大学数学练习题

1、大学数学习题及答案一填空题：1一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解yi(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是3方程y''2y'y0的基本解组是.4一个不可延展解的存在区间一定是区间.5方程dy1y2的常数解是.dx6方程x''p(t)x'qx0一个非零解为xi(t)，经过变换7若4(t)是线性方程组X'A(t)X的基解矩阵，则此方程组的任一解4(t)=.8一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍，则此曲线方程为.9满足条件的解，称为微分方程的特解.10如果在微分方程中，自变量的个数只有一

2、个我们称这种微分方程为.11一阶线性方程y'p(x)yq(x)有积分因子().12求解方程dyx/y的解是().dx222.13 已知(axy3xy)dx(xy)xdy0为恰当万程，则a=.dy22xy14 dx,R:x1,y1由存在唯一性定理其解的存在区间是().y(0)0215方程dy5dy6y0的通解是().dxdx416方程dyy3xy5的阶数为.dx17若向量函数1(x);2(x);3(x)n(x)在区间D上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式(x)=.18若P(X)是方程组dyA(x)的基本解方阵则该方程组的通解可表示为.dx2219 .方程x(y1)dxy(x1)dy0所有常

3、数解是.20 .方程y4y0的基本解组是.dy.y121 .方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是.22.函数组1(x),2(x),n(x)在区间i上线性无关的条件是它们的朗斯基行123456789列式在区间I上不恒等于零.23.若 y i(x)，y2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同JEr 令点单项选择：方程* xy满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是 ().(A)上半平面 (B) xoy平面方程yy 1()奇解.dx(A)有一个 (B)有两个(C)下半平面(D)除y轴外的全平面(C)无(D)有无数个在下列函数中是微分方程y'' y 0的解的函数是()

4、.(A) y 1(B) y xx(C) y sin x (D) y e方程y''yexx的一个特解y*形如().x(A)aebx(B)axebx_x(C)aebxcx(D)axebxcf (y)连续可微是保证方程(A)必要 (B)充分).(B)构成一个3维线性空间 (D)构成一个无限维线性空间f(y)解存在且唯一的()条件.dx(C)充分必要(D)必要非充分二阶线性非齐次微分方程的所有解(A)构成一个2维线性空间(C)不能构成一个线性空间2方程曳3y3过点(0,0)有().dx(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解初值问题x'x(0)1在区间，1

5、t上的解是().t(D) U(t) ete(A)U(t)t(B)U(t)t(C)U(t)方程dyx2ycosx0是().dx(A)一阶非线性方程(B)一阶线性方程(C)超越方程(D)二阶线性方程10方程dy3电dxdx0的通解是（）.(A)CiC2e3x(B)CxC?e3x(C)C1C2e3x(D)C2e3x211方程dydx4dy4y0的一个基本解组是).(A)x,e2x(B)1,e2x(C)x2,e2x_2x(D)e,xe2x212若y1和y2是方程dydxdyP(x)加q(x)y0的两个解，则ye1yle2y2（&代为任意常数）（A）是该方程的通解（C）不一定是该方程的通解（B）

6、是该方程的解（D）是该方程的特解13方嚏&2y过点（0,0）的解为sinx,此解存在().(A)(B)(,0(c)0,)、一一214万程y'3xyex是().（A）可分离变量方程（B）齐次方程15微分方程y0的通解是（dxxc（C）全微分方程(D)线性非齐次方程).(A)y-(B)yxcx(C)1c(D)x16在下列函数中是微分方程y''yo的解的函数是（).(A)y1(B)y(C)ysinx(D)y17方程y''x的一个数解xy形如（).x(A)ae(B)xaxebxx(C)aebxx(D)axebxc18初值问题x；x(0)在区间上的解是（)

7、.(A)U(t)(B)U(t)19.方程dydx(A)(C)U(t)e(D)U(t).y的奇解是（(B)(C)y(D)y0dy20.方程dx:-2-1y(,1)过点2共有()个解.(A)(B)无数(C)两(D)三)个.21. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是(A)n(B)n-1(C)n+1(D)n+222. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解f(x,y)23.如果f(x,y),y都在xoy平面上连续,那么方程亲的任-解的存在区间(A)必为(B)必为(0

8、,(C)必为(D)将因解而定三求下列方程的解：求下列方程的通解或通积分dyddyy1ny(2)-dxdxdy最522、，xy(4)2xydx(xy)dy_3yxy'2(y')求方程的解1(4)xxt解方程：求方程：5求方程:dydxdydxdydx2ycosx并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解yx6yxtgyx2xy的通解2求(3xc 2、，6xy )dx2.3、(6xy4y)dy0的通解.求解方程d4xdt42畛x0dt2求方程：54dt5tdt40的解29求万程y5y5x的通解dx10求下列方程组的通解dtdydt11y'求初值问题y(1)R:1的解的存在

9、区间并求出第二次近似解12求方程的通解dy(1)dxdydxtan-x2、(y3x)dx(4yx)dy0(三种万法)(4)dy4dxdydx4y13计算方程y''4y3sin2x的通解14计算方程d2x4-dx4xcostdt15求下列常系数线性微分方程：y''2y'10y2xxe2116试求xx的基解矩阵0217试求£!阵A18试求£!阵Ay'119解方程组y'220.求下列方程组的通解dxdtdydt四名词解释1微分方程的特征值和对应的特征向量的特征值和特征向量32Vi12y2x2y3x4y2常微分方程、偏微分方程

10、3变量分离方程4伯努利方程5Lipschitz条件6线性相关n 1d xc1(t)Fdtan(x)t fz(t)的解dy7.在方程dxf(y)(x)在()上连续，且 (1)0,求证：对任意五证明题1在方程y''p(x)y'q(x)y0中已知p(x);q(x)在(；)上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2设xi(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程dnx_dn1x_一证明：x1(t)+x2(t)是方程一-G(t)n-yGn(t)xf(t)f2(t)的解dtndtn13设f(x)在0;+上连续且limf(x)=0求证：方程电yf(x)的一切解y(x)

11、;xdx均有limy(x)=0x4在方程y''p(x)y'q(x)y0中p(x)、q(x)在(，)上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w(x)是(，)上的严格单调函数。n、dx5证明：x1(t)+x2(t)是方程-de_1x_2x_nx-j)在任意区间(a ,b)上线性无关6证明：函数组e,ee(其中当ij时x0和y0、满足初值条件y(x0)y0的解y(x)的存在区间必为(，).8.在方程yp(x)yq(x)y0中，已知p(x),q(x)在(,)上连续.求证：该方程的任一非零解在xOy平面上不能与x轴相切.练习题答案一填空题：1、 22

12、、线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)3、ex;xex4、开5、 y16、 xx1ydt7、 (t)C,c为常数列向量8、 y=x2+c9、初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c;c为任意正常数13、/14、15、16、417、018. (x)c；其中c是确定的n维常数列向量19. y1,x120. sin2x,cos2x，、-2一21. D(x,y)Ry0,(或不含x轴的上半平面)22. 充分23. 没有二单项选择1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19.D20,B21.22

13、.C23.D三求下列方程的解1(1)解：当y0,y1时，分离变量取不定积分，得通积分为1ny=Cex(2)解：令y=xu,则dyuxdu,代入原方程，得dxdx分离变量，取不定积分，得dudx,1nC(C0),1u2x通积分为：arcsiny1nCxx(3)解：方程两端同乘以y-5,得令y-4=z，贝|J-4y-5dydz,代入上式，得dxdx通解为原方程通解为(4)解：因为JMy2xN一,所以原方程是全微分方程。x(5)解:取(xo,yo)=(0,0)13y原方程的通积分为解：原方程是克莱洛方程，通解为:3y = cx+2cdx设y 则方程化为dtdxdt于是 x=C1t5+C2t3+C3t

14、2+C4t+C5dx0 ,积分后得y = ct即 ct dt其中c1 , c2 , c3 , c4, c5为任意常数dnx(t)dtnGidn1x(t)dtn 1Gnxi(t)dnx(t)dtnGidn1x(t)dtn1Gn(t)x2(t)=fi(t) + f 2(t)故xi (t)+x 2(t)为方程dnx(t)dtnG1(t)dtGnx(t)=f1(t)+f2 (t)的解。解： 将变量分离，得到两边积分，即得1一sin x c y因而，通解为这里c是任意常数x=0 , y=1c = -1代入通解中以决定任意常数c,得到因而，所求特解为解：以 Y u及xdy xdydx dxu代入，则原方程

15、变为即将上式分离变量，即有两边积分，得到这里C'是任意函数，整理后，得到一 e,令 e c,得到sinu = cx5解：令z=y-1得代入原方程得到这是线T方程，求得它的通解为代回原来的变量y,得到这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0o6解：这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3,这时因此方程是恰当方程。现在求u,使它同时满足如下两个方程由(1)对x积分，得到ux33x2y2(y)为了确定（y）,将（3）对y求导数，并使它满足（2）,即得于是d(y),4=4ydy积分后可得(y)=y4将（y）代入（3）,得到u=x3+3x2y2+y4因此，方程的通解为x3+3x2y2+y

16、4=c这里c是任意常数427解：特征方程42210即特征根i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、tsint故通解为x=(ci+C2t)cost+(c3+C4t)sin其中ci;C2;C3;C4为任意常数d4xdy1.8解：令y则方程化为：-y0dt4dttd4x积分后得y=ct即Tct于是x=clt5+c2t3+c3t2+c4tl+c5dt4其中ci；c2c5为任意常数，这就是原方程的通解。2_一9解对应齐次方程的牛I征方程为250,特征根为i0,25齐次方程的通解为y=Ci+C2e5x因为a=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为yi（x）=x（Ax2+Bx+C）2C

17、= 一25代入原方程，比较系数确定出A，B35原方程的通解为I0解：先解出齐次方程的通解xcostsint=Ci+C2ysintcost令非齐次方程特解为costsint=Ci(t),x+C2(t),ysintcost1 sint 0C'l(t),C2(t)满足costsintC'i(t)sintcostC'2(t)cost解得C'i(t)，C'2(t)1sint积分，得Ci(t)1nsint,C2t通解为ii解:M=maxf(x,y)=4h2)qo(x)=Oq1(x)=0b1min(a,)一故解的存在区间为M4xgxx1(g20)dgf1-3x2q2(

18、x)=0+g3%gg2g1g9mg363369g.、, dy x y解：变形上dx yc(y)yydc(y)dy1,积分得c(y)y 故* (y ) y(是任意常数)xxxx11=3918604212求方程的通解：dy1)dx1-xy(1)，将y看作自变量，x为未知函数ydx1解齐线性万程-x,通解为x=cydyy人,dxd(c(y)y)dc(y)/、令x=c(y)y.微分得，yc(y)dydydy,“xdc(y)/、由(1)(2)知一yyc(y)ydy)dy工tan、dxxx.人ydydu解：令上u则yux,于是口xuxdxdx则原方程变为xuutanudxdu tanu dx x将上式分离

19、变量有dxcotudux积分得Insinu1nx,为任意常数。整理sinue?x令ec0得sinucx(c0)方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=cx（c为任意常数）2、3)(y3x)dx(4yx)dy0(三种万法)解：法一，这里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4yN1,因此此方程是恰当方程x现求u使一uy3x2(1),ux4y(2)xy3,、对(1)中x积分得uyxx(y)(3)对(3)中y求导xd(y)4yydy232积分得(y)2y,代入(3)得uyxx2y32故通解为yxx2yc,c为任意常数法二，重新组合得23232于是通解为xy x 2yydx3xdx4

20、ydyxdy0,即ydxdx2dyxdy0c其中c是任意常数57P一我dy1,4_2.解：令p1则p5P4ydx对x求导得P5P业p3dp2dxdx0.y(2p3dp5p)£,(2P3、p)dppdx0，5积分得（一p44p-)px4c,x524P4p4p134P于是方程通解为(p=0)故所求特解应具形式y1x(Acos2x bsin 2x)代入原方程故通解为y4 A 3,B 0 A 3,B 043 c. 一.-xcos2x g cos2t c2 sin2t,其中 C1C2为任意常数414d 2x 4dxdt dt4x cost524P13方程y''4y3sin2x的

21、通解解：齐次方程是y''4y0,240,1,22i由于2i是特征方程单根2 00 22解：特征方程440有重根1222t.因此对应齐线性方程的通解为x(cc2t)e,其中c1,c2为任意常数因为i不是特征根，现求形如 Acost Bsint的特征解,代入原方程化简(3A - 4B)cost (4A3B)sint cost于是3A4A4B3B3254252t故通解为x (c1c2t)e3一cos254 . 一 一-，sin t其中ci,c2为任总常数2515求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为 y'' 2y' 10y0特征方程为10 0特征根为a13i

22、a不是特征根，1.1故原方程有形如y*=(ax+b)e的特斛代入原方程得a一,b1050.,_.、_一一.x112x故原万程通解为ye(gcostc2sin3t)(一x)e,(c1，c2为任意常数)1050而且后面的两个矩阵是可交换的 0 02116解：因为A0210102得至IexpAtexp°0exp02t2teE+17t22!但是,所以，级数只有两项。因此,解：特征方程为基解矩阵就是因此,3是A的二重特征值.为了寻求对应于3的特征向量，考虑方程组1819因此，向量是对应于特征值解A特征方程为特征根为1,2(AiE)u对应于(A2E)v解：A1=1,2=4(A4E)uy'

23、这样ydet(A35i5i53的特征向量其中a0是任意常数.E)对应于5i5i特征向量0解得v226361=3+5iu的特征向量u满足u解得u=aa0为任意常数u满足u22的特征方程为det(E为特征根，(A4E)u0为任意常数A)Ui为方程组解1)(4)0a为任意常数.U2为方程组解.为方程的解20.解方程组的特征方程为即232 0特征根为11,22i1对应的解为其中ai,bi是i1对应的特征向量的分量，满足可解得a11,b11.同样可算出22对应的特征向量分量为a22,匕3.所以，原方程组的通解为四名词解释1联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。的微分方程称为偏微分方程

24、。3形如的方程，称为变量分离方程，这里4 形如 J P(x)y dx的方程，称为伯努利方程，这里2如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上f(x)(y)分别是x,y的连续函数。Q(x)ynP(x),Q(x)为x的连续函数，n0,1是常数5函数f(x,y)称为在R上关于y满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0,使得不等式f(x.y1)f(x.y2)Lyy2对于所有(x,y1),(x,y2)R都成立，L称为Lipschitz常数.6定义在区间atb上的函数x1(t),x2(t),xk(t),如果存在不全为零的常数ci,c2,.ck使得恒等式CiXi

25、(t)c2x2(t)ckxk(t)0对于所有ta,b都成立，称这些函数是线性相关的.五1在方程y''p(x)y'q(x)y0中，已知p(x),q(x)在(，)上连续，求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.证明：方程y''p(x)y'q(x)y0,设y(x)是它的任一非零解。若p(x),q(x)在(，)上连续，假设y(x)在xoy平面上与轴相切。则y'(x)0,y''0与方程有非零解y(x)矛盾。故y(x)与x轴不相切dnxdn1x2由已知得N&丁3x1dnxdn1xfl(t)Gnx(t)f1(t)f

26、2(t)由左端得dn(x(t) x(t)dtnGi(t)n 1d (x(t) x(t)dtn 1Gn(t)(Xi(t) X2(t) =dnx(t)dnx(t)dtndtnGi(t)dn1x(t)dtn 1Gn(t)dn1x(t)dtn 1Gn(t)xi(t)Gn(t)x2(t)证明 设y = y(x)是方程任一解，满足 y (x 0) = y 0 ,该解的表达式为 取极限4证明 设yi(x),y2(x)是方程的基本解组，则对彳壬意x ()，它们朗斯基行列式在()上有定义，且W(x) 0 .又由刘维尔公式由于W(x0) 0, p(x) 0,于是对一切x ()，有W'(x) 0或W 

27、9;(x)0故川(刈是()上的严格单调函数5答案略6证明：已知函数组的 wronshi行列式为1xW(x)=e(nx)上述最后的行列式为范德蒙受行列式它等于j)由题设知i j(i j)由此行列式不为零.从而W (x)0由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕7.证明 由已知条件，该方程在整个 xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然y 1是方程的两个常数解.把x1(t)+x2(t)代入方程G1(t)Tdtndtn1任取初值（xo, yo）,其中xo （yo1 .记过该点的解为 y y（x）,由上面分析可知,一方面yy（x）可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y1,下方不能穿过y1,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为（，）.（10分）8.证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是（,）显然，该方程有零解y（x）0.假设该方程的任一非零解y1（x）在x轴上某点x0处与x轴相切，即有y（xo）y（xo） = o,那么由解的惟一性及该方程有零解y（x） o可知y1（x） o, x （）,这是因为零解也满足初值条件y（xo