北师大版九年级上册13正方形的性质与判定同步测试

1、北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定一、选择题1. 如图,已知正方形ABCD的两条对角线相交于点O,那么此图中等腰直角三角形有()  A. 4个             B. 6个             C. 8个        &

2、#160;    D. 10个             2. 四位同学分别画一个四边形ABCD(对角线AC,BD相交于点O),并各自测得的结果如下,其中不能判断四边形ABCD是正方形的是() A. 小玮说:AB=BC=CD=AD,AC=BD             B. 小玲A=B=C=90

3、6;,ADB=CDB              C. 小明说:AO=BO=CO=DO,AB=BC             D. 小亮:ACBD,AC=BD,AB=BC,BAD=90°    3. 正方形具有而菱形不具有的性质是() A. 对角线互相平分  &#

4、160;          B. 对角线互相垂直              C. 对角线平分内角             D. 对角线相等       

5、0;     4. 如图,在正方形ABCD中,CE=MN,MCE=35°,那么ANM=() A. 45°             B. 50°             C. 55°     

6、        D. 60°             5. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是() A. 平行四边形                      

7、                            B. 平行四边形和菱形              C. 正三角形、等腰三角形、正方形    &

8、#160;        D. 矩形、菱形、正方形             6. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AO=CO=BO=DO,ACBD,则四边形ABCD的形状是() A. 平行四边形             B.

9、菱形             C. 矩形             D. 正方形             7. 在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是() A. AC=BD,ABC

10、D                 B. ADBC,A=C              C. AO=BO=CO=DO,ACBD             D. AO=CO,BO=DO,

11、AB=BC             8. 在正方形ABCD中,O是对角线的交点,AB=12,则OAB的周长是()A. 12+122             B. 12+62             C. 12+

12、3             D. 24+52             9. 如图,在直线l上依次放着三个正方形,已知斜放的正方形的面积为2,正放的两个正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为() A. 2          

13、;   B. 1             C. 2             D. 4             10. 如图,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC

14、上有一点P,使PD+PE的和最小,最小值为5,则正方形的边长为() A. 4             B. 2.5             C. 3             D. 5 

15、60;           11. 如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则BFC=() A. 45°             B. 55°             C

16、. 60°             D. 75°             12. 如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG,则图中阴影部分的面积为() A. 12         &

17、#160;   B. 33             C. 1-34             D. 1-33             13. 如图,正方形ABCD的周长为24cm,则

18、矩形MNGC的周长是() A. 24cm             B. 12cm             C. 18cm             D. 6cm   

19、60;         14. 如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为() A. 16             B. 17             C. 18  

20、;           D. 19             15. 如图,在ABC中,ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是() A. BC=AC        

21、0;    B. CFBF             C. BD=DF             D. AC=BF             16. 如图,边长分别为4和8的两

22、个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT长为() A. 2             B. 22             C. 2             

23、;D. 1             17. 如图所示,将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是() A. 2 cm             B. 3 cm      &

24、#160;      C. 4 cm             D. 5 cm             二、填空题18. 如图,E为正方形ABCD外一点,若ADE为等边三角形,那么AEB=.  19. 如图所示,已知点D是ABC的边BC(不含

25、点B,C)上的一点.DEAB交AC于点E,DFAC交AB于点F.要使四边形AFDE是正方形,则在ABC中需增加条件. 20. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC和BD,CE平分ACD交BD于点E,则DE=. 21. 如图所示,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,则AEB的度数为. 22. 如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是.  23. 如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.下列结论:CE=CF;AEB=75°BE+D

26、F=EF;S正方形ABCD=2+3.其中正确的序号是.(把你认为正确的都填上)  24. 如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过此正方形的顶点B,D作BFa于点F,DEa于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长是.  25. 如图所示,在边长为2 cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB,PQ,则PBQ周长的最小值为cm(结果不取近似值).  三、解答题26. 如图所示,在ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H. (1)

27、你能说明四边形EHFG是平行四边形吗?(2)想一想,什么时候四边形EHFG会成为一个菱形?(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗?27. 如图,在正方形ABCD中,点F在CD上,AE平分BAF,E为BC的中点.求证:AF=BE+DF. 28. 如图,四边形ABCD是正方形,BEBF,BE=BF,EF与BC交于点G. (1)求证:AE=CF;(2)若ABE=55°,求EGC的大小.29. 如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN是什么特殊的四边形?请证明你的结论. 30. 如图所示,在平行四边形ABC

28、D中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且ACE是等边三角形. (1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AED=2EAD,求证:四边形ABCD是正方形.31. 如图,正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且EDF=45°.将DAE绕点D逆时针旋转90°,得到DCM. (1)求证:EF=FM;(2)当AE=1时,求EF的长.32. 如图,在RtABC中,ACB=90°,过点C的直线MNAB,D为AB边上一点,过点D作DEBC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD.(2)当

29、D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由.(3)若D为AB中点,则当A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.33. 已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC,BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别作直线AC,BD的垂线PE,PF,垂足为E,F.  (1)如图,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值;(2)如图,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定参考答案1. 【答案】C【解析】题图中由已知得等腰直角三角形有AOB,BOC,DOC,AOD,ABD,BCD,ABC,

30、ADC,共8个,故选C.2. 【答案】D【解析】A中,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形.又AC=BD,四边形ABCD是正方形.B中,A=B=C=90°,四边形ABCD是矩形,ABD=CDB. ADB=CDB,ADB=ABD,AB=AD,四边形ABCD是正方形.C中,AO=BO=CO=DO,四边形ABCD是矩形.又AB=BC,四边形ABCD是正方形.D中,对角线相等且互相垂直,有一组邻边相等,一个角是直角不能说明四边形ABCD是正方形.故选D.3. 【答案】D【解析】A,B,C是菱形所具有的性质，而菱形的对角线相等即是正方形，故选D.4. 【答案】C【解析】过B做

31、BGMN,交AD于G，  则由题意得BG=MN=CE，BCE=35°，BGA=55°，则ANM=55°,故选C.5. 【答案】D【解析】平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形,故A,B不符合题意;正三角形、等腰三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故C不符合题意;矩形、菱形、正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故选D.6. 【答案】D【解析】AO=BO=CO=DO,四边形ABCD是平行四边形.ACBD,平行四边形ABCD是菱形.又AO=BO=CO=DO,AC=BD.菱形ABCD是正方形.故选D.7. 【答案】C【解析】A项只能得出

32、四边形ABCD是矩形;B项只能得出四边形ABCD是平行四边形;C项通过AO=BO=CO=DO可以判断该四边形为矩形,由ACBD可进一步判断该矩形为正方形;D项只能得出四边形ABCD是菱形.故选C.8. 【答案】A【解析】如图所示,AB=AD=12, BD=122+122=122. COAB=OA+OB+AB=BD+AB=122+12.故选A. 9. 【答案】C【解析】题图中的两个直角三角形全等,则以直角三角形三边长为边长所构造的三个正方形满足“两较小的正方形的面积和等于较大的正方形的面积”,则S1+S2=2,故选C.10. 【答案】D【解析】设BE与AC的交点为点

33、P,如图所示,连接PD,则此时PD+PE的和最小.  四边形ABCD是正方形, 点D与点B关于AC对称, PD+PE=PB+PE=BE=5. 又ABE是等边三角形, AB=BE=5. 正方形的边长为5. 故选D.11. 【答案】C【解析】AC是正方形ABCD的对角线,BAC=45°. 又ADE是等边三角形,DAE=60°,AB=AD=AE, BAE=BAD+DAE=90°+60°=150°,ABE=AEB=12(180°-150

34、6;)=15°. 又BFC是ABF的一个外角,BFC=BAC+ABE=45°+15°=60°.故选C.12. 【答案】D【解析】设EF交CD于点H,连接AH,如图所示.  正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG, BAE=30°, EAD=90°-BAE=90°-30°=60°. AE=AD,AH为公共边, RtADHRtAEH(HL), DAH=EAH=12EAD=30°. 在Rt

35、ADH中,AH=2DH,AD=1, (2DH)2-DH2=AD2,即4DH2-DH2=1, 解得DH=33(负值舍去). SAHD=12AD·DH =12×1×33=36. SADH=SAEH=36, S阴影部分=1-36×2=1-33.故选D.13. 【答案】B【解析】四边形ABCD是正方形,NBG=NDM=45°,在RtBGN中,BG=GN,在RtNMD中,NM=MD.又四边形NGCM是矩形,NM=CG,NG=CM,矩形MNGC的周长=MN+NG+GC+MC=MD+BG+GC+MC

36、=(MD+MC)+(BG+GC)=DC+BC=12×24=12(cm),故选B.14. 【答案】B【解析】如图所示,AC是正方形ABCD的一条对角线,ACB=ACD=45°,ABC是等腰直角三角形,AC=AB2+BC2=62+62=62. 又四边形EBFG和四边形PHQM均为正方形,CFG和CPM是等腰直角三角形,则BF=FG=CF=12BC=12×6=3,CM=PM=QM=HQ=AQ=13AC=13×62=22,正方形EBFG的面积S1=32=9,正方形PHQM的面积S2=(22)2=8,S1+S2=9+8=17. 15. 【答案】

37、D【解析】因为EF垂直平分BC,所以BE=EC,BF=FC.又BE=BF,所以BE=EC=CF=FB,所以四边形BECF为菱形.如果BC=AC,则ABC=90°÷2=45°,则EBF=90°,能证明四边形BECF为正方形.如果CFBF,那么BFC=90°,能证明四边形BECF为正方形.如果BD=DF,那么BC=EF,能证明四边形BECF为正方形.当AC=BF时,可得AC=BE=EC=AE,此时ABC=30°,则EBF=60°,不能证明四边形BECF为正方形.故选D.16. 【答案】B【解析】BD,GE分别是正方形ABCD,正

38、方形CEFG的对角线,ADB=CGE=45°.GDT=180°-90°-45°=45°.DTG=180°-GDT-CGE=180°-45°-45°=90°. DGT是等腰直角三角形.两正方形的边长分别为4,8, DG=8-4=4.设GT=x,则DT=x,x2+x2=42,x=22.则GT=22.故选B.17. 【答案】B【解析】E是BC的中点,EC=12×8=4(cm),由题意可知DN=EN,设CN=x cm,则DN=(8-x)cm,在RtECN中,由勾股

39、定理得(8-x)2=x2+42,解得x=3,即CN=3cm故选B.18. 【答案】15° 【解析】如题图，由题意得EDA=60°,DAB=90°,EAB=150°，又EA=AD=AB,AEB=180-302=15.19. 【答案】AB=AC,A=90°,BD=CD 【解析】由条件可得四边形AFDE是平行四边形,一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形.20. 【答案】2-1 【解析】如图所示,设AC与BD相交于点O.  过点E作EFDC于点F,四边形ABCD是正方形,ACBD. 

40、;又CE平分ACD交BD于点E,EO=EF. 正方形ABCD的边长为1,AC=12+12=2. CO=12AC=22.CF=CO=22.EF=DF=DC-CF=1-22. DE=EF2+DF2=(1-22)2+(1-22)2=2-1.21. 【答案】15° 【解析】ADE是等边三角形,DAE=60°.BAE=90°+60°=150°.在BAE中,AB=AE,AEB=12(180°-150°)=15°.22. 【答案】2 【解析】如图,连接O1B,O1C,BO1F+F

41、O1C=90°,FO1C+CO1G=90°,BO1F=CO1G.又O1B=O1C,O1BF=O1CG=45°,  O1BFO1CG.这表明如果正方形ABCD绕着点O1旋转，则不论两正方形相对位置如何，重叠部分的面积为一个定值.当B,C都在第二个正方形边上的时候，重叠部分为四分之一的正方形，所以O1,O2两个正方形重叠部分的面积是14S正方形,同理另外两个正方形重叠部分的面积也是14S正方形,S阴影部分=12S正方形=2.23. 【答案】 【解析】AB=AD,AE=AF,B=D=90°,BE=DF.又BC=CD, C

42、E=CF,正确;在正方形ABCD中,由得CEF=45°,又AEF=60°,可得AEB=75°,正确;连接AC交EF于点M,可得ACEF, EM=CM=1,则AC=3+1, 正方形的面积为(3+1)22=2+3,正确.设BE=x,则AB=BC=x+2,x2+( x+2)2=22,解得x=6-22(舍去负值),BE+DF=2x=6-22=EF.错误.24. 【答案】13 【解析】在正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90°, FAB+DAE=90°. 又DEa,EDA+DAE=90

43、76;,FAB=EDA. 又DEA=AFB=90°, AFBDEA,AF=DE,BF=AE. EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.25. 【答案】5+1 【解析】连接BD,DQ,PD,则PBQ的周长为PB+PQ+BQ=PD+PQ+BQDQ+BQ,所以当P,D,Q三点共线时PBQ的周长最小.因为Q为BC的中点,所以在RtCDQ中,DQ=CD2+CQ2=22+12=5.因为四边形ABCD是正方形,所以AC垂直平分BD,则PB=PD,故PBQ的周长=PB+PQ+BQ=PD+PQ+BQ=DQ+BQ =5+1.26.(1) 【答案】能说

44、明四边形EHFG是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形,ABCD且AB=CD. 而AE=12AB,CF=12CD,AECF. 四边形AECF是平行四边形,可知GFEH. 同理可得GEHF. 四边形EHFG为平行四边形. (2) 【答案】当四边形ABCD是矩形时,四边形EHFG是菱形. 由第1问四边形EHFG是平行四边形. 当四边形ABCD是矩形时,四边形EBCF也是矩形, EH=FH,四边形EHFG是菱形. (3) 【答案】当四边形ABCD是矩形且AB=2AD时,四边形EHFG是正方形.&#

45、160;由第二问知当四边形ABCD是矩形时,四边形EHFG是菱形. 又由AB=2AD可知四边形EBCF是正方形. 根据正方形的性质知,ECBF,即EHF=90°, 四边形EHFG是正方形. 27. 【答案】将ABE逆时针旋转90°变为如图所示,  则AB=AD,BE=DE',E'AE=90°,ADE'=ABE=90°, E',D,F三点共线. AE是BAF的角平分线. 1=2. 又四边形ABCD是正方形, B=90

46、°. AEB=E'=90°-1=90°-2=E'AF. AF=FE'=FD+DE'=FD+BE. 28.(1) 【答案】四边形ABCD是正方形,ABC=90° ,AB=BC. BEBF,FBE=90°. ABE+EBC=90°,CBF+EBC=90°, ABE=CBF. 在AEB和CFB中,AB=BC,ABE=CBF,BE=BF, AEBCFB(SAS),AE=CF. (2) 【答案】BEBF,

47、FBE=90°. 又BE=BF,BEF=EFB=45°. 四边形ABCD是正方形,ABC=90°. ABE=55°,EBG=90°-55°=35°. EGC=EBG+BEF=35°+45°=80°. 29. 【答案】四边形EFMN是正方形. 证明:四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA. AE=BF=CM=DN,NA=EB=FC=MD. A=B=C=D=90°, RtAENRtBFERtCMFRtDNM(SAS). EF=FM=MN=NE. 四边