基于频率抽样法的FIR数字低通滤波器设计文档在线提供

1、1前言数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一门涉及许多学科而又广泛应用于许多领域的新兴学科。20世纪60年代以来，随着计算机和信息技术的飞速发展，数字信号处理技术应运而生并得到迅速的发展。在过去的二十多年时间里，数字信号处理已经在通信等领域得到极为广泛的应用。数字信号处理是把信号用数字或符号表示的序列，通过计算机或者通用（专用）信号处理设备，用数字的数值计算方法处理（例如滤波、变换、压缩、增强、估计、识别等），以达到提取有用信息便于应用的目的。2 FIR数字滤波器设计的原理2.1频率抽样设计法FIR低通滤波器的设计一般方法有两种，即频率抽样法和窗函数

2、法，频率抽样法设计不同于窗函数法，窗函数是从时域出发，把理想的用一定形状得窗函数截取成有限长的，以此来近似理想的，这样得到的频率响应逼近于所要求的理想的频率响应。频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应加以等间隔抽样，即然后以此作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值，即令，知道后，由DFT定义，可以用频域的这N个抽样值来唯一确定有限长序列，而由的内插公式知道，利用这N个频域抽样值同样可求得FIR滤波器的系统函数及频率响应。这个或将逼近或，和的内插公式为 （21） （22）其中是内插函数 （23）将式（23）代入（22）式，化简后可得 （24）即 （25）从内插公式（22）看到，在各频

3、率抽样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等，即。但是在抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小，如图2.1梯形理想频率特性所示。反之，如果抽样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值之误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和波纹，如图2.2矩形理想频率特性所示。图2.1 梯形理想频率特性图2.2 矩形理想频率特性2.2线性相位的约束对于第二类线性相位FIR滤波器，由于偶对称、N为偶数时, ，其中幅度函数

4、应为奇对称的，即，如果抽样值也用幅值（纯标量）与相角表示，则为： （26）其中必须为： （27）必须满足奇对称，即。2.3线性相位第一种频率抽样 （28）当为实数时，满足，由此得出，也就是说，的模以为对称中心呈偶对称，的相角以为对称中心呈奇对称。再利用线性相位的条件，即可得到（N为偶数）： （29） （210） （211）2.4过渡带抽样的优化设计为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡（这种起伏振荡使阻带内最小衰减变小，例如从衰减30dB变小为衰减20dB）。和窗函数法的平滑截然一样，这里是使理想频率响应的不连续点的边缘加上一些过渡的抽样点（

5、在这些点上抽样的最佳值由计算机算出），从而增加过渡带，减小频率边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。这些周扬点上的取值不同，效果也就不同，因为由频率响应的表达式看出，每一个频率抽样值，都要产生一个与常数成正比且在频率上位移的频率响应，而FIR滤波器的频率响应就是各H(k)与相应的内插函数相乘后的线性组合。如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的有用频带（通带、阻带）的纹波得以减小。从而设计出较好的滤波器。一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意的结果。在低通设计中，不加过渡抽样点时，阻带最小衰减为20dB，一点过渡抽样的最优设计，阻带最小衰减可提高到40dB到54dB左右，二

6、点过渡抽样的最优设计可达60dB到75dB左右，而加三点过渡抽样的最优设计则可达80dB到95dB左右。加过渡抽样点的示意图如图2.3所示。图2.3 加过渡抽样点3 FIR低通滤波器的设计3.1设计任务本次课程设计的任务是利用频率抽样法设计一个低通FIR数字低通滤波器，其理想频率特性是矩形的，即给定抽样频率为，通带截止频率为，阻带起始频率为，通带波动，阻带衰减。幅度特性如图3.1所示。图3.1 幅度特性曲线3.2参数计算通带的截止频率为阻带的起始频率为理想低通截止频率其对应的数字频率过渡带带宽为，设抽样点数为N，由于，故算得抽样点数N等于30。3.3设计方法根据指标，可画出频率抽样后的序列，由

7、于是对称于的，我们又只对即的区间感兴趣，故可将即的图略去不画。截止频率，截止频率抽样点的位置应为：，按第一种频率抽样方式来设计，N=30，则 （31）表示取整数部分，将这些值代入式(2-11)可得： （32）按此式计算的结果如图3.2所示。由图看出，过渡带宽为，而最小阻带衰减约为20dB。这一衰减在大多数情况下是不令人满意的，也不符合这次课程设计的要求。图3.2 幅度频率特性曲线为了改善频率特性，以满足指标要求，可在通带和阻带交界处安排一个或者几个不等于1的抽样值。在本次课设中用优化算法使K5处值为0.5886，即，和K6处值为0.1065，即。则得到图3.3所示的结果，过渡带带宽为，最小阻带

8、衰减约为60dB左右，如图3.4所示。图3.3 增加过渡点后的图3.4 过渡带抽样优化后的幅频特性综上所述，采用第一种频率抽样方式来设计，抽样点数取N30，优化抽样过渡带采用在通带和阻带交界处安排两个不等于1的点，即和，最后设计出来的基于频率抽样法FIR数字低通滤波器满足设计要求。其对数幅度频率响应特性图（伯德图）如图3.5所示。3.4实验程序MATLAB源程序为：close all;clear;N=30;H=ones(1,4),zeros(1,22),ones(1,4);H(1,5)=0.5886;H(1,26)=0.5886;H(1,6)=0.1065;H(1,25)=0.1065;k=0

9、:(N/2-1);k1=(N/2+1):(N-1);k2=0;A=exp(-j*pi*k*(N-1)/N),exp(-j*pi*k2*(N-1)/N),exp(j*pi*(N-k1)*(N-1)/N);HK=H.*A;hn=ifft(HK);fs=15000;c,f3=freqz(hn,1);f3=f3/pi*fs/2;figure(1);plot(f3,20*log10(abs(c);title('频谱特性');xlabel('频率/HZ');ylabel('衰减/dB');grid;figure(2);stem(real(hn),'.

10、');line(0,35,0,0);xlabel('n');ylabel('Real(h(n)');t=(0:100)/fs;W=sin(2*pi*t*750)+sin(2*pi*t*3000)+sin(2*pi*t*6500);q=filter(hn,1,W);a,f1=freqz(W);f1=f1/pi*fs/2;b,f2=freqz(q);f2=f2/pi*fs/2;figure(4);plot(f1,abs(a);title('输入波形频谱图');xlabel('频率');ylabel('幅度')g

11、rid;figure(5);plot(f2,abs(b);title('输出波形频谱图');xlabel('频率');ylabel('幅度')grid;程序运行后结果如下，图3.5显示的是幅频响应特性图，图3.6显示的是低通滤波器的单位冲激响应h(n)的实部。图3.7是输入波形的频谱图，有三个频率分量，分别为750HZ、3000HZ、7000HZ。图3.8是输出波形的频谱，通过低通滤波器之后只剩下750HZ的频谱了。图3.5 幅频响应特性图3.6 单位冲激响应h(n)的实部图3.7 输入波形的频谱图图3.8 输出波形的频谱4 Simulink仿真

12、4.1仿真模块介绍 FDATool（Filter Design & Analysis Tool）是MATLAB信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，MATLAB6.0以上的版本还专门增加了滤波器设计工具箱（Filter Design Toolbox）。FDATool可以设计几乎所有的基本的常规滤波器，包括FIR和IIR的各种设计方法。它操作简单，方便灵活。FDATool界面总共分两大部分，一部分是Design Filter，在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数，另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。Design Filter部分主要分为：Filter

13、Type（滤波器类型）选项，包括Lowpass（低通）、Highpass（高通）、Bandpass（带通）、Bandstop（带阻）和特殊的FIR滤波器。Design Method（设计方法）选项，包括IIR滤波器的Butterworth（巴特沃思）法、Chebyshev Type I（切比雪夫I型）法、 Chebyshev Type II（切比雪夫II型） 法、Elliptic（椭圆滤波器）法和FIR滤波器的Equiripple法、Least-Squares（最小乘方）法、Window（窗函数）法。Filter Order（滤波器阶数）选项，定义滤波器的阶数，包括Specify Order（

14、指定阶数）和Minimum Order（最小阶数）。在Specify Order中填入所要设计的滤波器的阶数（N阶滤波器，Specify OrderN-1），如果选择Minimum Order则MATLAB根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。Frenquency Specifications选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率Fs和频带的截止频率。它的具体选项由Filter Type选项和Design Method选项决定，例如Bandpass（带通）滤波器需要定义Fstop1（下阻带截止频率）、Fpass1（通带下限截止频率）、Fpass2（通带上限截止频率）、Fstop2（上阻

15、带截止频率），而Lowpass（低通）滤波器只需要定义Fstop1、Fpass1。采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定的，所以只需要定义通带截止频率，而不必定义阻带参数。Magnitude Specifications选项，可以定义幅值衰减的情况。例如设计带通滤波器时，可以定义Wstop1（频率Fstop1处的幅值衰减）、Wpass（通带范围内的幅值衰减）、Wstop2（频率Fstop2处的幅值衰减）。当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6dB，所以不必定义。Window Specifications选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各

16、种窗函数。4.2滤波器参数的设定在MATLAB命令行中直接输入fdatool即可调出滤波器设计的界面，根据设计的要求和计算的各参数可以进行滤波器的设计，设计的滤波器如图4.1所示。然后保存文件，文件格式为.fda。图4.1低通滤波器参数设计4.3仿真过程与结果 调用Simulink中的功能模块构成数字滤波器的仿真框图，在仿真过程中，可以双击各功能模块，随时改变参数，获得不同状态下的仿真结果。通过Simulink环境下的Digital Filter Design（数字滤波器设计）模块导入4.2中FDATool所设计的滤波器文件.fda。仿真图如图4.2所示。图4.2 系统仿真图对于上述电路，输入信号源的输入频率可变，根据设计的要求，在信号源中改变输入离散信号的频率，输出的是波形也会有所不同，本次课设的低通滤波器通带截止频率为1600HZ，阻带起始频率为3100HZ，该低通滤波器的截止频率为2350HZ，由仿真结果可知，当输入频率在1600HZ以下时可正常通过，如图4.3所示；当输入频率在1600HZ和2350HZ之间，输出会有衰减，如图4.4所示；当输入波形在2350HZ以上时会被滤波器滤除，输出几乎没有波形，如图4.5所示。图4.3 f1000HZ时输入和输出波形图4.4 f1700HZ时输入和输出波形图4.5 f3000HZ时输入和输出波形参考文献1