切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段

1、切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段九年级数学同步辅 2009-06-29 23:12:37 阅读105 评论0   字号：大中小 订阅 切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段  学习目标  1. 切线长概念    切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。  2. 切线长定理    对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条

2、切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。  3. 弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。    直线AB切O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）  4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。  5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。  6. 遇到圆的切线，可联想

3、“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。  7. 与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理 O中，AB、CD为弦，交于PPA·PBPC·PD连结AC、BD，证：APCDPB相交弦定理的推论 O中，AB为直径，CDAB于PPC2PA·PB用相交弦定理切割线定理 O中，PT切O于T，割线PB交O于APT2PA·PB连结TA、TB，证：PTBPAT切割线定理推论 PB、PD为O的两条割线，交O于A、CPA·PBPC·PD过P作PT切O于T，用两次切割线定理圆幂定理 

4、O中，割线PB交O于A，CD为弦P'C·P'Dr2OP'2PA·PBOP2r2r为O的半径延长P'O交O于M，延长OP'交O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证  8. 圆幂定理：过一定点P向O作任一直线，交O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|（R为圆半径），因为叫做点对于O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】  例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。图1 

5、   解：由切线长定理知：AFAB1，EFCE    设CE为x，在RtADE中，由勾股定理        ，       例2. O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm。图2    解：由相交弦定理，得    AE·BECE·DE    AE6cm，BE2cm，CD7cm，

6、0;   ，    ，    即    CE3cm或CE4cm。    故应填3或4。    点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。   例3. 已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则_。    解：PP    PACB，    PACPBA，    ， &#

7、160;  。    又PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得        ，    即  ，    故应填PC。    点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。   例4. 如图3，P是O外一点，PC切O于点C，PAB是O的割线，交O于A、B两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是_cm。图3 

8、;   解：PC是O的切线，PAB是O的割线，且PA：PB1：4    PB4PA    又PC12cm    由切割线定理，得        ，        PB4×624（cm）    AB24618（cm）    设圆心O到AB距离为d cm，    由勾股定理

9、，得        故应填。   例5. 如图4，AB为O的直径，过B点作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的长。图4    点悟：要证，即要证CEDCBE。    证明：（1）连结BE        （2）。    又，    厘米。  

10、0; 点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。   例6. 如图5，AB为O的直径，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延长线于E。图5    求证：    证明：连结BD，    AE切O于A，    EADABD    AEAB，又ABCD，    AECD    AB为O的直径    ADB90°

11、;    EADB90°    ADEBAD            CDAB        ADBC，   例7. 如图6，PA、PC切O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BCCD·AB图6    点悟：由结论AD·BCCD·AB得，显然要证PADPBA和PCDPBC 

12、0;  证明：PA切O于A，    PADPBA    又APDBPA，    PADPBA        同理可证PCDPBC        PA、PC分别切O于A、C    PAPC        AD·BCDC·AB   例8. 如图7，在直角

13、三角形ABC中，A90°，以AB边为直径作O，交斜边BC于点D，过D点作O的切线交AC于E。图7    求证：BC2OE。    点悟：由要证结论易想到应证OE是ABC的中位线。而OAOB，只须证AECE。    证明：连结OD。    ACAB，AB为直径    AC为O的切线，又DE切O于D    EAED，ODDE    OBOD，BODB  

14、0; 在RtABC中，C90°B    ODE90°        CEDC    EDEC    AEEC    OE是ABC的中位线    BC2OE   例9. 如图8，在正方形ABCD中，AB1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。

15、0;   当DEF45°时，求证点G为线段EF的中点；图8    解：由DEF45°，得    ，    DFEDEF    DEDF    又ADDC    AEFC    因为AB是圆B的半径，ADAB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。    又因为EF切圆B于点G，所以AEEG，FCFG。 

16、;   因此EGFG，即点G为线段EF的中点。 【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题  1. 已知：PA、PB切O于点A、B，连结AB，若AB8，弦AB的弦心距3，则PA（    ）    A.                  B.         

17、          C. 5                      D. 8  2. 下列图形一定有内切圆的是（    ）    A. 平行四边形      

18、0;                    B. 矩形    C. 菱形                         

19、0;           D. 梯形  3. 已知：如图1直线MN与O相切于C，AB为直径，CAB40°，则MCA的度数（    ）图1    A. 50°                 B. 40°   &

20、#160;             C. 60°                 D. 55°  4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（    ）    A. 8cm 

21、60;                B. 10cm                C. 12cm                D. 16cm

22、60; 5. 在ABC中，D是BC边上的点，AD，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延长线与ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（    ）    A.                          B.     C.    

23、60;                    D.   6. PT切O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交O于B和A，B在线段PD上，若CD2，AD3，BD4，则PB等于（    ）    A. 20           

24、         B. 10                     C. 5               D.  二、填空题  7. AB、CD是O切线，AB

25、CD，EF是O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则EOF_度。  8. 已知：O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PA·PB24，OP5，则O的半径长为_。  9. 若PA为O的切线，A为切点，PBC割线交O于B、C，若BC20，则PC的长为_。  10. 正ABC内接于O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交O于点D，连结BD交AC于P，则_。 三、解答题  11. 如图2，ABC中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N是ABC与内切圆的切点，DE切O于点M，且DEAC，求DE的长。图2  12. 如

26、图3，已知P为O的直径AB延长线上一点，PC切O于C，CDAB于D，求证：CB平分DCP。图3  13. 如图4，已知AD为O的直径，AB是O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB，求O的半径。图4【试题答案】一、选择题  1. A                   2. C               3. A               4. B