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文档简介

1、第九章、曲线积分与曲面积分曲线积分部分一、（1）直接计算：，故选项B是对的。（2）直接由公式，应选D。（3）取顺时针方向，再设为包含的平面区域，则由公式：所以，应选D。（4）选C。二、 1.直接计算：2.直接计算：应填从2到03.应填，计算：由公式4.应填： 由“对称”性易知：5.应填：，由公式计算得：其中为所围区域。6. 应填：，直接计算得：。三、1.解：2.解：本题中补从到的直线段：，从到。则由公式得：3.证：因为与路径无关 4.解：令得： ，5.解：令得：，所以， 6.解：补：线段B到O：从0到1，则由Green公式得： (其中为所围区域)，所以， 7.解：补线段：从到；线段：从到，则有

2、设为、所围区域。由公式所以，8.解：当时，。补线段：从到；逆时针的小圆周：，适当小，使在、所围区域内。则由公式：， 所以， 。9.解：，问题化为确定，使，即：要满足：令，得： 解此一阶线性方程得：。即：，利用初始条件，解得：，所以，。曲面积分部分一、1.因是平行于坐标面的一个柱面，故直接计算曲面积分时，可将分为从轴来看的上、下两部分，然后再往面上投影。注意到在上半部分，是非负的，在下半部分，是负的。故选。2.易知在上的点处的单位向量。故由两类曲面积分的关系：，所以选项是正确的。的错误在于， 是上侧，故右边是正号；的错误在于，在上，关系式是不成立的；的错误在于，在上，是不成立的。3.因在前、后球

3、面上，是反对称的，故选项的积分为零；同理选项及的积分都是零。故选项是对的，原因是和这两个积分都是0，显然。4.易知，在的柱面部分上：，而在两个顶面及上， ,故选项的积分为0；对于，在上，故，故积分为0；将按轴方向分为前、后各个球面,则为前侧，为后侧。有：，故选项的积分不为0；若将按轴方向分为前、后两个对称的半椭球面，则是前侧的，而是后侧的，再由于是的偶函数。故，同理，。5.注意到能用公式的两个前提条件：是外侧（或内侧曲面），P、Q、R在所围的内一阶偏导数连续，容易知道选项是对的。不对：的球面部分和平面部分的定向不能保证同时是外侧（或内侧）的。不对：P、Q、R不可偏导的点（0，0，0）在内。6.注意到在上：。直接计算得： （公式）= ，故选项C是正确的。 选项A、B、D的错误的共性在于，计算第二类曲面积分，错误地用了“对称性”。这是要注意的。7. 将四个选项的函数乘以方程的左边直接判断可知，选项B是对的。 的积分因子。二、1.解：设表示上半球面。则由对称性，原式2.解：3.解： 4.解：注意到在上，。补为平面上的圆，取下侧。则由公式： 其中为所围立体，为平面区域。5.解：设，则：的参数式6.解：补为被所截部分的上侧。则7.解：设、分别表示的上、下及侧面部分曲面。易知， ，所

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