备份森林火灾等数学建模

1、数 学 建 模 作 业姓名:任晓 学号:200913138036 班级:软件工程0902班（一）测人体血量【问题的提出】通过某种方法测量人体内血液的总量。【问题的分析】首先，将酒精含量视为血药浓度，借用药物动力学的房室模型，将酒精在肠胃的吸收过程和在血液中的分解过程抽象为吸收室和中心室里所发生的作用，运用微分方程理论推导出了吸收速率和分解速率随时间变化的规律（,），并用回归分析方法结合题述经验数据具体导出一人在未喝过酒的情况下，饮入2瓶啤酒的血液中酒精含量与时间的关系模型。 【模型的建立】假设人体的密度是均匀的，让某健康的人喝一定质量的酒精，并且假设酒精进入人体后马上均匀分布，并且血液和体液的

2、酒精浓度是一样的。抽取此人V1ml的血液样本，用测量酒后驾驶测酒精含量的仪器测出样本中的酒精的浓度为假设为n g/ml。假设已知的酒精的密度为P g/ml。 V1/V=n/P；算出人体的血液的含量为V=V1*P/n;【结果分析】这只是个大约算出的血液含量 不是很准确，但是估算基本上可以。(二) 森林火灾【问题的提出】某森林发生火灾，接到报警后，消防站立即派出消防队员进行灭火，但具体派多少队员呢？派出的队员越多，森林的损失越小，但救援的开支会越大；反之森林的损失会加大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系。【问题的分析】假设森林燃烧的损失费正比于森林烧毁面积，其比例系数为。

3、而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数.救援费分为两部分：每个消防队员单位时间的费用，设为；每个队员的一次性支出，设为。又假定火势蔓延程度及平均每个消防队员的灭火能力与火势有关。进而解决派出消防队员多少时总费用（即损失费、救援费之和）最小。记失火时刻为，开始灭火时刻为，火被扑灭时刻为。设在时刻森林烧毁面积为，则森林最终烧毁面积为，并且。考虑单位时间烧毁面积，它表示火势蔓延程度。一般来说，在消防队员到达之前，即，火势越来越大，即随的增加而增加；开始灭火后，即.如果消防队员灭火能力足够强，火势将越来越小，即应减小，并且当时。对于火势可抽象为：火势以失火点为中心，以均匀速度向四周

4、呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比。又因为烧毁面积与成正比，故与成正比，从而与成正比。【模型假设】1. 假设森林面积无限大，火势以失火点为中心，均匀速度向四周呈圆形蔓延，且时刻的森林烧毁面积为。2. 设失火时刻为，开始灭火时刻为，火被扑灭时刻为，又设在内，火势蔓延程度与时间成正比，比例系数称为火势蔓延速度。3. 设派出消防队员名，开始灭火后火势蔓延速度降为。这里可视为每个队员的平均灭火速度。【模型的建立】由于每个消防队员单位时间的费用为，而每个队员的一次性支出为，于是由条件知： 又由假设2、3知： .求解上述两微分方程，得 +又由、当时,有于是 故总费用为问题归结为：已知，求使取最小值.【

5、模型的求解】将连续化 令,解得【结果分析】1. 关于的几何求解图形为：是图中阴影部分面积.而是图中三角形的面积.令，容易求得.2. 最后的要取整（这是由于离散的连续化之故）.3. 结果表明：队员人数由两部分组成：一部分是灭火人数的最低限度：,此时斜率为的直线才会与轴有交点.另一部分是最低限度之上的人数，它与问题的各个参数有关，且可看出其变化规律.4. 实际应用中，是已知常数，是森林类型有关的量，是队员素质有关的量，火势5. 实际上，消防队员的灭火速度与开始灭火时的火势有关，可以合理地假设.（三）体育馆建设问题【问题的提出】某政府打算修建一个小型体育馆。通过竞标，一家建筑公司获得了此合同。书中的

6、表中列出了工程的主要任务，需时均以星期记有些任务只有在某些其他任务完成之后才能进行，（1） 试给出各项任务的施工次序，使得这项工程能尽早完成。（2） 市政府希望能够再提前一些时间完工，为此，市政府决定工期每缩短一周，便向此公司支付30千元的奖励。为缩短工期，建筑公司每周需要支付额外费用。问如何施工才能使得建筑公司的利润最大？【问题的分析】此问题是一个调度问题，需要先完成某些任务才能进行下面的一些任务，这一特点构成了模型的约束条件。问题的目标是尽早完成工程，即使的最后一项任务的完工时间最早即可。【模型的建立】记(i=1,.,18)表示第i项任务的施工时刻，表示第i项任务的耗时，由于每项任务有先决

7、任务的约束，不妨记要施工的任务为i，其先决任务为j和k，显然只有当这两个任务都完工之后才能对任务i施工，于是有 其他的先决条件可以类似得到。问题希望能尽快完工，即最后一项工程的完工时刻最小，所以目标函数为： 转化为线性化： 于是数学模型为：以第18项工程的弯弓时刻作为目标函数，于是建立体育馆建设问题的数学模型如下：min f =x18+t18 s.t.(2)设xi,yi(i=1,18)分别表示第i项任务的施工周次和实际缩短到周次，ci,ti,tmi分别表示第i项任务缩短时间时每周的额外开支，耗时和最大缩短时间，则此项任务的实际耗时为ti yi 记要施工的任为i,其先决任务为j和k,则先决任务约

8、束可以表示为：xj + tj - yj <= xi xk + tk yk <= xi显然实际缩短到时间不可能超过最大缩短时间，于是有 yi <= tmi (i=1,18)于是建立体育馆建设问题的数学模型如下：max f =30(63-x18)-i=118ciyi s.t.x1+t1-y1<=x2x2+t2-y2<=x3x2+t2-y2<=x4x3+t3-y3<=x5x4+t4-y4<=x6 , x5+t5-y5<=x6x4+t4-y4<=x7x6+t6-y6<=x8x4+t4-y4<=x9 , x6+t6-y6<=x

9、9x4+t4-y4<=x10x6+t6-y6<=x11x9+t9-y9<=x12x7+t7-y7<=x13x2+t2-y2<=x14x4+t4-y4<=x15 , x14+t14-y14<=x15x8+t8-y8<=x16 ，x11+t11-y11<=x16 ，x14+t14-y14<=x16x12+t12-y12<=x17x17+t17-y17<=x18yi<=tmi (i=1,18)xi ，yi >=0 (i=1,18)【流程图】 int x18,t18int i=1；输入t1到t18的值和x1i<=

10、18i<=18f=x18+t18输出f （四）文件备份问题【问题的提出】某公司希望将一些重要的问价备份到软盘中，每张空白的软盘的容量是1.44MB，一共需要备份16个文件，其大小（单位：KB）分别为：46,55,62,87,108,114,137,164,253,364,372,388,406,432,461,581假设无法使用压缩文件，但是软盘的数量足够，问如何备份这些文件才能使用的软盘数量最少？【问题的分析】显然16张软盘足够备份所有的文件，将其编号，则问题需要确定那个文件到哪张软盘，由此可确定决策变量为0-1变量，每个文件只能备份到1张软盘中，而且软盘备份文件大小不能超出其最大容量，这些构成问题的约束条件。问题的目标是使得所用的软盘数量最少，显然只需要使得所用的最后一张软盘的编号最小即可。【模型的建立】定义0-1变量（）表示文件在软盘中备份，否则为0，记表示文件的大小。由于文件i只能备份到一张软盘中，所以有：