北师大版高中数学（必修5）2.3《解三角形的实际应用举例》（理）教案]

1、第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（理）北师大版必修5【本讲教育信息】一、教学内容：三角形中的几何计算及实际应用举例二、教学目标（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。三、知识要点分析：1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）（i）大角对大边：（ii）正弦定理：，（R是三角形外接圆的半径）（iii）余弦定理：（iv）三角形的面积SABC2.

2、 解决实际问题的有关知识点（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。（3）解决实际问题的步骤（i）理解题意分清已知与未知。（ii）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。（iii）作答。3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （ii）（iii）【典型例题】考点一：三角形中的几何计算例1. 设D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点，AB=AD，。（1）求证：，（2）若求的值。思路分析：（1）由已知找出与的关系，即，即

3、可证明。（2）由正弦定理得到关于的方程即可。 解：（1）由AB=AD.（2）由正弦定理得：将此式代入得：将整理得：又故。即所求的角是例2. 设P是正方形ABCD内一点，P到A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD的边长思路分析：设正方形的边长为x，根据角ABP与角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立关于x的方程，再求解。解：设边长是x，（1xb (a,b是实数)4. 二次函数的关系是什么？二：预习导学探究、反思探究反思的任务：不等关系、一元二次不等式的解法1、举例说明在现实生活中的不等关系。【反思】比较两个实数大小的方法有哪些？（作差比较，作商比较） a-b0 2、不等式的性质有

4、哪些？传递性_，(2)加法单调性_，（3）乘法单调性_。（4）同向不等式相加_（5）两边都是正数的同向不等式相乘_。【反思】由上面的性质你能证明：ab0,吗？3、一元二次不等式的定义：_。4、一元二次不等式的解法的步骤有_。【反思】（1）你能画出解一元二次不等式的解法的程序框图吗？（2）对不等式，若方程三种情形中，如何表示不等式的解集？5、分式不等式的解法思想是_【反思】分式不等式可化为不等式组_6、一元高次不等式的解法思想是_简述用穿针引线法求一元高次不等式的解集的方法。【反思】：在利用穿针引线法求一元高次不等式的解集的过程中，若出现因式，应如何处理？【模拟试题】（答题时间：70分钟）一、选

5、择题：1. 在ABC中，已知a=1，b=，A=30，B为锐角，则角A，B，C的大小关系是（）A. ABCB. BACC. CBAD. CAB*2. 在ABC中，角A，B满足：sin=sin，则三边a，b，c必满足（ ）A. a=bB. a=b=cC. a+b=2cD. 3. 如图，D，C，B三点在一条直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角是，（）则A点离地面的高度AB 等于（ ）4. 在三角形ABC中，下列等式总能成立的是（ ）A. a cosC=c cosA B. bsinC=csinA C. absinc=bcsinB D. asinC=csinA*5. 某人向正东方向走x千米后，他

6、向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为千米，则x=（ ）*6. 有一座20米高的观测台，测得对面一水塔塔顶的仰角是60，塔底的俯角是，则这座塔高是（ ）*7. 已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都是a km，灯塔A在观测站C的北偏东20，灯塔B在观测站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离是（ ）8. 在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+ca）=3bc，且sinA=2sinBcosC，则三角形ABC是（ ）A. 等腰三角形， B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形二、填空题：*9. 在三角形ABC中，ab=4，a+c=2b，且最大角为120，则此三角

7、形的周长是 *10. 在三角形ABC中，若C=3B，则的取值范围是 *11. 在三角形ABC中，已知B=45，C=60，则三角形的面积S=_12. 海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望，C岛和B岛成60视角，从B岛望A岛和C岛成75视角，则B岛和C岛的距离是 海里*13. 在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC，则三角形ABC的形状是 *14. 若等腰三角形的顶角是20，底边和一腰长分别是b，a，则下列结论不成立的是 （1），（3）（4）三、计算题：*15. 已知地面上有一旗杆OP，为了测得其高度h，地面上取一基线AB，AB=20米，在A处测得P点的仰角OAP=30，在

8、B处测得P点的仰角OBP=45，又知AOB=60，求旗杆的高度h.16. 已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？*17. 在圆心角为60的扇形铁板OAB中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积。【试题答案】一、选择题: C D A D C B B B二、填空题：9. 30 10.（1，3） 11. 12. 13. 直角三角形 14.（2）（3）（4）三、计算题：15.【分析】欲求旗杆的高度，只要注意到OP=OB=h.然后利用正弦定理或余弦定理解决即可。解：AO=OPcot30=，OB=OP=h，在三角形ABO中：由余弦定理得：60答：所求旗杆的高度是。16.【分析】要判断船有无触礁的危险，只要判断A到BC的直线距离是否大于38海里就可以判断。解：在三角形ABC中：BC=30，B=30，ACB=18045=135，故A=15由正弦定理得： 故于是A到BC的直线距离是Acsin45=，大于38海里。答：继续向南航行无触礁的危险。17. 【分析】要找出内接矩形的长宽与面积S的关系，可采