可靠度读书笔记

1、关于结构随机响应及可靠度分析的读书报告1. 引言结构在地震作用下的响应受多种不确定因素的影响，例如由于震源、传播介质和场地条件中许多自然因素的影响，地震动的强度、频率含量和持时都具有明显的随机性，从而使结构的反应也具有随机性。此外，结构反应分析中通常还包含所选用的计算模型和工程实际的符合成都以及结构进一步破坏的机制等方面的不确定性因素。因此，为了，更真实地进行地震作用下的结构安全性评价，势必要采用概率的概念和随机振动理论的方法。结构的随机响应分析包括频域内的功率谱分析和时域内的方差分析。同时结构随机响应分析可分为平稳随机响应和非平稳随机响应。对于平稳过程假定，在频域内进行分析更为容易，可以通过

2、频率响应函数求得响应的功率谱，进而获得结构响应的方差。对于非平稳过程假定，则在时域进行相关分析、进而获得方差响应更为简单。而此时结构响应的频域特征，则不易通过理论分析得到。非平稳随机响应结构随机响应平稳随机响应频域内的功率谱分析时域内的方差分析图1 结构随机响应分析方法结构随机响应分为线性结构随机响应分析和非线性系统的随机响应分析。线性体系最本质的特征是激励与响应成线性关系，从而叠加原理适用于结构的随机响应分析在一定条件下，体系的反应还可以分解为有限或无限个振型反应之和。这些都大大简化了线性体系的随机响应分析。在强烈地震作用下，结构将进入具有明显滞回性能的非线性状态。结构非线性响应分析与线性响

3、应分析的区别在于叠加原理和振型分解法不再适用，即便激励为高斯过程，结构的响应也不再是高斯过程，这使得非线性响应分析要比线性响应分析困难得多。结构随机振动分析的最终目的是要定量的评价结构的可靠性，即在概率的意义上定量地评价结构的安全程度。因此结构可靠度分析一直是非常活跃的研究领域，近年来取得了许多进展。本文主要对随机响应分析方法及动力可靠度分析方法进行综述，介绍它们的计算原理并分析了各自的优缺点。2. 随机响应的时域分析法根据结构动力学的微分方程MY+CY+KY=Xt (1)一般动力方程的数值积分格式，结构的位移和速度响应递推关系式通常可以表示为Yi+1Yi+1=A1YiYi+A2XiXi+1

4、(2)式中Yi、Yi和Xi为时刻为t=it结构的响应向量、速度响应向量和激励向量；A1和A2为确定性矩阵，依赖与结构特性和具体积分格式的参数。对上式右乘自身的转置并取数学期望，可以得到下面递推关系式Di+1=A1DiA1T+A2BiA2T+A1CiA2T+(A1CiA2T)T (3)式中Bi、Ci和Di分别定义为Bi=E(XiXiT)E(XiXi+1T)E(Xi+1XiT)E(Xi+1Xi+1T) (4)Ci=E(YiXiT)E(YiXi+1T)E(Yi+1XiT)E(Yi+1Xi+1T (5)Di=E(YiYiT)E(YiYi+1T)E(YiYiT)E(YiYiT (6)式（16）又可表示为

5、Ci=A1iE(Y0XiT)E(Y0Xi+1T)E(Y0XiT)E(Y0Xi+1T+j=0i-1A1jA2E(Xi-j-1XiT)E(Xi-j-1Xi+1T)E(Xi-jXiT)E(Xi-jXi+1T) (7)结构响应相关矩阵求解的递推关系式的对角矩阵即为位移和速度响应的均方值。由式（13）可以看出，时刻ti+1与时刻ti响应相关矩阵的敌退关系依赖于激励与响应的相关矩阵Ci。从式（18）看出，Ci的计算设计到大量的满矩阵乘法运算，因此Ci的求解是极其耗时的，这直接影响结构响应相关矩阵的计算效率。对于大型复杂结构，Ci的运算量是不可接受的。当激励为白噪声或调制白噪声时，Ci的计算效率则高得多。与

6、功率谱法相比，时域直接积分法更为直观，可以直接获得响应的方差。在计算方面，虽然时域分析法不需要计算大量离散频点处功率谱值，但在每个离散时刻处需要计算响应和激励的相关矩阵，计算效率更低。不过对于特殊激励情况下，例如激励为白噪声或调制白噪声时，时域分析法的计算效率可大幅度提高。总体来说，大多数现有的时域直接积分法更适用于白噪声或调制白噪声随机激励的情形和结构体系自由度较少的情形。随机激励能否简化为白噪声系统可以按照如下方法判断：对于地震地面运动的平稳模型，地面加速度过程为At。由线性随机振动理论可知，体系位移响应的功率谱密度可以表示为：SX=H2SA (8)式中，H为体系的频响函数。体系位移响应及

7、速度相应的方差可以表示为:X2=-SXd (9)X2=-2SXd (10)对于实际建筑结构中的线性体系来说，体系的阻尼一般很小，此时即使SX不是白噪声，但若SX的带宽较之小阻尼情形下系统幅频特性H的半功率带宽(2n)要宽得多，且当系统在固有频率（也即H的中心频率）n处，SXn的值与SX的最大值具有相同的数量级；那么激励就可以近似地看作是白噪声，其功率可取为SXn。图3 可用白噪声激励近似处理的情形因此以上两式可以近似写成：X2=203SA0 (11)X2=20SA0 (12)将体系的自振频率0=km以及阻尼比=c02m0代入以上两式，就可求得体系位移响应和速度响应的统计矩。3. 线性系统随机响

8、应分析对于线性系统，其突出的优势是可以采用叠加原理。线性体系的运动方程通常可以表示为线性常微分方程或偏微分方程。线性体系最本质的特征是激励与响应成线性关系，从而叠加原理适用于结构的随机响应分析，即体系在多个激励同时作用下的响应等于各个激励分别作用下响应之和。在一定条件下，体系的反应还可以分解为有限或无限个振型反应之和。这些都大大简化了线性体系的随机响应分析。因此，对于线性时不变系统来说，它的动态特性可以用脉冲响应函数或频率响应特性来描述。所谓脉冲响应是指系统对单位冲量作用的响应，它表征系统在时域的动态特性。所谓频响特性是指系统对各个单位复谐和输入的响应恃性，它表征系统在频域的动态特性。两者有确

9、定的对应关系，即Fourier变换对关系。H=-he-id (13)h=12-Heid (14)以上两式存在的前提条件是-htdt<，也就是要求系统为稳定系统，系统受到冲击后，所激发的运动随时间的推移逐渐衰减。 同样也是在叠加原理的基础上，多自由度系统的运动可以通过模态变换，将系统的运动分解为各个模态运动，先求出模态激励下的各个模态运动，然后再叠加起来得到系统的总运动。这就是动力响应分析中的模态叠加法。频域法建立在随机振动理论的基础上，其最大特点就在于通过Fourier变换，能将时域的常微分方程(组)化为代数方程(组)。因此在线性系统中，频域分析法被广泛采用。3.1 传统功率谱法在随机振

10、动分析中，功率谱方法是求解结构随机响应的主要方法。该法从激励功率谱密度函数之间的传递关系着手，建立随机响应功率谱密度函数的求解方法。本质上功率谱密度函数所包含的是随机过程的频域二阶统计信息，通过傅里叶变换即可获得响应的时域二阶统计特征。功率谱法在线性随机振动问题中一直起着重要的作用，特别是在平稳输入/平稳输出问题中，响应功率谱与激励功率谱之间简单的代数关系是功率谱法中最精彩的部分。经过有限元离散后，结构系统的动力微分方程可写为MY+CY+KY=Xt (15)式中M、C、K分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；Y、Y、Y分别为加速度向量、速度向量和位移向量；X(t)为随机激励响亮。当激励X(t)

11、为平稳随机过程向量时，设其功率谱密度函数矩阵为SXX(w)，则位移响应的功率谱密度函数矩阵可以表示为SYYw=Hw*SXXwH(w)T (16)式中H(w)为结构的频率响应函数矩阵，上标*表示复数共轭，上标T表示矩阵转置。当激励X(t)为非平稳随机过程时，激励的集合平均不能再用时间平均来代替，这就使得非平稳的处理变得非常困难。好在对非平稳激励的一类特殊情形，即演变随机激励来说，问题相对简单许多。演变随机激励，是指平稳随机激烈按某种确定性演化规律得来的一类非平稳随机过程的概念。当激励X(t)为均匀调制非平稳随机过程向量时，X(t)可以表示为Xt=Gtxt (17)式中Gt=diagg1t g2t

12、gnt, Xt=x1t x2txntT,其中git和xit(i=1,2,n)分别为均匀调制函数和平稳随机过程，n为结构自由度数。设x(t)的功率谱密度函数矩阵为SXX(w)，则位移响应Y(t)的功率谱密度函数矩阵为SYYw，t=Iw,t*SXXwIw,tT (18) 用Ii(w,t)表示为I(w,t)的第i列向量，Gi(t)表示为Gt的第i列向量，则Ii(w,t)为Gi(t)eiwt作用下动力方程的解答，即Ii(w,t)满足下述方程MIiw,t+CIiw,t+KIiw,t=Giteiwt (19) 当激励X(t)为非均匀调制非平稳随机过程向量时，位移响应的时变功率谱密度函数矩阵的表达式与*式相

13、似。3.2 虚拟激励法 虚拟激励法通过构造与随机激励功率谱密度函数相关的虚拟激励，将平稳随机振动分析转化为确定性简谐振动分析，将非平稳随机振动分析转化为确定性动力时程分析，从而大大简化了随机振动分析的计算步骤，却仍保持了传统功率谱法的计算结果。 当激励X(t)为平稳随机过程向量，可构造下面随机激励Xit;w=iwi(w)*eiwt (20)式中iw及i(w)为SXXw的特征值和特征向量。在虚拟激励Xit;w下结构虚拟响应为Yit;w=iwH(w)i(w)*eiwt (21)结构位移响应Y(t)的功率谱密度函数SYYw可用虚拟响应构造为SYYw,t=i=1nYi(t;w)*Yi(t;w)T (2

14、2)当激励X(t)为均匀调制非平稳随机过程向量，可构造下面随机激励Xit;w=iwGti(w)*eiwt (23)式中iw及i(w)为SXXw的特征值和特征向量。在虚拟激励Xit;w下结构虚拟响应为Yit;w=iwI(w,t)i(w)* (24)结构位移响应Y(t)的功率谱密度函数SYYw，t可用虚拟响应构造为SYYw,t=i=1nYi(t;w)*Yi(t;w)T (25)比较传统功率谱法和虚拟激励法的计算公式，可以看出虚拟激励法并不比传统功率谱法节省计算量。由于虚拟激励法还需要解功率谱密度矩阵的特征值和特征向量，其计算量反而更大一些。只是虚拟激励法通过引入类似符号化的表达公式，令随机振动分析

15、更易理解。对于许多工程实用问题，响应方差分析十分重要。结构响应Y(t)的协方差矩阵可通过对功率谱密度函数矩阵积分得到covYt,Yt=EYtY(t)T=-+SYYw,tdw=iSYY(wi,t)wi (26)从上式可以看出，功率谱法首先需要求出在一系列离散频点（通常是几十至几百点）上的结构响应功率谱，然后在整个频域上几分方能得到响应方差。在非平稳激励情况下，每求一个离散频点处的响应功率谱值都需要做一次时程积分，计算量很大。事实上，此时的功率法已非单纯的频域积分法，而是时频域混合积分方法，这是功率谱法在求解非平稳随机响应时计算量大的根本原因。4. 非线性系统随机响应分析由于在强烈地震作用下，结构

16、基本已进入具有明显滞回性能的非线性状态。系统的非线性可以表现为非线性恢复力，非线性阻尼或非线性惯性。结构构件恢复力滞回性能的研究是结构地震响应分析的一个重要方面。关于构件恢复力模型的数学描述，有用解析函数分段表示的形式和用一个函数或微分方程统一表示的形式。在这种模型中，将恢复力表示为弹性力和滞回力和的形式，根据滞回微分方程形式的不同，恢复力的表达式也不同，比较著名的有Wen等提出的光滑滞回微分方程及其改进形式。非线性动力分析表明，恢复力模型曲线的形状对结构的平均峰值响应影响不大。因此，分析时可根据问题精度的要求，选取相对简便的恢复力模型。根据地震动加速度的谱密度函数和结构构件的恢复力模型，可应

17、用随机振动理论分析结构的非线性随机响应。它与线性系统随机振动的区别主要是:(1)叠加原理不再适用，即各个输入引起的输出之和不等于输入之和引起的输出。(2)以叠加原理为基础的杜哈姆积分也不再适用，而由杜哈姆积分导出的相关理论也随之失效了，从而不存在也不可能得到激励谱、响应谱、系统的动态特性三者在频率域中的函数关系。(3)因为正态过程的线性叠加才能得到正态过程，现在既然不能应用叠加原理，因此对于一般的非线性系统，正态激励得到的是非正态响应。(4)在无噪声干扰的情况下，单输入单输出非线性系统的常相干函数为:xy2=SxySxxSyy1 (27)在多输入多输出的非线性系统中，则偏相干函数为:xiyi2

18、=SxiyiSxixiSyiyi1 (28)目前用于非线性系统的分析方法包括随机摄动法、FPK方程法、统计截矩法和随机等价线性化法等。4.1 FPK法 FPK方程解法的基本思想是把系统的位移响应看成状态空间中一个多为随机过程向量的分量。当随机激励仅限于白噪声时，这个随机过程向量在每个时刻取得的增量是独立的，于是它在性质上是马尔科夫过程，且是扩散过程，其概率结构完全由概率初始条件和转移概率密度函数所决定，而扩散过程的转移概率密度函数服从FPK方程，因而求解实际非线性系统所对应的FPK方程，就可得到受高斯白噪声激励后系统响应的概率规律，从而求得相应的频域和时域信息。由于在均方意义下白噪声的积分没有

19、存在的意义，只有当振动的微分方程写成伊藤型时，其响应随机过程才具有良好的MARKOV性质，即在一个给定时刻上，它的条件概率密度只取决于最近一个过去时刻的观察值，这种特性称为无后效性。简单地说，无后效性就是指过程的将来只依赖于过程的现在，而与过程的过去无关。这样，响应就完全由它的初始条件X0和传递概率密度函数PX，t|X0，t0所决定。传递概率密度函数由如下的Fokker-Planck方程求得:tPX，t|X0，t0+i=1nXiaiX，tP-12i=1nj=1n2XiXjbijX，tP=0 (29)其中：ai=limt01tEZi-Xi (30)bij=limt01tEZi-XiZj-Xj (

20、31)其中，ai表示随机函数变化速度；bij表示随机函数协方差的变化速度。Zi是Xi在时刻t+t的值。利用上面的式子求系数ai和bij时，需要知道系统本身的各个物理参数和激励的概率特征。然后再求传递概率密度函数时，还需要知道响应的初始条件、边界条件和概率条件。当响应的条件概率密度函数P确定后，则响应的幅值和时域各个信息也就完全可求了。FPK法从理论上讲，可无限制地适用于非平稳问题，也适用于非线性问题，是随机非线性问题求解法中较严密的一种解法。但实际上在用FPK方法求解过程中，除比较简单的情况外FPK方程的解是未知的，因此应用解析方法求解较为复杂的随机振动问题是比较困难的。4.2 随机等价线性化

21、法随机等价线性化法是确定性激励情况克雷洛夫与包哥留波夫的等效线性化法对随机激励情形的推广。克雷洛夫与包哥留波夫在1947年最早提出了统计线性化思想，以后由于研究带有随机输入的非线性控制系统的需要而得到了发展，1963年Caughey将该方法首次用于确定性单自由度非线性动力学系统的稳态随机响应。后来其他一些研究者将这种方法扩大应用于多自由度系统非平稳激励、非高斯响应。其基本思想是以线性函数等效地替代非线性函数：Fx，xa1+a2x0+a3x0 (32)式中的常系数ai(i=1，2，3)由误差项的方差项的方差为最小的条件确定。此法可求解具有下列特点的非线性随机振动问题:(1)系统的非线性项与速度和

22、位移均有关。(2)具有滞回特性的非线性问题。(3)激励可以是非白噪声，但必须是平稳正态随机过程。 等效线性化方法虽然可处理恢复力具有滞回特性的非线性问题，但是随着非线性程度变强，其近似程度随之变差，在必须考虑大塑性变形时，仍不加变化地采用上述方法是不适当的。4.3 随机摄动法系统非线性较弱的情况，确定型非线性问题的摄动法已有广泛的应用。这种确定性非线性问题的古典方法是由Crandall于1963年首次拓宽应用与非确定性振动问题的。以后1973年Nayfesh,1977年Jordan和Smith等人都对其推广用于一般的非线性随机振动问题作了研究，1982年Nakagiri和Hisada,1988

23、年Liu,Besterfield和Belystchko还把摄动法推广于随机有限元分析。主要原理是把所求的解用一个的幂级数表示，该技术的每一项作为对其以前各项的非线性函数的线性响应一次逐项求值。非线性方程为y+y+w02y+fy,y=fzt (33)设其解为y=y0t+y1t+2y2t+ (34)将（34）带入（33）解出yt在实际计算中，式（34）的级数很少超过二次项，因为级数常常是渐近级数，虽然高次项对小的非线性项改进了近似程度，但对较大的非线性情况近似程度显然变坏。而且对随机过程yt的展开式934),无论在均方意义下还是其它意义下的收敛性至今仍未得到证明，这就限制了该方法的适用范围。从理论

24、上说，幂级数所取的项数越多，解的精度就越高。但实际上，超过一阶近似后，求解已十分困难。即使系统受到的是正态随机激励，其响应的一阶近似值也不是正态过程。所以我们在用摄动法求解实际问题时，一般只做到一阶近似。应该注意的是:在求解具有弹性非线性特性(即弱非线性)，摄动法不失为一种有效的方法，但对于具有滞回特性的强非线性问题来说，摄动法就不再适用了。5. 动力可靠度理论5.1 结构动力可靠度的基本概念 结构随机振动将产生一定统计强度的结构响应，结构随机振动分析是为了获得响应的统计量。响应统计量的主要用途是据以判定或评价结构的可靠性。结构在随机激励作用下的可靠性通常称为动力可靠性。结构动力可靠度是结构动

25、力可靠性的数学度量。结构动力可靠度是指结构在随机动力激励作用下，在给定时间内部发生破坏或失效的概率。在许多情况下，常常根据动力响应的均值和标准差，凭经验来判断结构的可靠性。然而更合理的做法是，根据一定破坏模型，导出结构的可靠度。因此结构的动力可靠度分析必须对结构的安全与破坏作出规定，即给出结构的安全与破坏准则。目前，结构动力可靠度分析所采用的破坏准则大致可分为两类：第一类是首次超越破坏准则；第二类是疲劳破坏准则。首次超越破坏准则假设结构的动力响应（如控制点的应力、应变或控制点、控制层的位移）首次超越界限值或安全界限时结构就发生破坏。基于首次超越破坏准则的结构动力可靠度，简称为结构的首次超越破坏

26、可靠度。疲劳破坏准则假设结构在长期的随机动力荷载作用下，结构动力响应在不大的界限上多次重复，当累计损伤一旦达到某一限值或裂纹扩展到一定程度时结构就发生破坏。基于疲劳破坏准则的结构动力可靠度，简称为结构的疲劳破坏动力可靠度。疲劳破坏机理较复杂，至今仍不可能根据基本的物理定律进行疲劳分析，而只能在大量实验数据基础上应用累积损伤假设或断裂力学中的经验公式对疲劳可靠度作出估计。在以上两种破坏准则中，首次破坏准则是一个比较建安的，理想化的模型，但却给出了动力可靠度分析的基本思路，因此首次超越破坏准则是比较受到重视和研究较多的一种模型。因此一下介绍所涉及的可靠度均基于首次超越破坏准则的动力可靠度。考虑结构

27、失效由单个随机响应过程Y(t)控制，b为界限值，则结构在给定时间0,T内的动力可靠度可表示为PrT=PYtb,0<tT (35)结构的时效概率PfT=1-PrT自1945年美国学者Rice最早开展随机过程首次超越界限概率研究以来，经过近70年的发展，结构动力可靠度分析方法已经取得了很大进展，形成了基于过程跨越理论的犯法和基于扩散过程理论的方法。这两类方法代表了动力可靠度分析的两类分析思路，一类基于过程跨越界限理论，在一定假定前提下，导出过程首次超越界限概率的计算公式，进而直接利用结构随机动力响应分析结构计算结构动力可靠度；另一类直接从结构所满足的随机振动微分方程着手，建立首次超越界限的概

28、率密度所满足的微分方程，利用数值方法求解改微分方程，已获得结构的动力可靠度。5.2 基于过程跨越理论的方法Rice在1944年和1945年先后发表了两篇论文，其中研究了随机过程跨越某一固定界限次数问题，首次建立了在给定时间内跨越界限次数及其期望值的数学表达式，为基于过程跨越理论的动力可靠度分析方法奠定了基础。基于过程跨越理论的动力可靠度主要分析方法有内外向级数法、泊松过程法及其修正方法和点过程法等。其中泊松过程法及其修正方法为最具代表性的一类方法，并且在工程中获得了最为广泛的应用。5.2.1 内外向级数法Rice在1944年和1945年先后发表的两篇论文中给出了计算首次超越界限概率的著名内外级

29、数公式。1986年Madsen用不同方法重新推导了Rice的内外向级数公式。这里给出由Madsen推导的内外向级数公式。用符号B(t)和B(t)来分别表示跨越事件“在时间间隔t,t+t内Y(t)首次跨越界限b”。通过引入函数Y(b,t,t1,ti)和Y(b,t,t1,ti)来表示BtBt1Bti-1 Bti和BtBt1Bti-1 B'ti的概率Yb,t,t1,ti=Yb,t,t1,ti+0tiYb,t,t1,tidti+1 (36)对上式变形得Yb,t,t1,ti=Yb,t,t1,ti-0tiYb,t,t1,tidti+1 (37)所以Yb,t=Yb,t+i=1(-1)i0t0t10t

30、iYb,t,t1,tidtidt1 (37)随机过程Y(t)在时间0,T内不跨越界限b的概率为PrT=exp-0TYb,tdt (38) 1968年Roberts改进了Rice的内外向级数，计算了Rice级数的前三项，求得了两个上界限和一个下界限，并通过分析表明:当时效概率很小时，级数收敛是很快的。从理论上说，内外向级数法适用于任何随机过程并且能够给出问题的精确解。然而，出了级数项j取非常小的情况，式（37）和（38）所表示的积分一般是很难求解的。因此，一般只取前几项作为内外级数的近似表达式。另外，当随机激励持续的时间很长时，计算工作量是非常大的。从实际应用的观点来看，内外向级数主要还是适用于

31、时程问题。5.2.2 泊松过程及其修正方法动力可靠度的泊松公式最先是由Coleman应用Rice期望跨越率的结果与独立跨越界限的假定得到的。基于独立跨越界限的假定，则跨越次数服从泊松过程。令Yb,t=0+yfYYb,y,tdy (39)则Yb,t表示为单位时间内跨越界限次数的期望值，即期望跨越概率。结合泊松过程的特征，推导出结构的动力可靠度PrT为PrT=exp0TYb,tdt (40)由上述公式可知，在泊松过程假定下计算结构可靠度的关键，在于已知Y(t)与Y(t)的联合概率密度函数fYY(b,y,t)。当Y(t)为零均值高斯平稳随机过程时Yb,t=Y2Yexp-b22Y2 (41)当Y(t)

32、为零均值高斯非平稳随机过程时Yb,t=Y2Y1-2expb221-2Y2+2bYexp-b22Y2bY1-2 42式中为标准正态分布函数，Y(t)与Y(t)的相关系数一般很小，因此在计算中一般取为0，则（42）式近似为Yb,t=Y(t)2Y(t)exp-b22Y2(t) (43)基于跨越界限次数服从泊松过程假定的动力可靠度计算方法称为泊松过程法。Cramer已经严格证明：当b趋近于无穷大时，跨越次数的分布渐近为泊松分布。这就意味着如果界限值是足够大，就可以认为这就意味着如果界限值是足够大，就可以认为跨越之间是相互独立的，因此泊松过程法适用于随机过程的高界限跨越问题。然而，泊松过程法对于低界限问

33、题是不适当的。 对于窄带过程，过程跨越界限是成群出现的，意味着一次跨越可能面临后续的一次或多次跨越，因此跨越之间并不是相互独立的，此时泊松过程法会夸大首次跨越界限概率的计算结果，用泊松过程法得到的动力可靠度偏于保守。对于宽带过程，泊松过程假定没有计及过程实际花费在非安全域内的时间，此时泊松过程法会减小首次跨越界限概率的计算结果，用泊松过程法得到的动力可靠度偏于非保守。针对这两方面的误差原因，曾提出多种对泊松过程法的修正。 由于窄带过程的界限跨越不是独立的，而倾向于成群地出现。包络过程的跨越经常出现在群的跨越之前，因此，更合理的做法是用包络过程的首次超越界限问题代替过程本身的首次超越界限问题。提

34、出以包络过程的独立界限跨越假定代替过程本身的独立跨越界限假定，即采用基于泊松过程假定的包络过程期望跨越率代替过程本身的期望跨越率，以改善对结构动力可靠度的估计。当Y(t)为零均值高斯平稳随机过程时，基于泊松过程假定的包络过程期望跨越率为Yb,t=2bqYYexp-b22Y2 (44)式中q为带宽参数，表示为q=1-1201 (45)上式中的i为Y(t)的第i阶矩。如果计及包络过程花费在界限以上的时间，假设包络过程在界限以上的状态为1，在界限以下的状态为 0，则由状态0和1构成的过程为两态马尔科夫过程。假定在相继状态 0和1上所处时间相互独立，根据更新过程理论，可得到两态马尔可夫过程假定下对包络

35、过程期望跨越率的估计。当Y(t)为零均值高斯平稳随机过程时，基于马尔可夫过程假定的包络过程期望跨越率为Yb,t=2bqY2Y2expb22Y2-1-1 (46) 对于窄带随机过程低界限跨越问题，伴随着一次包络过程界限跨越，往往有一次或数次过程本身界限跨越，上述修正将是对泊松过程法的改善。对于宽带随机过程低界限跨越问题，包络过程界限跨越不一定伴随过程本身界限跨越，从而得到比泊松过程法更为保守的可靠度估计。考虑到并非所有包络过程界限跨越一定伴随过程本身界限跨越的这一事实，Vanmarcke在计及包络过程花费在界限以上时间的基础上，通过识别和消除那些包络过程跨越而之后不伴随出现原过程的任何一次跨越，

36、进一步对期望跨越率提出修正。引入以表示紧接包络过程跨越而之后不伴随出现原过程跨越的那部分所占的比例。当Y(t)为零均值高斯平稳随机过程时=1-Y2bq1-exp-2b2Y (47)以1-乘以（46），得到修正后的期望跨越率为Yb,t=Y2Yexp-b22Y2 (48)=1-exp-2qbY1-exp-b22Y2 (49)当Y(t)为高斯非平稳随机过程时，期望跨越率的计算公式与（48）是相同的，只需要把谱矩改为it=-+wiSYYw,tdw (i=0,1,2)即可。虽然，泊松过程法及其修正方法计算公式简单，但在这些方法推导过程中采用了不同程度的假定，这会给动力可靠度的计算精度带来不同程度的影响。

37、原则上泊松过程法及其修正方法只适用于结构响应为高斯随机过程时的动力可靠度分析。5.2.2 点过程法 点过程法是计算窄带随机过程首次超越界限概率的好方法，其基本概念是用随机过程Y(t)的极值点过程超越界限问题代替随机过程本身超越界限问题。 然而用极值点过程超越界限问题代替过程本身超越界限问题时，同样需要用到泊松过程假定或马尔可夫过程假定才能得到结构动力可靠度的计算公式。实际上，不仅相邻极值点存在相关性，而且还和其它极值点存在相关性。因此，基于泊松过程假定或马尔科夫过程假定的点过程法同样具有泊松过程法及其修正方法所存在的计算精度问题。 5.3 基于扩散过程理论的方法基于过程跨越理论的方法只能获得动力可靠度的近似解，而基于扩散过程理论的方法通过求解过程转移概率密度函数所满足的 FPK 方程，可以获得动力可靠度的数值精确解。FPK 方程上世纪初由物理学家福克、普朗克等在研究布朗运动与扩散时首先得到，