复习(不定积分定积分)

1、第四章 不定积分一、知识小结1.原函数 定义1 如果对任一，都有 或 则称为在区间I 上的原函数。原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。注1：设是的原函数，则也为的原函数，其中为任意常数。注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则 （C为常数）(1) 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为 ( )。A. B. C. D. 2.什么是不定积分？的全体原函数。(2) ( )。A. B. C. D. 3.两者的联系与区别？联系：它们的导数相同，都是 f (x).区别：不定积分是函数族；原函数是不定积分中的一个函

2、数。4.由原函数与不定积分的概念可得：1)2)3)4)5)5.积分公式1) (为常数)；2) ()3) ；4) 5) ；6）7）；8）9）；10）11）；12）13）； 14),15),16),17),18),19),20),21), 22)6.不定积分的性质性质1性质2，（为常数，）二、要点解析1. 直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .（1） 求。解：原式=1nm+1xnm+1+C=mm+nxm+nn+C（2）求。解：原式=sec2xdx-secxtanxdx=tanx-secx+C(3) 设 ,则（ ）。A. ; B. ;C.; D. （4）求。解：（5

3、）求。解：(6) ( )。A. B. C. D. (7) ( )。A. B. C. D. (8) 。2.第一类换元积分法设为的原函数，可微，则 称为第一类换元积分公式（凑微分）.例： =+=+。例： =-ln|cos x|+C . 即 . 类似地可得. 例：当a>0时, . 即 .例： . 即 .（1）求。解：原式=-12e-x2d-x2=-12e-x2+C（2） 求。解：设u=tanx2，则dx2+sinx=12+2u1+u221+u2du=1u2+u+1du=1(u+12)2+(32)2du=23arctan2u+13+C=23arctan2tanx2+13+C（3）求解：原式=12

4、d(x2+2x+5)x2+2x+5=12lnx2+2x+5+C（4）= 。（5）求。解：（6）求。 解：（7）求解 = = 。3.第二类换元积分法设是单调的可导函数，且在区间内部有，又设 具有原函数，则 其中为的反函数，称为第二类换元积分公式。（1） 求。解：设x=asinu-2<u<2，则a2-x2=acosu，dx=acosudu，于是x2dxa2-x2=a2sin2udu=a21-cos2u2du=a22(u-sin2u2)+C=a22arcsinxa-xa2-x22+C（2）求。令x=tanu-2<u<2，则x2+1=secu，dx=sec2udu，于是dx(x2+1)3=cosudu=sinu+C=x1+x2+C4.分部积分法称为不定积分的分部积分公式。例1：求 解： 例2：求 解： 例 3：求 解： 因此得即例4： 求. 解 令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于 . （1）求。解：原式=ln2xdx22=x22ln2x-xlnxdx=x22ln2x-lnxdx22=x22ln2x-x22lnx+x2dx=x242ln2x-2lnx+1+C （2）求。解：（3）求不定积分 。解 令，= =(4) 求。解：原式=xar