角动量与角动量守恒

1、o13-6 3-6 角动量定理、角动量守恒定律角动量定理、角动量守恒定律 一、质点的角动量一、质点的角动量定义质点定义质点m相对于参考点相对于参考点o的的角动量角动量m对对o点的位矢点的位矢大小：大小：方向：方向：按右手螺旋法按右手螺旋法对于圆周运动，对于圆周运动， :LrmvsinLrmv2Lmvrm r:r90LvrmLSoxyz2通常将角动量通常将角动量L就画在参考点就画在参考点 上，以示对该点的角动量。上，以示对该点的角动量。角动量的定义也可描述作直线运动的质点。角动量的定义也可描述作直线运动的质点。注意：注意：LrmvsinLmvrmvdmvLmvrrdLmvd3力矩力矩大小：大小：

2、方向：方向：垂直于垂直于 和和 组成的平面组成的平面( (右旋关系右旋关系) )当当 但：但：有心力的力矩为零有心力的力矩为零则必有：则必有：定义力定义力F 相对于参考点相对于参考点o的力矩矢量的力矩矢量rF0 / /rrF或或0,F |sinMrFFr MrFrFr F0M rFMFSmroMF r4二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理 是相对于同一参考点而言的。是相对于同一参考点而言的。 角动量定理只适用于惯性系。角动量定理只适用于惯性系。注意：注意：质点的角动量质点的角动量Lrmvrp()dLdrpdtdtdrdpprdtdtvprFrFMdLMdt0vpML、质点的角动量定理质点的

3、角动量定理5角动量是否守恒，与参考点的选取有关。角动量是否守恒，与参考点的选取有关。三、质点的角动量守恒定律三、质点的角动量守恒定律质点相对于某点所受的合力矩为零时，其对该点的质点相对于某点所受的合力矩为零时，其对该点的角动量保持不变，即角动量保持不变，即角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律, ,无论无论 是宏观还是微观领域。是宏观还是微观领域。若若 但但 在某个方向的投影为零，则该方在某个方向的投影为零，则该方 向上的角动量恒。向上的角动量恒。0dLMdtL 0, MM恒矢量恒矢量6例：例：中央开有一小孔的光滑平台上，有一质量为中央开有一小孔的光滑平台上，

4、有一质量为m的小球用细的小球用细线系住，线的另一端穿过小孔后挂一质量线系住，线的另一端穿过小孔后挂一质量m1的重物，当小球的重物，当小球沿半径沿半径r1作匀速圆周运动时重物达到平衡。若在作匀速圆周运动时重物达到平衡。若在m1的下方再挂的下方再挂另一质量为另一质量为m2的重物，问重新达到平衡时小球作匀速圆周运的重物，问重新达到平衡时小球作匀速圆周运动的角速度动的角速度 2 和半径和半径r2是多少？小球的能量改变了多少？是多少？小球的能量改变了多少？解：解：由牛顿定律得由牛顿定律得 相对于小孔，小球所受合力矩为零，故角相对于小孔，小球所受合力矩为零，故角动量守恒：动量守恒：由以上三式解得：由以上三

5、式解得： 211 1m gmr2122 2()mm gmr221122mrmr111/m g mr1m2mmvor7小球能量的变化为：小球能量的变化为：1m2mmvor111m gmr2232222112111121111122rmmmrmrrm22222122111111()()2222Emvmvm rm mmrgrmmm22331212121111mmmmm gmmmr8对整个质点系求和：对整个质点系求和：四、质点系的角动量定理和角动量守恒定律四、质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系角动量定理质点系角动量定理质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律内力矩可以使

6、角动量在系统内质点间转移，但不内力矩可以使角动量在系统内质点间转移，但不能改变整个系统的角动量。能改变整个系统的角动量。对质点对质点i：()iiiidLrFfdt()iiiiiiiiiiidLrFfrFrfdt dLMdt合合外外M合合外外iiLL0iiMLL合合外外恒恒矢矢 0 xyzo0v例：例：如图，质量为如图，质量为m的质点以初速的质点以初速v0作平抛运动。试作平抛运动。试求质点所受的重力对求质点所受的重力对o点的力矩。点的力矩。 9解：解：利用角动量定理求解利用角动量定理求解()dLdMrmvdtdt0vv igt j2012rv tigt j2001()()2Lrmvv tigt

7、jm v igtj2012mgv t k0dLMmgv tkdtLrmgvMA10例例：开普勒第二定律：开普勒第二定律：行星到恒星的矢径在相等的时行星到恒星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。间内扫过的面积相等。试用角动量守恒定律证明之。试用角动量守恒定律证明之。如图，如图， t时间内行星矢径扫过的面积：时间内行星矢径扫过的面积： t 很小很小解：解：（证毕）（证毕）行星作有心运动，故角动量守恒行星作有心运动，故角动量守恒,即：即： 为为不变量不变量 。当当则则111|sinsin222Arlrrr v t 1sin22mrvLttmm 1212 AAtt12,tt 12.AA |rsv t

8、sinLmrvroalrrbL11质点力学的综质点力学的综合应用举例合应用举例xyzo12例：例：设地球半径和质量分别为设地球半径和质量分别为R和和M，质量为，质量为m的小球以的小球以初速初速v0沿地球表面沿地球表面a点水平飞出，且点水平飞出，且v0方向平行于地轴方向平行于地轴oy。设小球轨迹与地轴相交于设小球轨迹与地轴相交于c点（点（ ），求小球在，求小球在c点点的速度方向的速度方向 。忽略地球自转和空气阻力。忽略地球自转和空气阻力。解：解：小球在有心力作用下运动，故角动量守恒。且系统机小球在有心力作用下运动，故角动量守恒。且系统机械能守恒（万有引力为保守力）。械能守恒（万有引力为保守力）。

9、依此列方程：依此列方程：, 3acrR rR2021212accmMmvGrmMmvGr0accrmvrmv3crRcvca0vcrar13解得解得22011223cmMmMmvGmvGRR0accrmvrmv2043cGMvvR03sincvv0sin3cvv0020arcsin3 arcsin912/cvvvvGMRxyzocvca0vcrarvdmMu14例：例：运动的吊斗中的煤以速率运动的吊斗中的煤以速率 dm/dt 落入总质量为落入总质量为M的运煤车中。若运煤车和吊斗同向运动的速率分别为的运煤车中。若运煤车和吊斗同向运动的速率分别为v和和u，问为使车保持匀速前进，应如何给车提供动力，

10、问为使车保持匀速前进，应如何给车提供动力（设摩擦阻力为零）？（设摩擦阻力为零）？x解：解：dt时间内，有质量时间内，有质量dm的煤落入车中。以的煤落入车中。以M和和dm组成系统，则汽车牵引力组成系统，则汽车牵引力的冲量等于的冲量等于dm落入前、后落入前、后系统水平方向动量的增量：系统水平方向动量的增量：21Fdtdppp1pMvudm2()pMdm vF15讨论：讨论：牵引力牵引力(1)(1)制动力制动力(2)(2)动量不变动量不变(3)(3)(4)(4)vdmMuxF21()()()dpppMdm vMvudmvu dm0vuF0vuF0vuF()dmFvudt()dpdmFvudtdt()

11、Fdtdpvu dm0dmuFvdtuhMm16例：例：质量为质量为M、倾角为、倾角为 的斜面体静止于平面上，斜面上的斜面体静止于平面上，斜面上又有一质量为又有一质量为m的滑块。的滑块。求求当滑块当滑块m从斜面顶端从斜面顶端h高处由高处由静止滑至底端时：静止滑至底端时：(1)(1)斜面体的速度；斜面体的速度；(2)(2) m相对于相对于M的速的速度；度；(3) (3) M和和m的水平位移。忽略摩擦。的水平位移。忽略摩擦。解：解：以以M、m和地球组成的系统水平方向和地球组成的系统水平方向动量守恒。动量守恒。设任意时刻设任意时刻m相对相对M的速率为的速率为v ，M对地的速率为对地的速率为u，则，则

12、m对地的速度为对地的速度为2222cossinxyvvvvuv sinyvv cosxvvuxyvvuv iv jxyuxyvv17依水平方向动量守恒得依水平方向动量守恒得同时系统机械能守恒，故由顶端同时系统机械能守恒，故由顶端h到达底端时有到达底端时有联立三方程解得联立三方程解得uhMmxyuxyvv222cossinvvuv 0 xmvMucos0m vuMu221122mghmvMu22cos1singhuMMmm18故斜面的水平位移为故斜面的水平位移为设斜面长度为设斜面长度为L，则，则uhMmxyuxvvcotmhMmcosMmxLmM00coscosttMMmMmLv dtudtxm

13、m221sinmMghMMmmmcosMmvum19滑块滑块m的水平位移为的水平位移为uhMmxyuxvv00(cos)costtmxMxv dtvu dtLxcoscotmLhMmcotcotmhhMmcotMhMmcosxvvu20例：例：质量为质量为M的滑块静止于光滑水平桌面上，一端用不可伸的滑块静止于光滑水平桌面上，一端用不可伸长的细绳连接在墙上，劲度系数为长的细绳连接在墙上，劲度系数为k的轻弹簧固定在滑块右端。的轻弹簧固定在滑块右端。质量为质量为m，初速为，初速为v0的小物在滑块上滑动的小物在滑块上滑动( (无摩擦无摩擦) )，最后与弹，最后与弹簧相碰。设细绳能承受的最大拉力为簧相碰

14、。设细绳能承受的最大拉力为Tm，求：求：( (1) 1)使细绳断裂使细绳断裂的最小的最小v0值；值；(2 (2) )细绳断裂后滑块细绳断裂后滑块M获得的最大加速度；获得的最大加速度；( (3) 3)小小物离开弹簧时相对于桌面的速度为零的条件。物离开弹簧时相对于桌面的速度为零的条件。解解: ( (1) 1)设细绳断裂时弹簧的压缩量是设细绳断裂时弹簧的压缩量是l0，则：，则：解得：解得：( (2) 2)设细绳被拉断时小物的速度为设细绳被拉断时小物的速度为v1，则从，则从v0开始到细绳被拉断，开始到细绳被拉断，系统机械能守恒：系统机械能守恒：同时应有：同时应有：0mTkl22001122mvkl20

15、/mvTmk222010111222mvmvkl0vkmM21当弹簧继续被压缩，达最大压缩量当弹簧继续被压缩，达最大压缩量l 时弹力最大，滑块获得时弹力最大，滑块获得最大加速度，而且此时小物与滑块具有相同速度，设其为最大加速度，而且此时小物与滑块具有相同速度，设其为v2。过程动量守恒，所以过程动量守恒，所以又因从又因从 ，系统机械能守恒，所以，系统机械能守恒，所以0vkmM2220100111, 222mmvmvklTkl2210mTvvmk12()mvmM v22202111()222mvMm vkl02vv22由以上联立解得：由以上联立解得：滑块滑块M的最大加速度：的最大加速度：( (3) 3)当弹