵，然后通过矩阵的行列式为零时向量组线性相关求出常数记，则 于是当0或时，线性相关 当0时，为的一个极大线性