几何分布的定义以及期望与方差的证明

1、几何分布的定义以及期望与方差几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在 n 次伯努利试验中，试验 k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前 k-1 次皆失败，第 k 次成功的概率。公式：它分两种情况：1. 得到 1 次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为1，2，3，.;2. m = n-1 次失败，第 n 次成功，m 的概率分布，取值范围为0，1，2，3，.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。概率为 p 的事件 A，以 X 记 A 首次发生所进行的试验次数，则 X 的分布列：，具有

2、这种分布列的随机变量 X，称为服从参数 p 的几何分布，记为 XGeo(p)。几何分布的期望，方差。高中数学教科书新版第三册（选修 II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）Ep1， （2）Dpp12，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。（1）由Pkqpk()1，知Eppqq pkqpqqkqpkk231232121()下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记Sqqkqkk12321qSqqkqkqkkk2121 ()两式相减，得()1121q SqqqkqkkkSqqkqqkkk1112()由01p，知01q，则limkkq 0，故1231112

3、122pqkqSqpkkklim()从而Ep1也可用无穷等比数列各项和公式Saqq111(| |)（见教科书 91 页阅读材料），推导如下：记Sqqkqk12321qSqqkqk2121()相减，()111121q Sqqqqk则Sqp11122()还可用导数公式()xnxnn1，推导如下：12321xxkxkxxxxxxxxkk () ()()()2323 ()()()()()xxxxxx1111122上式中令xq，则得1231112122qqkqqpk()（2）为简化运算，利用性质DEE22()来推导（该性质的证明，可见本刊 6 页）。可见关键是求E2。Epqpq pk qpk222221

4、23pqqk qk()12322221对于上式括号中的式子，利用导数，关于 q 求导：k qkqkk21 ()，并用倍差法求和，有12322221qqk qk()qqqkqk2323()()()()()()qqqq qqqqqqpp112 11111122242433则Eppppp23222()，因此DEEppppp22222211()()利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。例例 1. 一个口袋内装有 5 个白球和 2 个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D。解：每次从袋内取出白球的概率p 57，取出黑球的概率q 27。的

5、取值为 1，2，3，有无穷多个。我们用 k表示前 k1 次均取到黑球，而第 k 次取到白球，因此Pkqpkkk()( )( )(, , ,)11275712 3 。可见服从几何分布。所以Ep175Dpp115757142522( )例例 2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为 p（0p1）。他有 10 发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为 1，2，9，10。若k k(, , )129，则表明他前k 1次均没击中目标，而第 k 次击中目标；若 k10，则表明他前 9 次都没击中目标，而第 10 次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为Pk()()(, , )() ()112911019pp kpkkEppp pppp 112191101089()()()()()() ()12 19 110189pppp用倍差法，可求得12 19 18()()pp11119 111119 1929929()()()()()()pppppppp所以Epppppppp()()()()119 110 11192991