高三第一轮复习数学-平面向量的数量积

1、高三第一轮复习数学-平面向量的数量积一、教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用二、教学重点：平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。三、教学过程：（一）主要知识：（1） 平面向量的数量积的定义 向量，的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则AOB=（001800）叫做向量，的夹角。当且仅当两个非零向量同方向时，=00，当且仅当反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 垂直；如果的夹角为900则称垂直，记作。 的数量积：两个非零向量，它们的夹角为

2、，则叫做称的数量积（或内积），记作，即=规定=0 非零向量 当且仅当时，=900，这时=0。在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。（2） 平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：当同向时，；当反向时，特别地，。(3)平面向量数量积的运算律交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0但是乘法公式成立： ；等等。（3） 平面向量数量积的坐标表示 若=(x1,y1),=(x2,y2)则=x1x2+y1y2 若=(x,y),则|=.=x2+y2, 若A(x1

3、,y1),B(x2,y2),则 若=(x1,y1),=(x2,y2)则（呢） 若=(x1,y1),=(x2,y2)则（二）主要方法：1注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2垂直的充要条件的应用；3当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决 5、特别提示：数量积不满足结合律。（三）例题分析：例1、 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。解：由题意，且与的夹角为，所以，同理可得 而，设为与的夹角，则 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。例2已知，按下列条件求实数的值。 （1）；（2）解：（1）；（2）；（3）。点评：此例

4、展示了向量在坐标形式下的基本运算。例3（1）已知，求在方向上的投影。解；在方向上的投影=（2）三角形ABC中,A(5,-1),B(-1,7),C(1,2).求角B的大小.解：、，（3）已知=（2，3），=（-1，-2），=（2，1），试求和的值。解：， =（2，3）（-4）=（-8，-12）。=（2，3）(-1,-2)=-8. =-8X(2,1)=(-16,-8)注意: 是两个不同的向量.（4）已知为互相垂直的单位向来，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围。解： ，例4非零向量满足，求与所成角的大小。解法一：设。以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则，平行四边形OADB为矩形。与成900角。

5、解法二：设，则，即，即与成900角。解法三：由得，化简并整理得，所以。【思维点拨】数形结合思想的运用。例5已知向量和的模都是2，其夹角为，又知，试求两点间的距离。解：分析：利用，这是求向量模的重要方法。设两点P、Q的距离为，则从而：例6设=（1+cos，sin），=（1-cos，sin），=（1，0）（0，），（，2），与的夹角为1，与的夹角为2，且1-2=，求sin的值。解：（0，），（0，），=（1，0），=（1+cos，sin）=2cos（cos，sin）。1=（，2），0-,- -0,-0, , =（1-cos，sin）=2sin(sin,cos)=2sin(cos,sin),2=,1-2=-sin=sin(-)=思维点拨本题的关键是角的范围限制。例7已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。解：（1），。（2）（1） 当时，（2） 当时，（3） 当时，综上所述：。（四）巩固练习：1已知平面上三个向量、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，（1）求证：；（2）若，求的取值范围.解：（1） ，且、之间的夹角均为120， （2） ，即 也就是 ， 所以 或2已知： 、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若|，且，