华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)

1、 对弧长的曲线积分1、计算，其中曲线是在的一段弧。解：的参数方程为原式2、计算，其中星形线在第一象限的弧。解：原式3、计算，其中为折线，这里依次为点。解：段参数方程，段参数方程原式4、计算，其中为螺旋线上相应于从到1的弧。解：方法一原式原式方法二、原式原式方法三、原式因为所以原式5、计算，其中解：，曲线的参数方程为原式6、计算,其中为圆周，直线在第一象限内所围成的扇形的边界。解：如右图，线段的参数方程为 弧的参数方程为线段的参数方程为原式7、求曲线的质量，其密度。解：8、求半径为，中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心。解：设圆的方程为，所求质心坐标为。对坐标的曲线积分1、计算下列对坐标的曲线积分

2、 1），其中为按逆时针方向绕椭圆周。 解：椭圆的参数方程为从变到原式 2），其中是点为顶点的三角形边界（按逆时针方向）。 解：，从变到原式 3）计算曲线积分，其中为由点沿抛物线到点，再沿轴到点的弧段。 解：原式 4），其中是从点到点的一段线段。 解：的参数方程为，从变到 原式 5），其中是圆柱螺线从到的一段弧。 解：原式。2、计算，式中是从点沿到点，再由点沿回到点的闭曲线。解：的参数方程为，从到；的参数方程为，从到原式。3、设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移到时，求力所做的功。解：，抛物线的参数方程为，从到。4、设为曲线上相应于从变到的一段曲线

3、弧，把对坐标的曲线积分化为关于弧长的曲线积分。解：格林公式及其应用1、利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积1） 星形线。解：。方法二、2） 。解：。2、计算，其中为反时针绕椭圆 一周。解：利用格林公式原式3、计算，其中为抛物线上由点到的一段弧。解：设 因为，所以此曲线积分与路劲无关， 原式4、计算，其中为椭圆的正向一周。解：利用格林公式 原式 4），其中为正向椭圆。 解：在的内部以原点为圆心以很小正数为半径作取正向的圆周，其参数方程为 ，从到。由于，利用格林公式有 原式。 5、计算曲线积分，其中为连续函数是沿圆周按逆时针方向由点到点的弧段。解：从变到原式6、计算，其中为 1）圆周（按

4、反时针方向）； 2）闭曲线（按反时针方向）。解：设，它们在处无定义。1）因为不在圆周内，所以；2）因为在闭曲线内，所以可在闭曲线内作圆周（取反时针方向）。7、证明下列曲线积分在平面内与路径无关 1） 解：因为，所以以上曲线积分在平面内与路径无关。 2） 解：因为，所以以上曲线积分在平面内与路径无关。8、计算，其中是过三点的圆周。解：设围成的区域为，利用格林公式得9、设在上具有连续的导数，计算其中为从点到点的直线段。解：因为，所以此曲线积分与路劲无关。取路径沿曲线从点到点原式。10、验证在整个平面内是某个函数的全微分，并求出一个原函数。1）解：因为，所以上式在平面内是某个函数的全微分。2）解：因

5、为，所以上式在平面内是某个函数的全微分。3）解：因为，所以上式在平面内是某个函数的全微分。11、设有一变力在坐标轴上的投影为，这变力确定了一个力场，证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。证明：因为，所以场力所做的功与路径无关。对面积的曲面积分1、计算下列对面积的曲面积分1），其中为平面在第一卦限中的一部分。解：原式，其中由围城的区域2），其中是锥面被柱面所截得的有限部分。解：原式3），其中为球面。解：原式。2、，其中是平面被柱面截的有限部分解：原式3、求球面含在柱面内部的那一部分面积。解：，其中在面投影为围成的区域4、求抛物面壳的质量，此壳的面密度大小为。解：（其中）5、设圆锥面（为

6、圆锥面底面半径，为高），其质量均匀分布，求其重心。解：由对称性可得，无妨设其密度为，所求重心为。6、计算，其中是四面体的边界。解：原式对坐标的曲面积分1、计算，其中是柱面被平面及所截得的在第一象向部分的前侧。解：在上的投影区域为一段圆弧；在面上投影区域为在面上投影区域为原式2、计算曲面积分，其中为旋抛物面下侧介于平面及之间部分。解：原式这里用换元法计算定积分，（令）及的计算公式。3、计算，其中为半锥面及平面所围成立体表面外侧。解：曲面分成四部分，在面上投影区域面积为零，在面的投影为梯形由围成，所以定积分无法求出，题目有问题。4、计算，其中是平面所围成空间区域整个边界的外侧。解：原式5、计算曲面积分，其中下半球面的上侧，为大于零的常数。解：对应侧的法向量为 原式6、把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分：1）是平面在第一象限的部分上侧。2）是抛物面在面上方部分的上侧。解：1）对应侧的法向量为 原式2）对应侧的法向量为 原式高斯公式和斯托克斯公式1、利用高斯公式计算曲面积分1）求，其中为与围成的立体的表面，取外侧。解：利用高斯公式可得2）利用高斯公式计算曲面积分，其中是由曲线绕轴旋转一周所成曲面，它的法向量与正方向夹角恒大于。解：曲面为，并取左侧。作辅助曲面，并取右侧，利用高斯公式可得3）设函数由一阶连续的导数，计算曲面积分式中时下半球面的上侧。