圆锥曲线与其他知识点.jsp_

1、圆锥曲线与其他知识点相结合2012.3.23一、解答题1. 如 图 , 已 知 三 角 形 顶 点 的 坐 标 为 (-3, 0 , 在 在 轴 上 , 点 在 轴 正 半 轴 上 , (1 当点 在 轴上移动时,求动点 的轨迹 的方程; (2 设直线 与轨迹 交于 两点,点 若 为钝角,求 的取 值范围. 解答 :(1 设, 则又 所以 因为 所以 将其代入 中,得即动点 的轨迹 的方程为(2 设所以 因为 所以 所以 所以所以 即 . 联立方程组 消去 得因为直线 与轨迹 有两个交点 , 所以 由韦达定理得 . 又 两点在直线 上,所以 所以 . 将,代入中,整理得 即经验证此时 . 又所

2、以 的取值范围为.二、解答题2. 如图,设抛物线的焦点为动点 在直线上运动,过 作抛物线的两 条切线 、 ,且与抛物线 分别相切于 、 两点 .(1 求 的重心 的轨迹方程; (2 证明: 解答 :(1 抛 物 线 的 焦 点 是设 点 于 是 有即 同 理 有 即是关于 的方程的两个根,所以 设 是 所 求 重 心 轨 迹 上 的 任 意 一 点 , 则 于 是 所 以 , 点 的 轨 迹 方 程 是三、解答题 3.如图,已知椭圆 焦点为 双曲线 的顶 点是该椭圆的焦点,设 是双曲线 上异于顶点的任一点,直线 与椭圆的交点分别为 和 已知三角形 的周长等于 椭圆四个顶点组成的菱形的面积为 (

3、1 求椭圆 与双曲线 的方程; (2 设直线 的斜率分别为 和 探求 和 的关系; (3 是 否 存 在 常 数 使 得 恒 成 立 ? 若 存 在 , 试 求 出 的 值 ; 若 不 存在,请说明理由. 解答 :(1 由题意知,椭圆中 所以椭圆的标准方程为 又顶点与焦点重合,所以 所以该双曲线的标准方程为 (2 设点 在双曲线上,所以 所以2011青浦区高三期末 23题 四、解答题4. 设椭圆方程为 过点 的直线 交椭圆于点两点, 点是坐标原点,点 满足点 的坐标为,当 绕点 旋转时,求:(1 动点 的轨迹方程; (2 的最小值与最大值.解答 :(1 解法 1 直线 过点设其斜率为 ,则 的

4、方程为记 , 由 题 设 可 得 点 的 坐 标是 方 程 组 的解 .将代入并化简得 所以于是 . 设点 的坐标为 ,则消去参数 ,得,当 不存在时,中点为坐标原点 (0, 0 ,也满足方程,所以点 的轨迹方程为 解法 2 设点 的坐标为 ,因为 在椭圆上, 所以 , . -得 所以 当时,有, 并且 .将代入并整理得 .当时,点的坐标分别为 (0, 2 , (0, -2 ,这时点 的坐标为 (0,0 也满足, 所以点 的轨迹方程为(2 由点 的轨迹方程知 即 所以 . 故当 时, 取得最小值,最小值为 ; 当时,取得最大值,最大值为 五、解答题5. 如图 1,在直角梯形中,椭圆以 为焦点且

5、经过点 , (1 建立适当坐标系,求椭圆 的方程 . (2 问是否存在直线 与椭圆 交于 两点,且线段 的中点为 . 若存在,求 与直 线 的夹角;若不存在,说明理由 . (3 若点 满足,问是否存在不平行 的直线 与椭圆交于两点,且 . 若存在,求出直线与夹角的范围;若不存在,说明理由. 解答 : (1 如 图 2, 以 所 在 直 线 为 轴 , 以中 垂 线 为 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 设椭圆方程为 令 所以 所以 所以椭圆的方程是 (2 因为 时不符合题意, 所以 设 所以 所以 因为所以 即 , 所以即经验证, 与椭圆相交,所以存在 ,其与 的夹角是.(3 时不符 ,

6、 所以设 由 不存在设 的中点 , 所以 所以 所以 所以,所以,且 所以 与的夹角的范围是.六、解答题6. 已知平面上的线段 及点 任取 上一点 线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离, 记作 ( 求点 到线段 的距离 ( 设 是长为 2的线段,求点的集合 所表示的图形面积; ( 写 出 到 两 条 线 段 距 离 相 等 的 点 的 集 合 其 中是下列三组点中的一组 . 对于下列三种情形,只需选做一种,满分分别是 2分, 6分, 8分;若选择了多于一 种情形,则按照序号较小的解答计分 . 解答 :2011上海(理 23 七、解答题7. 如图,已知点 ,直线 为平面上的动点,过点 作 的

7、垂线,垂足为点 ,且. ( 求动点 的轨迹 的方程; ( 过点 的直线交轨迹 于 两点,交直线 于点 .(1 已知 ,求的值;(2 求的最小值. 解答 :解 法 一 : ( 设 点, 则 由 得 :化简得 . ( (1 设 直 线的 方 程 为 :. 设 , 又 . 联立方程组消去 得: ,由 得: ,整理得: ,所以. 解 法 二 : ( 由得 :, 所 以 ,所以,所以.所以点 的轨迹 是抛物线,由题意,轨迹 的方程为:.( (1 由 已 知, 得 , 则 : , 过点 分别作准线 的垂线,垂足分别为,则有: .由得: ,即 .(2解: 由 解 法 一 , .当且仅当 ,即 时等号成立,所

8、以 最小值为16. 八、解答题8. 已知点 在定线段上,且 一个动圆 过点 且与 相切,分别过 作圆 的另两条切线交于点 . (1 建立适当的直角坐标系,求点 的轨迹方程; (2 过 点 作 直 线 与 所 求 轨 迹 交 于 两 个 不 同 的 点 , 若 且 ,求直线 与直线 夹角 的取值范围. 解答 :(1 以直线为 轴, 的中点为坐标原点 ,建立直角坐标系 因为 或 所以点 的轨迹是以为焦点,实轴长为 2的双曲线(不包括顶点,其轨迹方 程为.(2 因为所以 设 ,则 设 代入得, 即 所以 当 时, 所以 得, 所以即 所以 解得, 故 当 时,得, ,即 因为 , 所以,即 所以 即

9、 ,故 由、得 或 则夹角 ,因为 不存在时,直线 符合条件,故时,符合题意,所以.九、解答题9. 已知椭圆 过点 (0, 3引直线 顺次和椭圆交于在之间两点 . 若 ,则 的取值范围. 解答 :设 的方程为消去 ,得,设,则 因为 ,所以 所以 所以 因为 同号,且 在 和 0之间,所以 0< 1 . 设,因为,所以 所以 . 由判别式得 所以 所以 (不存在时等号成立, 所以,解得 . ,取交集得 1,所以 -1 - 所以 十、解答题 (此处可输入试题说明 10. 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦 . 若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将该弦 称 之 为 曲 线 的垂 轴 弦

10、 . 已知 点 是 圆锥 曲 线 上不 与顶 点 重合 的 任 意 两 点, 是垂直于 轴的一条垂轴弦,直线 分别交 轴于点 和点 (1 试用 的代数式分别表示 和 (2 若 的方程为(如图,求证:是与和点 位置无关的 定值;(3 请 选 定 一 条 除 椭 圆 外 的 圆 锥 曲 线 试 探 究 和 经 过 某 一 种 四 则 运 算 (加 、 减 、 乘、除,其结果是否是与 和点位置无关的定值,写出你的研究结论并证明 . 解答 :2011徐汇高三期未 23十一、解答题11. 判断方程所表示的曲线. 解答 :当即时 , 方 程 表 示 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 ; 当即 时,方程表示焦

11、点在 轴上的椭圆;当 即时,方程表示圆心在原点,半 径为的圆;当即时,方程表示焦点在 轴上的双曲线; 当即 时,方程表示焦点在轴上的双曲线. 十二、解答题 (此处可输入试题说明 12. 已知向量,动点 到定直线的距 离等于 ,并且满足,其中 为坐标原点, 为参数 . (1 求动点 的轨迹方程,并判断曲线类型;(2 如果动点 的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率 满足 ,求实数 的取值 范围. 解答 :(1 设 点坐标为,由,且为 原点 , 所以 从而 由 所以有 整理可得: ,其为所求的轨迹方程 .当 时,得 ,轨迹为一条直线; 当 时,得; 若 ,则轨迹是圆; 若 ,则为双曲线; 若或 ,则轨迹为

12、椭圆. (2 因为 ,所以方程表示椭圆 . 对方程 , 当时 ,此 时, 而 ,所以. 当 时, 所以 ,即,所以 所以 .十三、解答题13. 已 知 双 曲 线 的 中 心 是 原 点 , 右 焦 点 为一 条 渐 近 线设 过 点的直线 的方向向量 (1 求双曲线 的方程; (2 若过原点的直线 且 与 的距离为 求 的值; (3 证明: 当时,在双曲线 的右支上不存在点使之到直线 的距离为 解答 :2011上海(文 22 十四、解答题14. 已知双曲线设过点的直线 的方向向量 (1 当直线 与双曲线 的一条渐近线 平行时,求直线 的方程及 与 的距离; (2 证明: 当时,在双曲线 的右

13、支上不存在点 ,使之到直线 的距离为 解答 :2011上海(理 21 十五、解答题15. 双曲线的中心在坐标原点,焦点在 轴上,过双曲线右焦点且斜率为 的直线交双曲线 于 , 两点 . 若 ,求双曲线的方程. 解答 :解法 1 设双曲线方程为,依题意知,点 , 的坐标满足方程组 将代入,整理得 .设 方程 的 两根 为,若,则,即 直线 与双 曲线 的 两条 渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点,与题设矛盾,所以. 根据根与系数的关系,有由于 ， 在直线 上，可记为 ， 由 整理得 得 . ， 将，代入及 所以 由 即 将，及 故所求的双曲线方程为 解法2 设双曲线的方程为 ，得 ， 也代入，并整理得 所以 所以 ， 代入，解得 . . ， . 设双曲线的右焦点为 由 得 ， 所以过 且斜率为 的直线参数方程为 为参数. 代入双曲