弹塑性力学习题题库加答案

1、1第二章第二章应力理论和应变理论应力理论和应变理论215.如图所示三角形截面水坝材料的比重为如图所示三角形截面水坝材料的比重为，水的比重水的比重为为1。己求得应力解为：。己求得应力解为：x=ax+by，y=cx+dy-y ，xy=-dx-ay；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。解：解：首先列出首先列出 OA、OB 两边的应力边界条件：两边的应力边界条件：OA 边边： l1=-1 ； l2=0 ； Tx=1y ；Ty=0则则x=-1y ；xy=0代入：代入：x=ax+by；xy=-dx-ay并 注意 此时 ：并 注意 此时 ： x=0得

2、 ：得 ：b=-1；a=0；OB 边：边：l1=cos；l2=-sin，Tx=Ty=0则：则：cossin0cossin0 xxyyxy（a）将己知条件：将己知条件：x=-1y ；xy=-dx；y=cx+dy-y代入（代入（a）式得：）式得： 1cossin0cossin0ydxbdxcxdyyc化简（化简（b）式得：）式得：d =1ctg2；化简（化简（c）式得：）式得：c =ctg-21ctg3217.己知一点处的应力张量为己知一点处的应力张量为31260610010000Pa试求该点的最大主应力及其主方向。试求该点的最大主应力及其主方向。解：解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：由题意

3、知该点处于平面应力状态，且知：x=12103y=10103xy=6103，且该点的主应力可由下且该点的主应力可由下式求得：式求得：222231.2333312 1012 10610222217.083 1011371011 6.0828104.91724 10 xyxyxyPa则显然：则显然：3312317.083 104.917 100PaPa1与与 x 轴正向的夹角为轴正向的夹角为： （按材力公式计算）（按材力公式计算）22612sin22612 102cos2xyxytg 显然显然 2为第为第象限角：象限角：2=arctg（+6）=+80.5376y题图1-3xyx3010n24xO10

4、yT3030 xOyBAn1y2则：则：=+40.26884016或（或（-13944 ）219.己知应力分量为己知应力分量为：x=y=z=xy=0，zy=a，zx=b，试计算出主试计算出主应力应力1、2、3并求出并求出2的主方向。的主方向。解：解：由由 211 题计算结果知该题的三个主应力分别为：题计算结果知该题的三个主应力分别为：221ab；20；223ab ；设设2与三个坐标轴与三个坐标轴 x、y、z 的方向余弦为：的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦，于是将方向余弦和和2值代入下式即可求出值代入下式即可求出2的主方向来。的主方向来。 212222323212222323

5、21222322122010203xyxxzxzyxyyzzyzxzyzyxzylllllllllllll以及：以及： 22221222314lll 由（由（1） （2）得：）得：l23=0由（由（3）得：）得：2122lalb ；2221lbla ；将以上结果代入（将以上结果代入（4）式分别得：）式分别得：21222222211111alabblal ；22222221221111blabalbl ；2122allb 222222bablaabab 同理同理2122alab 于是主应力于是主应力2的一组方向余弦为的一组方向余弦为： （22aab，22bab，0） ；3的一组方向余弦为（的一组

6、方向余弦为（2222bab，2222aab，22） ；220.证明下列等式：证明下列等式：（1） ：J2=I2+2113I；（3） ：212iikkikikI ；证明（证明（1）：等式的右端为：等式的右端为：22211223311231133II 22212312233112233112223 222123122331122331246666 22212312233126 322222211222233331112226 222122331216J故左端故左端=右端右端证明（证明（3） ：212iikkikikI 右端右端=12iikkikik 222222122xyzxyyzzxxyzxyz

7、2222222221222xyzxyyzzxxyzxyyzzx 2222xyyzzxxyyzzxI 2 23232：试说明下列应变状态是否可能（式中试说明下列应变状态是否可能（式中a a、b b、c c均为常数）均为常数）(1):(1):22200000ijc xycxycxycy (2):(2):222222222210210211022ijaxyaxbyax yazbyaxbyazby(3):(3):22200000ijc xyzcxyzcxyzcy z 解解（1 1） ：由应变张量由应变张量ijij知知：xzxz= =yzyz= =zxzx= =zyzy= =z z=0=0 而而x x、

8、y y、xyxy及及yxyx又都是又都是x x、y y坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。将将x x、y y、xyxy代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：22222yxyxyxx y 也即：也即：2 2c c+0=2+0=2c c知满足。知满足。所以说，该应变状态是可能的。所以说，该应变状态是可能的。解（解（2 2） ：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：4222222222222222222222yxyxyyzzxzxz

9、xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzyxx yzyy zxzz xxyzxy zyzxyz xzxyzx y （1 1）得：得：220000000002000axayb 不满足，因此该应变状态是不可能的。不满足，因此该应变状态是不可能的。解（解（3 3） ：将己知应变分量代入上（将己知应变分量代入上（1 1）式得：）式得：202000002220czczcycycx不满足，因此该点的应变状态是不可能的。不满足，因此该点的应变状态是不可能的。第三章：弹性变形及其本构方程第三章：弹性变形及其本构方程3-10 直径为直径为 D=40mm 的铝圆柱体的铝圆柱体， 紧密地放入厚度为紧密地放入厚度为

10、2mm 的钢套中的钢套中，圆柱受轴向压力圆柱受轴向压力 P=40KN。若铝的弹性常数据。若铝的弹性常数据 E1=70Gap.V1=0.35,钢的弹钢的弹性常数性常数 E=210Gap。试求筒内的周向应力。试求筒内的周向应力。解：解：设铝块受压设铝块受压q21而而332440 1010014104 则周向应变则周向应变1001qrqE铝铝12=qrQPDSPQ1Z211=5钢钢钢EqqE10102 . 02104122钢铝q=2.8MN/m2钢套钢套228/2qDMN mttqvr2；tqr；0z；1 Er；4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，

11、 并由纯剪状态说明并由纯剪状态说明 v=0。证明：证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。改变。前者称为体变，后者称为形变。并且可将一点的应力张量并且可将一点的应力张量ij和应变张量和应变张量ij分解为，球应力张量、球分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。应变张量和偏应力张量、偏应变张量。ijmijijijmijijse 而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹

12、体建立了用通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律： 3122mmeijijkksGe(1) 式中：式中：e 为体积应变为体积应变1231xyzeI由由（1）式可知式可知，物体的体积应变是由平均正力物体的体积应变是由平均正力m确定确定，由由 eij中的三中的三个正应力之和为令个正应力之和为令，以及以及（2）式知式知，应变偏量只引起形变应变偏量只引起形变，而与体变无关而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力这说明物体产生体变时，只能是平均正应力

13、m作用的结果，而与偏应力作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。由球应力张量引起的。由单位体积的应变比能公式由单位体积的应变比能公式：3122oovodmmijijuuus e ；也可也可说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：221102oovodxyxyvuuuGE由由 uo的正定性知：的正定性知：E0，1+v0.得：得

14、：v-1。由于到目前为止还没有由于到目前为止还没有 v0。3-16给定单向拉伸曲线如图所示给定单向拉伸曲线如图所示，s、E、E均为已知均为已知，当知道当知道 B 点的点的应变为应变为时，试求该点的塑性应变。时，试求该点的塑性应变。解：解：由该材料的由该材料的曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于于 B 点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：B=e+p故：故：p=-e11eessEEEEEE111sssEEEEEEEEEE61sEE；3-19已知藻壁圆筒承受拉应力已知藻壁圆筒承受拉应力2sz及扭

15、矩的作用，若使用及扭矩的作用，若使用 Mises 条条件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为意圆筒内任意一点的应力状态为： （采用柱坐标表示）（采用柱坐标表示）0，0r，2sz；0r，z；0zr；于是据于是据 miess 屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）及扭及扭矩矩 M（遂渐增大，直到材料产生屈服

16、）的作用下，产生屈服时，有：（遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：12222222162srzzrrzzr112222222116622222sss解出解出得：得：2s；就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。任意一点的球应力分量任意一点的球应力分量m为：为：36rzsm应 力 偏 量 为 ：应 力 偏 量 为 ：6sms ；6srrms ；263ssszzms；0rrzrrzss；2szzs；由增量理论知：由增量理论知：pijijds d于 是 得 ：于 是 得 ：6psdd sd ；6psrrdd sd ；3pszzdd sd；0prr

17、dd s；0przrzdd s；2pszzdd sdBACOtgE-1tgE-1stgE-1s7所以此时的塑性应变增量的比值为：所以此时的塑性应变增量的比值为：pd：prd：pzd：prd：przd：pzd6s：6s：3s：0：0：2s也即也即：pd：prd：pzd：prd：przd：pzd（-1） ： （-1） ：2：0：0：6；3-20一藻壁圆筒平均半径为一藻壁圆筒平均半径为 r，壁厚为，壁厚为 t，承受内压力，承受内压力 p 作用，且材料是作用，且材料是不可压缩的，不可压缩的，12v ；讨论下列三种情况：；讨论下列三种情况：（1） ：管的两端是自由的；：管的两端是自由的；（2） ：管的两

18、端是固定的；：管的两端是固定的；（3） ：管的两端是封闭的；：管的两端是封闭的；分别用分别用 mises 和和 Tresca 两种屈服条件讨论两种屈服条件讨论 p 多大时，管子开始屈服，如已多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验知单向拉伸试验r值。值。解：解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，r0，据题意首先分析三种情，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：况下，圆筒内任意一点的应力状态：（1） ：1prt；2300rz（2） ：1prt；30r；22zvprprvtt ；（3） ：1prt；30r；22zprt；显然知显然知，若采用若采用 Tre

19、sca 条件讨论时条件讨论时， （1） 、 （2） 、 （3）三种情况所得结果相三种情况所得结果相同，也即：同，也即：13max2222ssprkt；解出得：解出得：stpr；若采用若采用 mises 屈服条件讨论时屈服条件讨论时，则则（2） （3）两种情况所得结论一样两种情况所得结论一样。于是于是得：得：（1） ：22222212233122sprprtt 解出得：解出得：stpr；（2） 、 （3） ：222220022sprprprprtttt解出得：解出得：23stpr；3-22给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：（1） ：受内压作用的封

20、闭藻壁圆管。设内压：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压 q，平均半径为，平均半径为 r，壁厚为，壁厚为 t，8材料为理想弹塑性。材料为理想弹塑性。（2） ：受拉力受拉力 p 和旁矩作用的杆和旁矩作用的杆。杆为矩形截面杆为矩形截面，面积面积 bh，材料为理想材料为理想弹塑性。弹塑性。解（解（1） ：由于是藻壁圆管且由于是藻壁圆管且tr1。所以可以认为管壁上任意一点的应力。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状态状态为平面应力状态， 即即r=0,且应力均匀分布且应力均匀分布。 那么任意一点的三个主应那么任意一点的三个主应力为：力为：1qrt；30r；22zqrt；若采用若采用 Tresca

21、 屈服条件，则有：屈服条件，则有：13max2222srsqrt；故得：故得：sqrt；或：或：2sqrt；若采用若采用 mises 屈服条件，则有：屈服条件，则有：2222212233126ss222zzrr2222223222qrqrqrqrq rttttt ；故得：故得：32sqrt；或：或：2sqrt；解（解（2） ：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态， （受力如图示）（受力如图示）1xzPMyFJ230yz且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知2hy 得：得：126xPMbhb

22、h；230若采用若采用 Tresca 屈服条件，则有：屈服条件，则有：13max261222ssPMbhbh；yzh2h2bMpoyxh2h2Mp9故得：故得：16sMPbhh； 或：或：162sMPbhh；若采用若采用 mises 屈服条件，则有：屈服条件，则有：22222221223311262622ssPMbhbh故得：故得：16sMPbhh；或：；或：163sMPhbh；一般以一般以s为准（拉伸讨验）为准（拉伸讨验）第五章第五章 平面问题直角坐标解答平面问题直角坐标解答5-2：给出给出axy； （1） ：捡查捡查是否可作为应力函数是否可作为应力函数。 （2） ：如以如以为应为应力函数力

23、函数，求出应力分量的表达式求出应力分量的表达式。 （3） ：指出在图示矩形板边界上对应着什指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力么样的边界力。 （坐标如图所示）（坐标如图所示）解：解：将将axy代入代入40式式得：得：220 满足。满足。故知故知axy可作为应力函数。可作为应力函数。求出相应的应力分量为：求出相应的应力分量为：220 xy；220yx；2xyax y ；上述应力分量上述应力分量0 xy；xya 在图示矩形板的边界上对应着如图所在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。5-4：试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解

24、出什么样的平面问题。试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。3223432Fxyqxyycc；解：解：首先将函数首先将函数式代入式代入20式知，满式知，满足。故该函数可做为应力函数求得应力分量足。故该函数可做为应力函数求得应力分量为：为：222332342xFxFyqqxyyccc；220yx；22222223312142424xyzFyFhFhyyx ycchJ ；yloxx y= -ay z= -ah2h2PabyFlcccdx10显然上述应力分量在显然上述应力分量在 ad 边界及边界及 bc 边界上对应的面力分量均为零边界上对应的面力分量均为零，而在而在 ad边界上则切向面力分量呈对称于原点边界上则切向面力分量呈对称于原点 o 的抛物线型分布，指向都朝下，法的抛物线型分布，指向都朝下，法向面力为均布分布的载荷向面力为均布分布的载荷 q。显然法向均布载荷显然法向均布载荷 q 在该面上可合成为一轴向拉力在该面上可合成为一