圆的解析几何方程

1、圆的解析几何方程圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a2+b2。圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f

2、（x）=0。利用判别式b2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-CA，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-CA<x1或x=-CA>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-CA<x2时，直线与圆相交；半

3、径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)2+(y+E/2)2=D2/4+E2/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1点与圆的位置关系 设圆C(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有： (1)dr 点M在圆外； (2)d=r 点M在圆上； (3)dr 点M在圆内 2直线与圆的位置关系 设圆 C(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为，则有： (1)dr 直线与圆相交； (2)d=r 直线与圆相切； (3)dr

4、 直线与圆相离，即几何特征； 或(1)0 直线与圆相交； (2)=0 直线与圆相切； (3)0 直线与圆相离，即代数特征， 3圆与圆的位置关系 设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(kr)，且设两圆圆心距为d，则有： (1)d=k+r 两圆外切； (2)d=k-r 两圆内切； (3)dk+r 两圆外离； (4)dk+r 两圆内含； (5)k-rdk+r 两圆相交 4其他 (1)过圆上一点的切线方程： 圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题) 圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x

5、0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广) (2)相交两圆的公共弦所在直线方程： 设圆C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 (3)圆系方程： 设圆C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2x2+y2+D2x+E2y+F2=0若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(为参数，圆系中不包括圆C2，=-1为两圆的公共弦所在直线方程)

6、 设圆Cx2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(为参数) 1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。解：设圆的方程为：x2+y2 +Dx+Ey+F=0 , 圆心为(- ,- )，半径r=  由题意：圆心到y轴的距离为|- | , y轴上截得的弦长为1 r =( ) +( )             (D +E 4F)= +  D

7、 E 4F=1 .（1） 圆经过M(1,2),N(3,4)两点 D+2E+F=-5 .（2）  3D+4E+F=-25 .（3）解(1)(2)(3)得：D=-3 , E=-7 , F=12  或D=-13 , E=3 , F=2 所求圆的方程为：x  +y -3x-7y+12=0或x  +y -13x+3y+2=02.直线3x+y+m=与圆x²+y²+x-2y=0相交于P、Q。O为坐标原点，若OPOQ,求m解：由x2+y2+x-2y=0得 （x+1/2）2+(y-1)2=5/4 半径=(根号5)/2 圆心:(-1/2,1) OP垂直O

8、Q, OP=OQ(都是圆的半径） OPQ为等腰直角三角形 圆心到直线的距离D=半径/（根号2）=(根号10)/4 根据点到直线的距离公式 解得m=3或m=-23.如果 圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么：A、F=0，D0，E0 B、E=0，F=0，D0 C、D=0，F=0，E0 D、D=0，E=0，F0 答 ：C 过原点(x=0,y=0)得F=0 相切 圆心在Y轴，得D=04. 已知P(a,b)是圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点，则a2+b2的最小值是 ( )解:把方程化为（x-1）+(y+2)=25 而且所求为圆上的点到原点的距离！所以最小值就是半径减去圆心到原点

9、的距离！5. 已知圆A:x²+y²+2x+2y-2=0,若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y=2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程 解: 圆B平分A的周长则圆B与圆A的两交点的连线为圆A的直径设圆B的圆心为（x,2x）圆A方程为(x+1)2+(y+1)2=4，圆心（-1，-1），半径2圆B的半径、圆A的半径、以及两圆心之间的距离，构成直角三角形，满足勾股定理所以，圆B的半径：R2=(x+1)2+(2x+1)2+4=5x2+6x+6=5(x+3/5)2+21/5即，当x=-3/5时，R2有最小值=21/5此时圆B的圆心为（-3/5，-6/5）方程为：(x+3

10、/5)2+(y+6/5)2=21/56. 已知圆O：x²+y²=5和点A（1，2）则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积？ 解: 根据A点和圆的圆心(0.0）可知A点与圆心连线的斜率为2，则可知直线的斜率为-1/2（根据斜率相乘为-1）。然后设直线方程为Y=-1/2X+Z.把A（1.2）带入方程得Y=-1/2x+5/2,然后令Y=0，X=0.得X=5.，Y=5/2.再得（5/2+2X5）/2=6.257. 已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（X+2）的平方+（Y+2）的平方=R的平方关于直线X+Y+2=0对称 1.求圆C方程 2.设Q为圆C上任意一点。求PQ

11、向量*MQ向量的最小值解:1.由圆C与圆M关于直线对称，得圆C的圆心坐标为（0，0） 且圆C 过P点，所以圆C的方程为X2+Y2=22.由题可知M(-2,-2),P(1,1)设Q点坐标为(x,y),向量PQ为(x-1,y-1),向量MQ为（x+2,y+2)所以:向量PQ* 向量MQ=x2+x+y2+y-4   且x2+y2=2得向量PQ*向量MQ=x+y-2   且x2+y2=2由线性规划可知:向量PQ*向量MQ的最小值为-4(直线的斜率是-1， 令z=x=y-2  得直线与圆相切于第三象限时z取最小值    所以

12、 当切点为(-1,-1)时 z的最小值为-4)例2 已知实数A、B、C满足A2+B2=2C20，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长 分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成 证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d= 直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q 例3 求以圆C1x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程 解法一： 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-

13、2=0 所求圆以AB为直径， 于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 解法二： 设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+(x2+y2+12x+16y-25)=0(为参数) 圆心C应在公共弦AB所在直线上， 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0 小结：解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练 (三)巩固练习 1已知圆的方程是x2+y2=1，求：(1)斜率为1的切线方程； 2(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是 (2)两圆C1x2+y2-4x+2y+4=0与C2x2+y2+2x-

14、6y-26=0的位置关系是_(内切) 3求经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程 分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数，从而求得圆的方程由两个同学演板给出两种解法： 解法一： 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上， 解法二： 设过交点的圆系方程为： x2+y2+8x-6y+21+(x-y+5)=0 2求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切 3求经过两圆x2+y2

15、+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程 4由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、 B两点，向圆x2+y2=r2作切线QC、QD，求： (1)切线长； (2)AB中点P的轨迹方程 作业答案： 2证明两圆连心线的长等于两圆半径之和 3x2+y2-x+7y-32=0参考答案:1. B;2.C;3.A;4.B;5.D;6.D;7.C;8.C;9.C;10.C11.(x-2)2+(y-1)2=10;12.;13.x=-1或3x-4y+27=0;14.(x+1)2+(y-1)2=13;15.(1)x2+y2-4x=0;(2)x2+y2

16、-16x=016.(x-3)2+(y-1)2=9或(x-101)2+(y-37)2=101217.(1)或;(2)x+y-1=0或x-y+3=0.定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径。 标准方程地             一般方程      点与圆的位置关系直线与圆的位置关系    圆与圆的位置关系高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间

17、所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°180°（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：

18、直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式： 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）； （4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二

19、）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（三）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（5）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（7）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （8）点到直线距离公式：一点到直线的距离（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定

20、长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；（2）过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用

21、圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含； 当时，为同

22、心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台： 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：底面是全等的圆；母线与轴

23、平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长

24、度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。应用： 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理

25、2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面和相交，交线是a，记作a。符号语言：公理2的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理3及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面

26、直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个

27、公共点三种位置关系的符号表示：a aA a（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；相交有一条公共直线。b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面

28、平行。（线线平行面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂

29、直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平

30、行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为。 平面的垂线与平面所成的角：规定为。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角人教A必修2第四