全国高考数学文史类试题和答案

1、12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中,A.B.C.D.2022年普通高等学校夏季招生考试数学文史类全国卷I数学文史类第I卷一、选择题：本大题共只有一项为哪一项符合题目要求的.1文cos300。等于1答案：C cos300°= cos(300 ° - 360° ) = cos( 60° ) = cos60°=-22(文)设全集 1,2,3,4,5,集合 M 1,4 , N= 1,3,5，贝U NA(M)等于()A. 1,3 B答案：C.1,5 C . 3,5 D . 4,5匚M= 2,3,5,- Nn(m =1,3,5 n 2,3

2、,5 = 3,5.3假设变量x, y满足约束条件y 0 那么z= x 2y的最大值为y 20A. 4答案:线性约束条件对应的平面区域如下图，由z = x 2y得y=-2-，当直2线 y=-2Z在y轴上的截距最小时，z取得最大值，由图知，当直线通过点A时，在y轴2上的截距最小，由，解得 A(1 , 1).所以 Zmax= 1 2 X ( 1) = 3.04.各项均为正数的等比数列 an中，a1a2a3= 5, a?a8a9= 10,那么a4asa6等于A. 5、2 B . 7 C . 6 D . 4： 2答案：A 数列an为等比数列，由 aia2a3= 5得& = 5，由a7a*a9=

3、10得as = 10,所 以 a2as= 50,即(a2a8)= 50,即a5= 50,所以 a5 = 5 -、2 (an> 0).所以a4a5a6 =a5=5.2.5(文)(1 x) 4(1 - , X )3的展开式中x2的系数是()A. - 6 B . 3 C . 0 D . 3答案：A (1 -X)4(1 - JX)3 的展开式中 X2 项为 c4 ( -X)1 C2 ( -&)2+ c4 (-2 0 2x) C3 = - 6X ,其系数为一6.6(文)直三棱柱 ABC-ABC中，假设/ BAG= 90°, AB= AC= AA,那么异面直线 BA与AG所成的角等

4、于()A. 30° B . 45° C . 60° D . 90°答案：C不妨设AB= AC= AA= 1,建立空间直角坐标系如下图，那么B(0，- 1,0),A(0,0,1), A(0,0,0), C( -1,0,1),mr二 BA, = (0,1,1)uuurAG = ( -1,0,1)umr二 cos BA ,uuuuAC1 > =UULT UUUUBA1 AC 1UUU-BA AC1UULT UJLU BA1 , AC1 >= 60°.异面直线BA与AC所成的角为60°7(文)函数f (x) = |lgx|.假设a

5、b,且f(a)= f (b)，贝Ua+ b的取值范围是()A. (1 ,+s) B . 1 ,+s)C. (2 ,+s) D . 2 ,+s)答案：C函数f(x) = |lg x|的图象如下图,由图象知a, b一个大于1, 一个小于1,不妨设a> 1,0 v bv 1.- f(a) = f(b),1 f(a) = |lg a| = Ig a= f(b) = |lg b| =- Ig b= Ig .b1 a=b a+ b= b+ - >2b - = 2b V b 8(文)F1、F2为双曲线 C: x2- y2= 1的左、右焦点，点 P在C上，/ RPF2= 60°,那么|

6、PF| PF| 等于()A. 2 B . 4 C . 6 D . 8答案：B在厶PFF2中，IF1F2I2 =|PF|2 + |PR|2 2|PF|PRI cos60°2=(| PF| - | P冋)+ |PF| P冋,即(2、,2)2= 22+ | PF| PF ,解得 | PF| I PF2| = 4.9正方体ABCAB1CD 中,BB与平面ACD所成角的余弦值为()A：3D.答案：DB(1,1,1).不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，那么D(0,0,0)，耳1,1,0),uuur平面ACD勺法向量为DB1 = (1,1,1),uuurJJLIJ JUT DB, B

7、B, JJJJ JUT DBi BBi又 BB1 = (0,0,1),uuunujur二 cos DB1 , BB, > BB与平面ACD所成角的余弦值为1 (J3)2 = 毎.Y 33110 设 a= log 32, b= ln2 , c = 5 ,那么()2A. av bv c B . bv c v aC. cv av b D . cv bv aln 2答案：C / log 32 = 2 v ln2，要比拟 log 2ln 31 11与5 =，只需比拟log 23 log 2 32与,5 =log 22 -.5 ，只需比拟 3 与 2,2> 2 = 4 >3, log 3

8、 2>5 - . cv av b.2uur UUU11.圆O的半径为1, PA PB为该圆的两条切线， A B为两切点，那么 PA PB的最小值为A. 4+、2 B . 3+、2C.- 4+ 22 D . 3+ 2.2答案：D如图，设/ APO= e,muuuu uuu 2urn 22PA PB = | PA| cos2 0= | PA | (1 2sin e )2 1=(I OP 1)(1 2 昇OP= |OP2+ 3OP；.：:：2 3,224 f当且仅当|OP2=2，即| OP =、2时，“=成立.OP12.在半径为 2的球面上有 A B C、D四点，假设 AB= CD= 2，那么

9、四面体 ABC啲体 积的最大值为()A.2.3B.3 C . 2、,3 D.38.33答案：B 不妨取AB± CD过CD作平面PCD使ABL平面PCD交AB于P.设点P到CD的距离为h,那么有V四面体ABCD=1 X 2X31 x 2X h= - h.当直径通过AB与 CD的中点时，hmax= 2 '、22 12 =.故 Vmax=、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分把答案填在题中横线上.x 213(文)不等式> 0的解集是x2 3x 2答案：x| 2vxv 1，或 x>2解析:不等式x 2x2 3x 2> 0可化为(x 2)( x2+ 3x +

10、2) >0,即(x 2)( x+ 1)( x + 2) >0,解得2v xv 1,或 x>2.原不等式的解集为x| 2v xv 1，或x> 2.14文a为第二象限的角,sin a3，那么 tan2 a5答案:24734解析：T a 为第二象限角，sin a = ,. COS a = 一55丄sin3-ta n a =.cos 4 tan2 a2ta n1 tan21 ；224715文某学校开设 A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有 种.用数字作答答案：30解析：分两类：选 A类选修课2门，B类选修课1门

11、，有C； C4 = 12种；选A 类选修课1门，B类选修课2门，有CC= 3X 6= 18种.共有12+ 18= 30种.16.F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交C于点D,uuu uuu且BF = 2FD，那么C的离心率为.答案：于2 2xy解析：如图，设椭圆的标准方程为2 +2 = 1(a>b> 0)不妨设B为上顶点，F为右abuuu uur焦点，设 D(x, y).由 BF = 2 FD，得(c， b) = 2(x c, y),(X2(c-b) 由D在椭圆上得:/3 2(2C)2a2 c 2 a三、解答题:本大题共 6小题，共70分解容许写出文字说明

12、、证明过程或演算步骤.17 10分文记等差数列an的前n项和为S，设S3= 12,且2ai, a2, a3 + 1成等比 数列，求S.答案：解：设数列an的公差为d.依题设有22a1 (a 3 1) a2a1 a2 a312亦 a12 2a|d d2 2a10即円 1a1 d 4解得 a1= 1, d = 3 或 a1= 8, d= 4.1因此 S= n(3 n- 1)或 S= 2n(5 n) 218 (12分) ABC的内角A, B及其对边a, b满足a+ b= acotA+ bcot B,求内角答案：解：由a+ b= acot A+ bcot B及正弦定理得sin A+ sin B= co

13、sA+ cos B,sin A cosA= cosB sin B,从而 sin Acos cos As in = cos Bs in sinBcos,4444sin( A- ) = sin( E).44又 0 V A+ Bvn,故 A=一B,B=442所以C=.219 (12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.假设能通过两位初审专家 的评审，那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评审，那么再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否那么不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为

14、03各专家独立评审.(1) 求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2) 求投到该杂志的4篇稿件中，至少有 2篇被录用的概率.答案：解：(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用.那么 D= A+ B C,= 0.5 X 0.5 = 0.25 , P(B) = 2X 0.5 X 0.5 = 0.5 , P(C) = 0.3 ,RD) = F(A+ B- C)=F(A) + F(B- C)=F(A) + F(B) F(C)=0.25 + 0.5 X 0.3=0.40.(2)记A表示事件：

15、4篇稿件中没有1篇被录用；A表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用； A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用.A2 = A0+ A.RA) = (1 0.4) 4= 0.129 6 ,F( A) = C4 X 0.4 X (1 0.4) 3 = 0.345 6 ,F( A2) = RA+ A) = P(Ad) + F(A)=0.129 6 + 0.345 6=0.475 2 ,F(A) = 1 R A) = 1 0.475 2 = 0.524 8.20 12 分如图，四棱锥 S ABCDK SDL底面 ABCD AB/ DC AM DC AB= AD= 1,DC= SD= 2, E为棱SB上的一

16、点，平面 EDC_平面SBC证明SE= 2EB(2)求二面角ADEC勺大小.答案：解法一：(1)连结BD取DC的中点G连结BG 由此知DG= GC= BG= 1，即 DBC为直角三角形，故 BCL BD又SDL平面 ABCD故BCL SD所以BCL平面BDS BCL DE作BKL EC K为垂足.因平面 EDC_平面SBC故BKL平面EDC BKL DEDE与平面SBC 内的两条相交直线 BK BC都垂直，DEL平面 SBC DEL EC DEL SBSB= . SD2 DB2 = .6 ,DE=SD DB = JSB 3 'EB=、DB2_DE = 6 , SE= SB- EB= 6

17、 ,33所以SE= 2EB 由 SA=AD2 =45 ,AB= 1 ,SE= 2EB,ABL SA 知 AE= JSA)2 (- AB)2V 33DP =.3=1,又 AD= 1, 故厶ADE为等腰三角形.取ED中点F,连结AF,贝U AF丄DE AF= <AD连结 FG 贝U FG/ EC FGL DE所以/ AFG是二面角A DE- C的平面角.连结 AG AG= J2 , FG= , DGDF = -6 ,3cos / AFG=AF2 FG2 AG22AF FG所以二面角ADEC勺大小为120°解法二：以D为坐标原点，射线 DA为x轴正半轴，建立如下图的直角坐标系Dxyz

18、.设 A(1,0,0)，那么 B(1,1,0) , C(0,2,0) , S(0,0,2)uur(1) SC = (0,2，- 2),uuuBC = ( 1,1,0) 设平面SBC的法向量为n= (a, b, c),uuu uuu uuuuuu由 n 丄 SC , n 丄 BC 得 n SC = 0, n BC = 0.故 2b 2c= 0, a+ b= 0.令 a= 1,贝U b= 1, c = 1, n= (1,1,1)uiruuu又设SE =入EB (入> 0),那么E(-1LULTDE =(-12,1+ 入),UUUDC = (0,2,0)设平面CDE的法向量mi= (x, y,

19、 z),UUUTUULT由 ml DE , ml DC，得UULTUULTm- DE = 0, m- DC = 0.故 一+y + - = 0,2 y= 0.1 1 1令 x = 2,贝U m= (2,0，入). 由平面 DECL平面 SBC(得 mL n, nrn = 0, 2入=0,入=2.故 SE= 2EB222111t 211由(1)知曰,-),取 DE中点 F,那么 F( , - , -) , FA=(,-,-),333333333uu uur故 FA DE = 0,由此得 FAL DEuuu 242 uuu uuur又 EC =(,),故 EC DE = 0,由此得 ECL DE3

20、33向量FA与 EC勺夹角等于二面角 ADEC勺平面角.ULU UUUULU UUUFA EC1于疋 cos FA , EC > = uuu uuu = 一，FD EC 2所以二面角ADEC勺大小为120°21 (12分)(文)函数 f(x) = 3ax4 2(3 a + 1)x2+ 4x.1(1)当a= 时，求f(x)的极值；6 假设f(x)在(一1,1)上是增函数，求 a的取值范围.答案：解:2 1(1) f '(x) = 4(x 1)(3 ax + 3ax 1).当 a= 时，f'( x) = 2( x+ 2)( x 61)2 , f(x)在(一R , 2

21、)内单调递减，在(一2, +8)内单调递增，在 x= 2时，f(x)有极 小值.所以f( 2) = 12是f(x)的极小值.(2)在(一1,1)上,f(x)单调增加，当且仅当 f '(x) = 4(x 1) (3 ax + 3ax 1) > 0,即23ax + 3ax K 0,(i )当a= 0时恒成立；(ii)当a>0时成立，当且仅当 3a l2+ 3a 1 K0 ,1解得aw .61 3a3a(iii)当av 0时成立，即3a(x+ )2- 1w0成立，当且仅当一一K0.解得2 4443 .41综上，a的取值范围是-,-.3 622 (12分)抛物线 c： y2= 4x的焦点为F,过点K( 1, 0)的直线I与C相交于 A B两点，点A关于x轴