同济版高等数学教案第五章定积分

1、高等数学教案第五章定积分第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式4、了解广义积分的概念并会计算广义积分教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、 定积分的换元积分法与分部积分法3、牛顿-莱布尼茨公式教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。§5 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形 设函数y f(x)在区间a b上非负、连续由直线x a、x b、y 0及曲线y

2、 f (x)所围天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间a b中任意插入若干个分点a X0 X1 X2Xn 1 Xn b把a b分成n个小区间X0 Xi X1 X2 X2 X3 Xn 1 Xn 它们的长度依次为XiXiX0X2X2XiXnXnXn1经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间Xi i Xi上任取一点i以X

3、i i Xi 为底、f ( i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i 1 2n)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即nA f ( 1)Xi f ( 2) X2f ( n) Xnf( i) Xii 1求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积 A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记max Xi X2Xn 于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0所以曲边梯形的面积为nA lim f( i) Xi°i i2变速直线运动的路程天津工业

4、大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室4高等数学教案第五章定积分5高等数学教案第五章定积分设物体作直线运动已知速度V V ( t)是时间间隔算在这段时间内物体所经过的路程ST 1 T 2上t的连续函数且v (t) 0计求近似路程我们把时间间隔T 1 T 2分成n个小的时间间隔 看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点ti在每个小的时间间隔ti内 物体运动i的速度v( i)物体在时间间隔ti内运动的距离近似为S v( i) ti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程S的近似值具体做法是在时间间隔】T i T 2内任意插入若干个分

5、点T 1 to把T i T 2分成n个小段t o t 1t i t 2tn1 t n各小段时间的长依次为tn相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S2在时间间隔ti 1 t i :上任取一个时刻i (ti 1t i:上各个时刻的速度 得到部分路程 Si的近似值ti )以i时刻的速度V ( i)来代替ti 1SiV ( i) t i (i于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值即求精确值记 max t 1 t 2V( i) ti1tn当 0时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室6高等数学教案第五章定积分S l

6、im v( i) ti0i i设函数y f (x)在区间a b上非负、连续求直线x a、x b、y 0及曲线y f (x)所围成的曲边梯形的面积(1) 用分点a xo xi X2xn i xn b把区间a b分成n个小区间Xo Xi xix2 xX3Xn1Xn 记XiXiXi1( i 1 2 n)(2) 任取i Xi 1 Xi以Xi 1刈为底的小曲边梯形的面积可近似为f( J X (i 1 2n)所求曲边梯形面积 A的近似值为nA f( i)i 17高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分(3)记 max X1 X2Xn 所以曲边梯形面积的精确值为#高等数学教案第五章定积分#高等数学

7、教案第五章定积分nA limof( i) Xi0 i 1设物体作直线运动已知速度v v (t)是时间间隔T 1 T 2 上 t的连续函数且v(t) 0计算在这段时间内物体所经过的路程S(1) 用分点T1t0t1t2tn 1tnT2把时间间隔T 1T 2分成n个小时间段t°t1t1t2tn1tn记 ti ti ti 1 (i 1 2n)(2) 任取i ti 1 ti在时间段ti 1 ti内物体所经过的路程可近似为v ( i)ti(i 1 2n)所求路程S的近似值为天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室nS v( i) tii 1(3) 记 max tit2tn所求路程的精

8、确值为nS li叫 v( i) ti0 i 1二、定积分定义抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义 设函数f(x)在a b上有界 在a b中任意插入若干个分点a xo xi x2把区间a b分成n个小区间Xo xi xi X2各小段区间的长依次为xi xi xoX2 X2 xi在每个小区间xi i x订上任取一个点 i(xi i i积xn i xn bXn i xnxn Xn Xn iXi)作函数值f ( i)与小区间长度Xi的乘f ( i)Xi (i i 2 n)并作出和天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室nS f( i

9、) Xii 1记 max Xi X2xn如果不论对a b怎样分法也不论在小区间Xi 1刈上点i怎样取法 只要当 0时 和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间 a b上的定积分 记作：f(x)dxbn即f(x)dx lim f( i) xia0i i其中f (x)叫做被积函数f (x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限 a b叫做积分区间定义 设函数f(x)在ab上有界用分点axoxix2xnixnb把a b分成n个小区间X0 X1X1 X2Xn 1 Xn 记 Xi Xi Xi 1(i 1 2n)任i Xi 1 Xi (i 1 2n)作和nSf

10、(i 1i) Xi记max X1X2Xn 如果当0时上述和式的极限存在且极限值与区间a bb的分法和i的取法无关则称这个极限为函数 f( X)在区间a b上的定积分记作 f(x)dxanaf(x)dxlim0f( i) xi 1b根据定积分的定义曲边梯形的面积为A a f (x)dxaT2变速直线运动的路程为S Tv(t)dtT1天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即f(u)duf (x)dxn(2)和 f( i) x通常称为f (x)的积分和i 1(3)如果函数f (x)在a b上的定积分存在我们就说f (x

11、)在区间a b上可积函数f (x)在a b上满足什么条件时f (x)在a b上可积呢？定理1设f (x)在区间a b上连续则f (x)在a b上可积定理2 设f (x)在区间a b上有界且只有有限个间断点则f (x)在a b 上可积定积分的几何意义12高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分在区间a b上当f(x)b0时积分af(x)dx在几何上表示由曲线(x)、两条直线x a、#高等数学教案第五章定积分当f (x) 0时由曲线y f (x)、两条直线x a、x b与x定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分f(x)dxnlim0i

12、 1f( i) xinlim0i 1 f( i) xba f(x)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分当f (x)既取得正值又取得负值时函数f( X)的图形某些部分在 x轴的上方 而其它部分在#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分x轴的下方如果我们对面积赋以正负号在x轴上方的图形面积赋以正号在x轴下方的图形面#高等数学教案第五章定积分积赋以负号则在一般情形下定积分b f (x)dx的几何意义为它是介于x轴、函数f(x)的图形a及两条直线X a、x b之间的各部分面积的代数和天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室13高等数学教案第五章定积分用定积分

13、的定义计算定积分11。利用定义计算定积分 0x2dx把区间:0 1分成n等份分点为和小区间长度为1)(in)作积分和f( i)Xi1n3ii211)(2n 1) i(1丄)n因为所以；x2dxlim0 f( i) x0i 11 1 1nim 6(1 n)(2 和14高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分利定积分的几何意义求积分:例2用定积分的几何意义求10(1 x)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分为底的曲边梯形其底边长及高均10°x)dx以区间0解：函数y 1 x在区间0 1 上的定积分是以y 1 x为曲边的面积 因为以y 1 x为曲边 以区间0

14、1为底的曲边梯形是一直角三角形 为1所以#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分三、定积分的性质两点规定r, b(1 )当 a b 时 af (x)dx 0a(2)当 a b 时 :f (x)dx ： f (x)dx性质1函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）即15高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分bbbaf(x) g(x)dx af(x)dx ag(x)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分证明：f(x) g(x)dxn叫i1f(i) g(i)x#高等数学教案

15、第五章定积分#高等数学教案第五章定积分nnli叫f( i) x li叫 g( i) x0 i 10 i 1f(x)dxbag(x)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即bba kf (x)dx k a f(x)dx这是因为bakf(x)dxnlim kf( i) x°i 1klim f( i) xi°i 1bk a f (x)dx性质如果将积分区间分成两部分 和即则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

16、#高等数学教案第五章定积分f(x)dxaf(x)dxf(x)dx这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式bcba f(x)dx af(x)dx c f(x)dx成立例如当a < b < c时由于f(x)dxba f(x)dxcb f (x)dx16高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分于是有f(x)dxca f(x)dxcbf(x)dxaf(x)dxf(x)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分性质4如果在区间a b上f(x)1则b1dxabdx b aa性质5如果在区间a b:上 f (x) 0贝Uba

17、 f(x)dx 0 (a b)推论1如果在区间a b:上 f (x) g (x)则f(x)dxbag(x)dx(a b)这是因为g (x)f (x)0从而bbbag(x)dx af(x)dx 玄3&) f(x)dx 0天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分17高等数学教案第五章定积分所以f(x)dxbag(x)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分bb推论 2 |af(x)dx| a|f(x)|dx (a b)这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以bbba|f(x)|dx a f (x)dx 玄1)小bb即| a

18、 f(x)dx| a|f(x)|dx|性质6设M及m分别是函数f (x)在区间a b上的最大值及最小值则bm(b a)f (x)dx M (b a) (a b)a证明 因为m f (x) M 所以bbbamdx a f(x)dx aMdx从而bm(b a) a f (x)dx M (b a)性质7(定积分中值定理)如果函数f (x)在闭区间a b上连续则在积分区间a b上至少存在一个点使下式成立ba f(x)dx f( )(b a)这个公式叫做积分中值公式证明由性质6天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室bm(b a) f(x)dx M (b a)a各项除以b a得1 b m f

19、 (x)dx M b a a再由连续函数的介值定理在a b上至少存在一点1 bf()池 a f (x)dxb a a于是两端乘以b a得中值公式f (x)dx f ( )(b a)积分中值公式的几何解释应注意 不论a < b还是a> b积分中值公式都成立天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室19高等数学教案第五章定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室§5 2微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为v v(t)S ( t)(v(t) 0)则在时间间隔Ti

20、T2内物体所经过的路程S可表示为T2S(T2)S(Ti)及 T v(t)dt即T2v(t)dt S(T2) S(T1)T1上式表明速度函数v (t)在区间TiT2上的定积分等于 v (t)的原函数S(t)在区间TiT2上的增量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间a b上连续 并且设x为a b上的一点 我们把函数f(x)在部分区间a x 上的定积分xaf(x)dx称为积分上限的函数它是区间a b上的函数记为xx(x) a f(x)dx 或(x)a f(t)dt定理1如果函数f(x)在区间a b上连续 则函数x(x) af(x)dx在】a b 上

21、具有导数并且它的导数为天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室21高等数学教案第五章定积分(X)xdx a f (t)dt f (x) (a x<b)22高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分简要证明若(a b)取 x使 x x(a b)(XX) (X)X Xa f(t)dtXa f(t)dt#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分Xaf(艸Xaf(t)dtX Xxf(t)dt f( ) x应用积分中值定理有 f (#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分其中在x与xx之间 x 0时#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分(X)

22、limlim f()x 0 X X 0lim f()Xf(x)x> 0则同理可证(x )f (a)若 x b 取x 0则同理可证 (x)f ( b)定理2如果函数f (x)在区间:a b上连续则函数#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分另一方面初步地揭示了积分学上的一个原函数则X(X)a f(x)dx就是f (x)在a b上的一个原函数定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理3如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间a bbaf(x)dx F(b) F(a)天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

23、23高等数学教案第五章定积分24高等数学教案第五章定积分此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式这是因为F(x)和(x)Xa f (t)dt都是f (x)的原函数所以存在常数CF（ x）(x)（C为某一常数）由 F(a)(a)C 及(a)0 得 C F(a) F (x)(x) F(a)由 F(b)（b） F（a）得（b） F（ b） F（ a）即证明也是所以baf(x)dx F(b)F(a)已知函数F（x）是连续函数f（x）的一个原函数又根据定理2积分上限函数x(x) af(t)dtf（ x）的一个原函数于是有一常数CF( x) ( x) C ( aa 时有 F (a) (a) C(b)

24、 F(b) F(a)x b)而（a） 0所以C F(a)当 x b 时 F (b)(b) F(a)baf(x)dxF(b)F(a)为了方便起见可把F( b)F（a）记成F（x）】abaf(x)dxF(x)a F(b) F(a)进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室25高等数学教案第五章定积分1 o例1.计算0x2dx解由于3x3是x2的一个原函数所以30x2dx 冬30 113 103 10L3333例2计算3 dx1 1 x2解由于arctan x是宀的一个原函数所以dx1 1 x2arcta nx 1arctan、. 3

25、 arctan( 1)11例3.计算2dx2x“ 11 1解 dx In |x| 2 In 1 In 2 In 2 2x例4.计算正弦曲线y sin x在0上与x轴所围成的平面图形的面积解这图形是曲边梯形的一个特例它的面积A 0 sin xdx cosx0（ 1） （ 1） 2例5。汽车以每小时36km速度行驶到某处需要减速停车设汽车以等加速度 a 5m/s2刹车问从开始刹车到停车汽车走了多少距离？解 从开始刹车到停车所需的时间当t 0时汽车速度天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室36 1000 vo 36km/hm/s 10m/s3600刹车后t时刻汽车的速度为v(t) v0

26、 at 10 5t当汽车停止时速度v(t) 0从v( t)10 5t 0得 t 2( s)于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为s :v(t)dt：(10 5t)dt 10t 5*t20 10 (m)即在刹车后汽车需走过10m才能停住27高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分例6。设f(x)在0,)内连续且f (x)> 0证明函数f(x)X0tf(t)dtf(t)dt#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分在(0)内为单调增加函数证明dX0Xtf(t)dt Xf(X)dX 0Xf(t)dtf(x)故F(x)Xf(x)0 f(t)dt f(x) 0tf(t)dtXf

27、 (X) 0 (X t)f(t)dt(0Xf(t)dt)2按假设当0 t X时f (t )> 0 (X t) f (t)0 所以XX0f(t)dt 00(x t)f dt 0从而F (x) >0(x> 0)这就证明了 F ( x)在(0)内为单调增加函数天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分例7.求limx 01ecosx2dt解 这是一个零比零型未定式由罗必达法则12COS X 2e t dt “ e t dt lim cosx 2 lim X 0 x2 x 0x2limx 0sin xe co"x2x12e提示设 （x）1

28、 et dt 则cosx t2(cosx) 1 e dt28高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分dxrxet2dtdx(cosx)dU(u)dleu2(sinx) s.x e cos2x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分5 3定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f (x)在区间a b上连续函数x(t)满足条件(1)( ) a ( ) b(2) (t)在(或 )上具有连续导数且其值域不越出a b29高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分则有f(x)dxf (t) (t)dt#高等数学教案第五章定积分30高等数学

29、教案第五章定积分这个公式叫做定积分的换元公式天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分证明由假设知f(x)在区间a b上是连续因而是可积的(t)在区间31高等数学教案第五章定积分)上也是连续的因而是可积的假设F (x)是f (x)的一个原函数 则baf(x)dx F (b) F(a)另一方面因为 F : (t) F (t)(t) (t)的一个原函数从而(t)f :(t) (t)所以 F (t):是 f f (t)dt F :()F ( )F (b) F (a)因此 bf(x)dx f (t) (t)dta例 1 计算a2 x2dx (a>0)0 2 x

30、2dxt "costacostdt_ _2 _a2 02cos2 tdt "2 02 (1 cos2t)dt云t -sin2t0 - a22 l 20 4提示 、a2 x2 v a2 a2sin2t a cost dx a cos t例 2 计算 02 cos5xsinxdx解令t cos x则2 cos5 xs in xdx2 cos5 xd cosxo0天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分令 cosx t5dt10t5dt 訥0 舌32高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分-时to提示当x#高等数学教案第五章定积分#

31、高等数学教案第五章定积分cos5xs in xdx02 cos5xdcosxfcos6 刈 0icos6i 6cos6°#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分例3计算0 '、sinx sin5 xdx#高等数学教案第五章定积分33高等数学教案第五章定积分解 0 ,sin3x sin5 xdx30 sin2 x|cosx|dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分_3sin2 xcosxdx3sin2 xcosxdx2#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分3sin 2xd sinx2#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分2

32、 5 2护2x0 -in2x. 3提示 、,sin3x sin5x sin3x(1 sin2 x) sin2 x|cosx|cos x在0, 上 | cos x| cos x 在,上 I cos x I例0 sin2 xdsin x计算：着1dx#高等数学教案第五章定积分34高等数学教案第五章定积分解。4；x2严令2x1t13 2tdt 寸,2 3)dt天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分2导 3t： 1(27 9)(3 3) 22提示t 0 xf(sinx)dx ix 2 dx tdt 当 x 0 时 t 1 当 x 4 时 t 3f (x)dx 2

33、f (x)dx例5证明 若f (x)在a a上连续且为偶函数则35高等数学教案第五章定积分36高等数学教案第五章定积分a0a证明因为 af(x)dx a f(x)dx 0 f(x)dxf(x)dx 令Joaf(at)dt 0 f( t)dtf( x)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分所以f(x)dx 0 f( x)dx 0 f (x)dx0 0f(x)f(x)dxaaa2f(x)dx 2 0 f (x)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分讨论若f( x)在a a上连续且为奇函数、 a冋 a f (x)dx ?#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五

34、章定积分提示 若f(x)为奇函数则f ( x) f (x)0从而f (x)dxf( x) f(x)dx 0#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分例6若f (x)在0 1 上连续证明(1) 02 f (sinx)dx 02 f (cosx)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分2 0 f (sinx)dx#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分37高等数学教案第五章定积分所以证明 (1 )令xJ f (sin x)dx02 fsi nq(2)令x t则0 xf(sin x)d

35、x0叫t)dtt)dt0 ( t)fsin(0 f(sint)dt0 f (sin x)dx0 xf (sin x)dx例7设函数f(x)解设x 2 t则4,f(x 2)dx02 f (cosx)dxt)fs in(t)dtt)dt 0( t) f (si nt)dt0 tf (sint)dt0 xf(sin x)dx2 0 f(sinx)dxx2xe11 cosx2,f (t)dt4计算 1 f(x 2)dx01 1 cost2 t2dt 0te t dt1tan2 1 2e 1 0 tan2t-°t2-2天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室38高等数学教案第五章定

36、积分提示 设x 2 t则dx dt当x 1时t 1当x 4时t 2、分部积分法设函数u (x)、v(x)在区间a b上具有连续导数 u(x)、v (x)由(uv)式两端在区间a b 上积分得buvdxauv】abbbu vdx 或 udv uva aabvdua39高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分这就是定积分的分部积分公式分部积分过程bbbuvdx udv uva aab. bvdu uvau vdxaa1例 1 计算 2 arcs in xdxo丄1 丄解 02arcs in xdx xarcsi nx】2 Fxdarcs inx丄 _02 j x dx2 60 ,1 x2

37、-02_ d(1 x2)1220 d x2 k丿 1厂1 x2f 3 112 0 12 2例2计算0exdx解令t则天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室1 ?x1 te xdx 2 ne?tdtooi t2otdett i i t2昭° 2。2e 2et0 2例3设In2sinnxdx证明(1 )当n为正偶数时In(2 )当n为大于1的正奇数时In40高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分证明 Insinnxdx話sinn 1 xd cosxcos xsinn 1 x 0jcosxdsi nn1x#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分(n 1

38、) 02 cos2 xs inn 2 xdx (n 1) j(si nn 2x sin nx)dx (n 1) 02 sinn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2 (n 1)I n由此得Un2n天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室12m 12m 3 2m 53 1lc1加2m2m 2 2m 44 201d2m2m 2 2m 442i1"2m 12m1 2m 1 2m 353 1而Iojdx I1空 si nxdx 10 20因此I2m 12m 3 2m 53 1I2m2m2m 2 2m 44 22I2m2m 2 2m 442!2m 12m1

39、2m 1 2m 353例3设In 02sinnxdx (n为正整数) 证明I2m2m 1 2m 32m 2m 22m 5 31 _2m 4 4 2 22m 2m 2 2m 4 4 22m 1 2m 1 2m 3 5 3证明 In02sinnxdx02sinn 1 xd cosxcosxsinn 1x(2 (n 1)jcos2xsinn 2xdx(n 1) 02(sinn 2x sinnx)dx (n 1) 02sinn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2(n 1)I n天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室由此得In罟人2l2ml2m 12m 1 2m

40、3 2m 5 3 1 l2m 2m 2 2m 4 4 2 02m 2m 2 2m 4 4 2 |2m 1 2m 1 2m 3 5 3 1特别地 l0 jdx $ l102sinxdx 1因此 .2m 1 2m 3 2m 5 3 1_2m 2m 2m 2 2m 4 4 2 22m 2m 2 2m 4 4 22m 1 2m 1 2m 3 5 3天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室43高等数学教案第五章定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室§5 4反常积分、无穷限的反常积分定义1设函数f (x)在区间a )上连续 取b> a 如果极限limbbaf

41、(x)dx存在 则称此极限为函数f (x)在无穷区间a上的反常积分记作af(x)dx 即a f(x)dxblimbaf(x)dx45高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分这时也称反常积分 _ f (x)dx收敛如果上述极限不存在函数f ( x)在无穷区间a )上的反常积分a f(x)dx就没有意义#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分此时称反常积分f(x)dx发散类似地设函数f(x)在区间(如果极限#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分bz z .lim f (x)dx ( a b)a a存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b 上的反常积分记作f

42、 (x)dx 即b f(x)dx lim b f (x)dxaa这时也称反常积分b f(x)dx收敛如果上述极限不存在则称反常积分b f(x)dx 发散天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室#高等数学教案第五章定积分设函数f(x)在区间()上连续如果反常积分f (x)dx 和f (x)dx都收敛则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间()上的反常积分记作f(x)dx 即f(x)dx0f (x)dx o f (x)dx46高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分0blim f (x)dx lim n f (x)dxa ab 0这时也称反常积分f (x)dx收敛如果

43、上式右端有一个反常积分发散则称反常积分 f (x)dx发散定义1连续函数f (x)在区间a)上的反常积分定义为#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分f(x)dx lim bf(x)dxab a在反常积分的定义式中如果极限存在则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散)上的反常积分定义为类似地 连续函数f (X)在区间(b上和在区间(bbf(x)dx lim a f (x)dxf (x)dx lima0f (x)dx limabb0 f (x)dx反常积分的计算如果F (x)是f (x)的原函数 则#高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分° f (x)dx lim

44、ab.a f (x)dx Jim F(x)?天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室lim F(b) F(a)limF(x)F(a)bx可采用如下简记形式a f(x)dxF(x)alimxF(x)F(a)类似地b f (x)dxF(x)bF(b)limxF(x)f(x)dxF(x)limxF(x)lim F(x)x例1计算反常积分己2dx解dx arctan x1 x2 lim arctanx lim arctanxxx例2计算反常积分0 te ptdt（p是常数且p> 0）解 0 te ptdt te ptdtoitde pt0-te pt - e ptdt0 p p抿 pt 扶 pto严pt天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室提示问te Pt tlim舊tlim為0例3讨论反常积分丄dx （ a> 0）的敛散性a xPP<1时aP1时a 讦dxa 2dx讦dx 七X1Pax> 吒x1 Pa因此当P> 1时此反常积分收敛In xaa1 pP 1其值为1 P詁 当P 1时此反常积分发散48高等数学教案第五章定积分#高等数学教案第五章定积分二、无界函数的反常积分定义2 设函数f （x）在区间（a b上连续而在点a的右邻域内无